Bashicu矩阵系统的扩展实例

Bashicu矩阵系统 (Bashicu matrix system;BMS) 是一种生成 bashicu[1] 在2014年发明的巨大数字的算法[2]

单行矩阵 (原始数列系统, Primitive Sequence System, PrSS) 具有 \(f_{\epsilon_0}(n)\) 强度。 双行矩阵 (对数列系统, Pair Sequence System, PSS) 大于TREE(n),具有 \(f_{\psi(\Omega_{\omega})}(n)\) 强度。 3行矩阵(三重数列系统)大于SCG(n), n 行矩阵的增加率未知哪个序数对应。该函数被认为弱于Loader数的函数。

记法

Bashicu 矩阵 是一个矩阵,其元素是非负整数,如

\(\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}\)

通过排列像 \((a_{11},a_{21})(a_{12},a_{22})(a_{13},a_{23})\) 这样的列向量的转置矩阵来表示这是 Bashicu 矩阵的数列表示法。Bashicu 矩阵 \({\boldsymbol S}[n]\) 作从自然数 \(n\) 到自然数 \({\boldsymbol S}[n]\) 的函数起作用并并写成 \((0,0)(1,1)(2,2)(3,3)(3,2)[n]\)。

定义

Bashicu 通过编程语言 BASIC 的伪语言使用 Bashicu 矩阵系统定义了Bashicu 矩阵数[3]

由于 Bashicu 创建的程序并非用于执行,因此Fish创建了一个程序 “Bashicu 矩阵计算机”,显示计算过程,该计划由 Bashicu 验证。因此, Bashicu 矩阵的形式定义在 Bashicu 矩阵计算机源代码[4][5]中描述。

数学定义

如果您将 Bashicu 矩阵数作为公式编写,它将如下所示[6]

\begin{eqnarray*} \mathrm{Bashicu 矩阵数:}~K&=&\mathrm{Bm}^{10}(9)\\ \mathrm{大函数:}~\mathrm{Bm}(n)&=&\mathrm{expand}((\underbrace{0,0,\cdots,0}_{n+1})(\underbrace{1,1,\cdots,1}_{n+1})[n])\\ \mathrm{扩张规则:}~\mathrm{expand}([n])&=&n\\ \mathrm{expand}({\boldsymbol S}[n])&=&\left\{\begin{array}{ll} \mathrm{expand}({\boldsymbol S}_0\cdots{\boldsymbol S}_{X-2}[f(n)])&(\mathrm{if}~\forall y~S_{(X-1)y}=0)\\ \mathrm{expand}({\boldsymbol G}{\boldsymbol B}^{(0)}{\boldsymbol B}^{(1)}{\boldsymbol B}^{(2)} \cdots {\boldsymbol B}^{(f(n))}[f(n)])&(\mathrm{otherwise})\\ \end{array}\right.\\ \mathrm{激活函数:}~f(n)&=&n^2\\ \mathrm{矩阵:}~{\boldsymbol S}&=&{\boldsymbol S}_0{\boldsymbol S}_1\cdots{\boldsymbol S}_{X-1}\\ \mathrm{列:}~{\boldsymbol S}_x&=&(S_{x0},S_{x1},\cdots,S_{x(Y-1)})\\ \mathrm{好的部分:}~{\boldsymbol G}&=&{\boldsymbol S}_0{\boldsymbol S}_1\cdots{\boldsymbol S}_{r-1}\\ \mathrm{坏的部分:}~{\boldsymbol B}^{(a)}&=&{\boldsymbol B}_0^{(a)}{\boldsymbol B}_1^{(a)}\cdots{\boldsymbol B}_{X-2-r}^{(a)}\\ \mathrm{坏的部分的列:}~{\boldsymbol B}_x^{(a)}&=&(B_{x0}^{(a)},B_{x1}^{(a)},\cdots,B_{x(Y-1)}^{(a)})\\ \mathrm{坏的部分的元素:}~B_{xy}^{(a)}&=&S_{(r+x)y}+a\Delta_{y}A_{xy}\\ \mathrm{增加量:}~\Delta_{y}&=&\left\{\begin{array}{ll} S_{(X-1)y}-S_{ry}&(\mathrm{if}~y\gt t)\\ 0 &(\mathrm{if}~y\leq t) \end{array}\right.\\ \mathrm{增加矩阵:}~A_{xy}&=&\left\{\begin{array}{ll} 1 &(\mathrm{if}~ \exists a( r=(P_{y})^a(r+x)))\\ 0 &(\mathrm{否则}) \end{array}\right.\\ \mathrm{非零最下行:}~t&=&\max\{y|S_{(X-1)y}\gt 0\}\\ \mathrm{坏根:}~r &=& P_t(X-1)\\ S_{xy}~\mathrm{的亲}:~P_{y}(x)&=&\left\{\begin{array}{ll} \max\{p|p\lt x \land S_{py} \lt S_{xy} \land \exists a( p=(P_{y-1})^a(x))\} & (\mathrm{if}~y\gt 0)\\ \max\{p|p\lt x \land S_{py} \lt S_{xy} \} & (\mathrm{if}~y=0)\\ \end{array}\right.\\ \end{eqnarray*}

计算示例

根据上述规则计算 \((0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,2,0)[2]\) 。 \begin{eqnarray*}{\boldsymbol S} &=& {\boldsymbol S}_0{\boldsymbol S}_1{\boldsymbol S}_2{\boldsymbol S}_3{\boldsymbol S}_4\\ &=&(S_{00},S_{01},S_{02})(S_{10},S_{11},S_{12})(S_{20},S_{21},S_{22})(S_{30},S_{31},S_{32})(S_{40},S_{41},S_{42})\\ &=&(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,2,0) \end{eqnarray*}

  • 第1行的:最右边的元素小于第1行的最右列 \(S_{40} = 4\) 左边是 \(S_{30}=3\)。因此,小于第一行和左边元素的最右边元素称为

\(S_{xy}\) 的亲的列是 \(P_y(x)\) 。

  • 直接祖先: 直接祖先的父母,或者你自己称为那个元素的直接祖先。在这种情况下、\(S_{40} = 4\) 的直接祖先是 \(S_{40}=4,~S_{30}=3,~S_{20}=2,~S_{10}=1,~S_{00}=0\) 。
  • 第二行和后续行的亲: 第二行和后续行、对于给定的元素 \(S_{xy}\),与元素的直接祖先相同的序列 \((P_{y-1})^a(x)\) 高于该元素它在并且小于元素 \(S_{xy}\) 并且在左边,最右边的元素是亲。
  • 坏根: 最右列 \(X-1\) 的非零最下行 \(t\) 的亲的列 \(P_t(X-1)\) 是 坏根 \(r\), 坏根将成为好的部分没有复制 \({\boldsymbol G}\) 和坏部分复制 \({\boldsymbol B}^{(0)}\)的边界。在这种情况下、第2行是非零最下行,坏根是第2行的最右列 \(S_{41} = 2\) 的亲,换句话说,是\(S_{11}=1\),坏根是第2列 (\(r=1\))。
  • 好的部分,坏的部分: 它变成\({\boldsymbol S}_r = (1,1,1)\) 并变成 \({\boldsymbol G} = (0,0,0), {\boldsymbol B}^{(0)} = (1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)\) 。
  • 增加量: 使用坏根 \({\boldsymbol S}_r = (1,1,1)\) 和修剪后的孩子的值 \({\boldsymbol S}_{X-1} = (4,2,0)\) 计算增加量为 \((\Delta_0, \Delta_1, \Delta_2) = (3,0,0)\)。
  • 增加矩阵 是一个矩阵,其中坏根作为直接祖先的元素是1。在这种情况下、\(A_{xy}=(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)\) 。
  • 坏部分复制: 由此坏部分 \({\boldsymbol B}^{(a)}\) 成 \({\boldsymbol B}^{(0)} = (1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)\), \({\boldsymbol B}^{(1)} = (4,1,1)(5,2,2)(6,3,3)\), \({\boldsymbol B}^{(2)} = (7,1,1)(8,2,2)(9,3,3)\), \({\boldsymbol B}^{(3)} = (10,1,1)(11,2,2)(12,3,3)\), \({\boldsymbol B}^{(4)} = (13,1,1)(14,2,2)(15,3,3)\)。
  • 扩张规则, \({\boldsymbol S}[2] = {\boldsymbol G}{\boldsymbol B}^{(0)}{\boldsymbol B}^{(1)}{\boldsymbol B}^{(2)}{\boldsymbol B}^{(3)}{\boldsymbol B}^{(4)}[4]\) 那是 (0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,2,0)[2] = (0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,1,1)(5,2,2)(6,3,3)(7,1,1)(8,2,2)(9,3,3)(10,1,1)(11,2,2)(12,3,3)(13,1,1)(14,2,2)(15,3,3)[4] 。如果以矩阵的形式表示,它将变为这样。

\[\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0\\ \end{pmatrix}[2] = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 \\ \end{pmatrix}[4]\]

这个结果与 Bashicu 矩阵计算机的计算结果 重合。

扩展的方法有点复杂,但已经表明通过用多行九头蛇表[7]达它可以很容易地理解它。

起色

Hyp cos显示了一个示例,其中计算未在2016年4月28日的英语版本的谈话页面上完成,与 Bashicu 于2015年8月21日定义的 Bashicu 矩阵(称为BM1)的第一版相反。之后,Bashicu 在博客文章中发布了Bashicu Matrix矩阵2(BM2)作为Bashichu 数字的 BASIC 程序[8]。此外,Bashicu 创建了一个评论幻灯片[9]

之后,在2018年6月12日,BM3由 Basicu 定义。[10]但、6月29日Alemagno12未显示的示例显示[11]。然后,2018年8月28日Bubby3 展示了一个BM2不会停止的例子[12]

该定义最终由Basik在2018年9月1日更正,现在是 版本4

此外,直到BM4出生,许多亚种如BM2.2, BM2.3, BM3.1, BM3.2 被提出[13][14]

停机的证明

关于 Bashicu 矩阵的计算是否总是结束的问题尚未解决, 黑羽カフカ[15]概述了在某些条件下计算完成到2ch的“大量搜索线程的证据”[16]。但是,根据随后的检查,证据并不完整[17]

在2018年11月11日P进大好きbot证明了对数列系统的停止性质,它将基础矩阵限制为2行[18]

评估尺寸

单行矩阵(原始数列系统)具有 \(f_{\epsilon_0}(n)\) 强度。

\begin{eqnarray*} ()&=&0\\ (0)&=&1\\ (0)(0)&=&2\\ (0)(0)(0)&=&3\\ (0)(1)&=&\omega\\ (0)(1)(0)&=&\omega+1\\ (0)(1)(0)(0)&=&\omega+2\\ (0)(1)(0)(0)(0)&=&\omega+3\\ (0)(1)(0)(1)&=&\omega2\\ (0)(1)(0)(1)(0)&=&\omega2+1\\ (0)(1)(0)(1)(0)(1)&=&\omega3\\ (0)(1)(0)(1)(0)(1)(0)(1)&=&\omega4\\ (0)(1)(1)&=&\omega^2\\ (0)(1)(1)(0)&=&\omega^2+1\\ (0)(1)(1)(0)(0)&=&\omega^2+2\\ (0)(1)(1)(0)(1)&=&\omega^2+\omega\\ (0)(1)(1)(0)(1)(0)&=&\omega^2+\omega+1\\ (0)(1)(1)(0)(1)(0)(1)&=&\omega^2+\omega2\\ (0)(1)(1)(0)(1)(1)&=&\omega^22\\ (0)(1)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(1)&=&\omega^23\\ (0)(1)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(1)&=&\omega^24\\ (0)(1)(1)(1)&=&\omega^3\\ (0)(1)(1)(1)(1)&=&\omega^4\\ (0)(1)(1)(1)(1)(1)&=&\omega^5\\ (0)(1)(2)&=&\omega^\omega\\ (0)(1)(2)(0)&=&\omega^\omega+1\\ (0)(1)(2)(0)(0)&=&\omega^\omega+2\\ (0)(1)(2)(1)&=&\omega^{\omega+1}\\ (0)(1)(2)(1)[64]&\gt&\mathrm{葛立恒数}\\ (0)(1)(2)(0)(1)(2)&=&\omega^\omega2\\ (0)(1)(2)(0)(1)(2)(0)(1)(2)&=&\omega^\omega3\\ (0)(1)(2)(1)&=&\omega^\omega\omega=\omega^{\omega+1}\\ (0)(1)(2)(1)(0)(1)(2)(1)&=&\omega^\omega\omega=\omega^{\omega+1}2\\ (0)(1)(2)(1)(0)(1)(2)(1)(0)(1)(2)(1)&=&\omega^{\omega+1}3\\ (0)(1)(2)(1)(1)&=&\omega^{\omega+2}\\ (0)(1)(2)(1)(1)(1)&=&\omega^{\omega+3}\\ (0)(1)(2)(1)(1)(1)(1)&=&\omega^{\omega+4}\\ (0)(1)(2)(1)(2)&=&\omega^{\omega2}\\ (0)(1)(2)(1)(2)(1)(2)&=&\omega^{\omega3}\\ (0)(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)&=&\omega^{\omega4}\\ (0)(1)(2)(2)&=&\omega^{\omega^2} \\ (0)(1)(2)(2)[n]&\gt& \underbrace{n\rightarrow n \rightarrow \cdots \rightarrow n}_{n \mathrm{个的} n} \\ (0)(1)(2)(2)(2)&=&\omega^{\omega^3}\\ (0)(1)(2)(2)(2)(2)&=&\omega^{\omega^4}\\ (0)(1)(2)(3)&=&\omega^{\omega^\omega}\\ (0)(1)(2)(3)(4)&=&\omega^{\omega^{\omega^\omega}}\\ (0)(1)(2)(3)(4)(5)&=&\omega^{\omega^{\omega^{\omega^\omega}}}\\ (0)(1)(2)(3)(4)(5)...&<&\epsilon_0 \end{eqnarray*}

这种方式 可以容易地用\(\omega\) 表示原始数列和下一对数列。

双行矩阵(对数列系统)具有 \(f_{\psi(\Omega_{\omega})}(n)\) 强度用 Buchholz 的 \(\psi\) 函数。

\begin{eqnarray*} (0,0)(1,1)&=&\epsilon_0\\ (0,0)(1,1)(2,1)&=&\zeta_0\\ (0,0)(1,1)(2,1)(2,1)&=&\eta_0\\ (0,0)(1,1)(2,1)(2,1)(2,1)&=&\varphi(4,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(2,1)(2,1)(2,1)&=&\varphi(5,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,0)&=&\varphi(\omega,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)&=&\Gamma_0\\ &=&\varphi(1,0,0)\\ &=&\mathrm{(Feferman-Schutte~ordinal)} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(1,1)(2,1)(3,1)&=&\Gamma_1=\varphi(1,0,1)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(1,1)(2,1)(3,1)(1,1)(2,1)(3,1) &=&\Gamma_2=\varphi(1,0,2)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,0)&=&\Gamma_\omega=\varphi(1,0,\omega)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(1,0)(2,1)(3,1)(4,1)&=&\Gamma_{\Gamma_0}=\varphi(1,0,\varphi(1,0,0))\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)&=&\Gamma_{\Gamma_{\Gamma_\vdots}}\\ &=&\varphi(1,1,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1)&=&\varphi(2,0,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1)&=&\varphi(3,0,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1)&=&\varphi(4,0,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,0)&=&\varphi(\omega,0,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,0)(4,1)(5,1)(6,1)&=&\varphi(\varphi(1,0,0),0,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,0)(4,1)(5,1)(6,1)(6,0)(7,1)(8,1)(9,1)&=&\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),0,0),0,0) \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)&=&\varphi(1,0,0,0)\\ &=&\varphi(\varphi(\varphi(\cdots,0,0),0,0),0,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)(3,1)&=&\varphi(1,0,0,0,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)(3,1)(3,1)&=&\varphi(1,0,0,0,0,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,0)&=&\varphi(1,0,0,\cdots,0)\\ &=&\psi(\Omega^{\Omega^\omega})\\ &=&\mathrm{Small~Veblen~Ordinal} \end{eqnarray*}

从这里开始,我不能用 Veblen 函数写,Bashicu 矩阵功能强大,很难通过快速增加的函数分析3行矩阵(三重数列系统)的增加速度,所以有很多模棱两可的分析用定义失败的ψ函数。 (0,0,0)(1,1,1) 以上基于 Username5243 的模棱两可的分析用定义失败的ψ函数[19]。在此之后,看看黑色羽毛的分析[20][21][22][23][24][25]用Rathjen的ψ函数。

相关链接

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