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[[File:BMS_expansion.png|thumb|350px|Bashicu矩陣系統的擴展實例]]
'''Bashicu矩陣系統''' (Bashicu matrix system) 是一種生成 bashicu<ref>[[https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC:BashicuHyudora Bashicu]]</ref> 在2014年發明的巨大數字的算法<ref>[http://gyafun.jp/ln/basmat.cgi Bashicu 矩陣計算機]</ref>。
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'''Bashicu矩陣系統''' (Bashicu matrix system;BMS) 是一種生成 bashicu<ref>[https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC:BashicuHyudora 作者:Bashicu]</ref> 在2014年發明的巨大數字的算法<ref>[http://gyafun.jp/ln/basmat.cgi Bashicu 矩陣計算機]</ref>。
   
單行矩陣([[原始列系統]])具有 \(f_{\epsilon_0}(n)\) 強度。
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單行矩陣 ([[原始列系統]], Primitive Sequence System, PrSS) 具有 \(f_{\epsilon_0}(n)\) 強度。
雙行矩陣([[對列系統]])具有 \(f_{\psi(\Omega_{\omega})}(n)\) 強度。
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雙行矩陣 ([[對列系統]], Pair Sequence System, PSS) 大於[https://googology.wikia.org/wiki/TREE_sequence TREE(n)],具有 \(f_{\psi(\Omega_{\omega})}(n)\) 強度。
n 行矩陣的增加率未知哪個序對應。該函數被認為弱於[https://googology.wikia.org/wiki/Loader%27s_number Loader数]的函數。
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行矩陣(三重列系統)大於[https://googology.wikia.org/wiki/Subcubic_graph_number SCG(n)]
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n 行矩陣的增加率未知哪個序數對應。該函數被認為弱於[https://googology.wikia.org/wiki/Loader%27s_number Loader數]的函數。
   
 
== 記法 ==
 
== 記法 ==
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== 定義 ==
 
== 定義 ==
Bashicu 通過編程語言 BASIC 的偽語言使用 Bashicu 矩陣系統定義了'''Bashicu 矩陣數'''<ref>[http://ja.googology.wikia.com/wiki/ユーザーブログ:BashicuHyudora/BASIC言語による巨大数のまとめ#.E3.83.90.E3.82.B7.E3.82.AF.E8.A1.8C.E5.88.97.E6.95.B0.28Bashicu_matrix_number.29 BASIC言語による巨数のまとめ Bashicu 矩陣數]</ref>。
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Bashicu 通過編程語言 BASIC 的偽語言使用 Bashicu 矩陣系統定義了'''Bashicu 矩陣數'''<ref>[https://googology.wikia.org/ja/wiki/ユーザーブログ:BashicuHyudora/BASIC言語による巨大数のまとめ#.E3.83.90.E3.82.B7.E3.82.AF.E8.A1.8C.E5.88.97.E6.95.B0.28Bashicu_matrix_number.29 BASIC大數概要]</ref>。
   
 
由於 Bashicu 創建的程序並非用於執行,因此[[User:Kyodaisuu|Fish]]創建了一個程序 “Bashicu 矩陣計算機”,顯示計算過程,該計劃由 Bashicu 驗證。因此, Bashicu 矩陣的形式定義在 Bashicu 矩陣計算機源代碼<ref>[https://github.com/kyodaisuu/basmat/blob/master/basmat.c Bashicu 矩陣計算機源代碼]</ref><ref>[https://kyodaisuu.github.io/basmat/definition.html Bashicu 矩陣的C語言定義]</ref>中描述。
 
由於 Bashicu 創建的程序並非用於執行,因此[[User:Kyodaisuu|Fish]]創建了一個程序 “Bashicu 矩陣計算機”,顯示計算過程,該計劃由 Bashicu 驗證。因此, Bashicu 矩陣的形式定義在 Bashicu 矩陣計算機源代碼<ref>[https://github.com/kyodaisuu/basmat/blob/master/basmat.c Bashicu 矩陣計算機源代碼]</ref><ref>[https://kyodaisuu.github.io/basmat/definition.html Bashicu 矩陣的C語言定義]</ref>中描述。
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\begin{eqnarray*}
 
\begin{eqnarray*}
 
\mathrm{Bashicu 矩陣數:}~K&=&\mathrm{Bm}^{10}(9)\\
 
\mathrm{Bashicu 矩陣數:}~K&=&\mathrm{Bm}^{10}(9)\\
\mathrm{大函:}~\mathrm{Bm}(n)&=&\mathrm{expand}((\underbrace{0,0,\cdots,0}_{n+1})(\underbrace{1,1,\cdots,1}_{n+1})[n])\\
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\mathrm{大函:}~\mathrm{Bm}(n)&=&\mathrm{expand}((\underbrace{0,0,\cdots,0}_{n+1})(\underbrace{1,1,\cdots,1}_{n+1})[n])\\
 
\mathrm{擴張規則:}~\mathrm{expand}([n])&=&n\\
 
\mathrm{擴張規則:}~\mathrm{expand}([n])&=&n\\
 
\mathrm{expand}({\boldsymbol S}[n])&=&\left\{\begin{array}{ll}
 
\mathrm{expand}({\boldsymbol S}[n])&=&\left\{\begin{array}{ll}
第26行: 第28行:
 
\mathrm{expand}({\boldsymbol G}{\boldsymbol B}^{(0)}{\boldsymbol B}^{(1)}{\boldsymbol B}^{(2)} \cdots {\boldsymbol B}^{(f(n))}[f(n)])&(\mathrm{otherwise})\\
 
\mathrm{expand}({\boldsymbol G}{\boldsymbol B}^{(0)}{\boldsymbol B}^{(1)}{\boldsymbol B}^{(2)} \cdots {\boldsymbol B}^{(f(n))}[f(n)])&(\mathrm{otherwise})\\
 
\end{array}\right.\\
 
\end{array}\right.\\
\mathrm{激活函:}~f(n)&=&n^2\\
+
\mathrm{激活函:}~f(n)&=&n^2\\
 
\mathrm{矩陣:}~{\boldsymbol S}&=&{\boldsymbol S}_0{\boldsymbol S}_1\cdots{\boldsymbol S}_{X-1}\\
 
\mathrm{矩陣:}~{\boldsymbol S}&=&{\boldsymbol S}_0{\boldsymbol S}_1\cdots{\boldsymbol S}_{X-1}\\
 
\mathrm{列:}~{\boldsymbol S}_x&=&(S_{x0},S_{x1},\cdots,S_{x(Y-1)})\\
 
\mathrm{列:}~{\boldsymbol S}_x&=&(S_{x0},S_{x1},\cdots,S_{x(Y-1)})\\
第39行: 第41行:
 
\mathrm{增加矩陣:}~A_{xy}&=&\left\{\begin{array}{ll}
 
\mathrm{增加矩陣:}~A_{xy}&=&\left\{\begin{array}{ll}
 
1 &(\mathrm{if}~ \exists a( r=(P_{y})^a(r+x)))\\
 
1 &(\mathrm{if}~ \exists a( r=(P_{y})^a(r+x)))\\
0 &(\mathrm{otherwise})
+
0 &(\mathrm{否則})
 
\end{array}\right.\\
 
\end{array}\right.\\
 
\mathrm{非零最下行:}~t&=&\max\{y|S_{(X-1)y}\gt 0\}\\
 
\mathrm{非零最下行:}~t&=&\max\{y|S_{(X-1)y}\gt 0\}\\
第76行: 第78行:
 
\end{pmatrix}[4]\]
 
\end{pmatrix}[4]\]
   
結果與 [http://gyafun.jp/ln/basmat.cgi?ini=%280%2C0%2C0%29%281%2C1%2C1%29%282%2C2%2C2%29%283%2C3%2C3%29%284%2C2%2C0%29%0A&inc=3 Bashicu 矩陣計算機的計算結果] 一致
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這個結果與 [http://gyafun.jp/ln/basmat.cgi?ini=%280%2C0%2C0%29%281%2C1%2C1%29%282%2C2%2C2%29%283%2C3%2C3%29%284%2C2%2C0%29%0A&inc=3 Bashicu 矩陣計算機的計算結果] 重合
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擴展的方法有點複雜,但已經表明通過用多行九頭蛇表<ref>[https://googology.wikia.org/wiki/User_blog:Koteitan/The_Hydra_Diagram_based_on_Upper-Branch-Ignoring_Model_for_understanding_BM4_structure 忽略上面模型的九頭蛇圖]</ref>達它可以很容易地理解它。
   
 
== 起色 ==
 
== 起色 ==
 
Hyp cos顯示了一個示例,其中計算未在2016年4月28日的英語版本的談話頁面上完成,與 Bashicu 於2015年8月21日定義的 Bashicu 矩陣(稱為BM1)的第一版相反。之後,Bashicu 在博客文章中發布了Bashicu Matrix矩陣2(BM2)作為Bashichu 數字的 BASIC 程序<ref>[https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:BashicuHyudora/BASIC%E8%A8%80%E8%AA%9E%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E5%B7%A8%E5%A4%A7%E6%95%B0%E3%81%AE%E3%81%BE%E3%81%A8%E3%82%81 BASIC語言中的大量數字摘要]</ref>。此外,Bashicu 創建了一個評論幻燈片<ref>[https://www.slideshare.net/BashicuHyudora/2-77942065 Bashicu 矩陣系統的解釋]</ref>。
 
Hyp cos顯示了一個示例,其中計算未在2016年4月28日的英語版本的談話頁面上完成,與 Bashicu 於2015年8月21日定義的 Bashicu 矩陣(稱為BM1)的第一版相反。之後,Bashicu 在博客文章中發布了Bashicu Matrix矩陣2(BM2)作為Bashichu 數字的 BASIC 程序<ref>[https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:BashicuHyudora/BASIC%E8%A8%80%E8%AA%9E%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E5%B7%A8%E5%A4%A7%E6%95%B0%E3%81%AE%E3%81%BE%E3%81%A8%E3%82%81 BASIC語言中的大量數字摘要]</ref>。此外,Bashicu 創建了一個評論幻燈片<ref>[https://www.slideshare.net/BashicuHyudora/2-77942065 Bashicu 矩陣系統的解釋]</ref>。
   
之後,在2018年6月12日,BM3由 Basicu 定義。<ref>[http://ja.googology.wikia.com/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:Kyodaisuu/%E3%83%90%E3%82%B7%E3%82%AF%E8%A1%8C%E5%88%97%E6%9C%80%E6%96%B0%E3%83%90%E3%83%BC%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%B3 Bashicu 矩陣版本3]</ref>但、6月29日[https://googology.wikia.com/wiki/User:Alemagno12 Alemagno12]未顯示的示例顯示<ref>[https://googology.wikia.com/wiki/User_blog:Alemagno12/BM3_has_an_infinite_loop 不停止BM3的示例]</ref>。然後,2018年8月28日[https://googology.wikia.com/wiki/User:Bubby3 Bubby3] 展示了一個BM2不會停止的例子<ref>[https://googology.wikia.com/wiki/User_blog:Bubby3/BM2_doesn%27t_terminate. 不停止BM2的示例]</ref>。
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之後,在2018年6月12日,BM3由 Basicu 定義。<ref>[https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:Kyodaisuu/%E3%83%90%E3%82%B7%E3%82%AF%E8%A1%8C%E5%88%97%E6%9C%80%E6%96%B0%E3%83%90%E3%83%BC%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%B3 Bashicu 矩陣版本3]</ref>但、6月29日[https://googology.wikia.com/wiki/User:Alemagno12 Alemagno12]未顯示的示例顯示<ref>[https://googology.wikia.com/wiki/User_blog:Alemagno12/BM3_has_an_infinite_loop 不停止BM3的示例]</ref>。然後,2018年8月28日[https://googology.wikia.com/wiki/User:Bubby3 Bubby3] 展示了一個BM2不會停止的例子<ref>[https://googology.wikia.com/wiki/User_blog:Bubby3/BM2_doesn%27t_terminate. 不停止BM2的示例]</ref>。
   
該定義最終由Basik在2018年9月1日更正,現在是 [http://ja.googology.wikia.com/wiki/ユーザーブログ:BashicuHyudora/BASIC言語による巨大数のまとめ#.E3.83.90.E3.82.B7.E3.82.AF.E8.A1.8C.E5.88.97.E6.95.B0.28Bashicu_matrix_number.29?oldid=15603 版本4]。
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該定義最終由Basik在2018年9月1日更正,現在是 [https://googology.wikia.org/ja/wiki/ユーザーブログ:BashicuHyudora/BASIC言語による巨大数のまとめ#.E3.83.90.E3.82.B7.E3.82.AF.E8.A1.8C.E5.88.97.E6.95.B0.28Bashicu_matrix_number.29?oldid=15603 版本4]。
   
 
此外,直到BM4出生,許多亞種如BM2.2, BM2.3, BM3.1, BM3.2 被提出<ref>[https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:Koteitan/%E3%83%90%E3%82%B7%E3%82%AF%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E4%BA%9C%E7%A8%AE%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E Bashicu 矩陣的變體規則的分類]</ref><ref>[https://googology.wikia.com/wiki/User_blog:Ecl1psed276/A_list_of_all_BMS_versions_and_their_differences 所有BMS版本及其差異的列表]</ref>。
 
此外,直到BM4出生,許多亞種如BM2.2, BM2.3, BM3.1, BM3.2 被提出<ref>[https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:Koteitan/%E3%83%90%E3%82%B7%E3%82%AF%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E4%BA%9C%E7%A8%AE%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E Bashicu 矩陣的變體規則的分類]</ref><ref>[https://googology.wikia.com/wiki/User_blog:Ecl1psed276/A_list_of_all_BMS_versions_and_their_differences 所有BMS版本及其差異的列表]</ref>。
   
 
== 停機的證明 ==
 
== 停機的證明 ==
關於 Bashicu 矩陣的計算是否總是結束的問題尚未解決, 黑羽カフカ<ref>[https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC:KurohaKafka User:KurohaKafka]</ref>概述了在某些條件下計算完成到2ch的「大量搜索線程的證據」<ref>[http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1448211924/152-155n 巨大数探索スレッド11.75: 152-155] [https://googology.wikia.org/wiki/User:Kyodaisuu/BashicuProof copy]</ref>。但是,根據隨後的檢查,證據並不完整<ref>[https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:KurohaKafka/%E3%83%90%E3%82%B7%E3%82%AF%E8%A1%8C%E5%88%97_%E8%A8%88%E7%AE%97%E5%8F%AF%E8%83%BD%E6%80%A7%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8E Bashicu矩陣的可計算性證明](評論字段參考)</ref>。
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關於 Bashicu 矩陣的計算是否總是結束的問題尚未解決, 黑羽カフカ<ref>[https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC:KurohaKafka User:KurohaKafka]</ref>概述了在某些條件下計算完成到2ch的「大量搜索線程的證據」<ref>[http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1448211924/152-155n 巨大数探索スレッド11.75: 152-155] [https://googology.wikia.org/wiki/User:Kyodaisuu/BashicuProof copy]</ref>。但是,根據隨後的檢查,證據並不完整<ref>[https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:KurohaKafka/%E3%83%90%E3%82%B7%E3%82%AF%E8%A1%8C%E5%88%97_%E8%A8%88%E7%AE%97%E5%8F%AF%E8%83%BD%E6%80%A7%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8E Bashicu矩陣的可計算性證明](評論字段參考)</ref>。
   
2018年11月11日[http://ja.googology.wikia.com/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC:P%E9%80%B2%E5%A4%A7%E5%A5%BD%E3%81%8Dbot P進大好きbot]證明了[[對數列系統]]的停止性質,它將基礎矩陣限制為2行<ref>[http://ja.googology.wikia.com/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:P%E9%80%B2%E5%A4%A7%E5%A5%BD%E3%81%8Dbot/%E3%83%9A%E3%82%A2%E6%95%B0%E5%88%97%E3%81%AE%E5%81%9C%E6%AD%A2%E6%80%A7 對數列系統的停機證明]</ref>。
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2018年11月11日[https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC:P%E9%80%B2%E5%A4%A7%E5%A5%BD%E3%81%8Dbot P進大好きbot]證明了[[對數列系統]]的停止性質,它將基礎矩陣限制為2行<ref>[https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:P%E9%80%B2%E5%A4%A7%E5%A5%BD%E3%81%8Dbot/%E3%83%9A%E3%82%A2%E6%95%B0%E5%88%97%E3%81%AE%E5%81%9C%E6%AD%A2%E6%80%A7 對數列系統的停機證明]</ref>。
   
 
== 評估尺寸 ==
 
== 評估尺寸 ==
第96行: 第100行:
 
單行矩陣([[原始數列系統]])具有 \(f_{\epsilon_0}(n)\) 強度。
 
單行矩陣([[原始數列系統]])具有 \(f_{\epsilon_0}(n)\) 強度。
   
 
\begin{eqnarray*}
雙行矩陣([[對數列系統]])具有 \(f_{\psi(\Omega_{\omega})}(n)\) 強度。
 
  +
()&=&0\\
  +
(0)&=&1\\
  +
(0)(0)&=&2\\
  +
(0)(0)(0)&=&3\\
 
(0)(1)&=&\omega\\
 
(0)(1)(0)&=&\omega+1\\
 
(0)(1)(0)(0)&=&\omega+2\\
 
(0)(1)(0)(0)(0)&=&\omega+3\\
 
(0)(1)(0)(1)&=&\omega2\\
 
(0)(1)(0)(1)(0)&=&\omega2+1\\
 
(0)(1)(0)(1)(0)(1)&=&\omega3\\
  +
(0)(1)(0)(1)(0)(1)(0)(1)&=&\omega4\\
 
(0)(1)(1)&=&\omega^2\\
 
(0)(1)(1)(0)&=&\omega^2+1\\
 
(0)(1)(1)(0)(0)&=&\omega^2+2\\
 
(0)(1)(1)(0)(1)&=&\omega^2+\omega\\
 
(0)(1)(1)(0)(1)(0)&=&\omega^2+\omega+1\\
 
(0)(1)(1)(0)(1)(0)(1)&=&\omega^2+\omega2\\
 
(0)(1)(1)(0)(1)(1)&=&\omega^22\\
 
(0)(1)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(1)&=&\omega^23\\
 
(0)(1)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(1)&=&\omega^24\\
 
(0)(1)(1)(1)&=&\omega^3\\
 
(0)(1)(1)(1)(1)&=&\omega^4\\
 
(0)(1)(1)(1)(1)(1)&=&\omega^5\\
  +
(0)(1)(2)&=&\omega^\omega\\
 
(0)(1)(2)(0)&=&\omega^\omega+1\\
 
(0)(1)(2)(0)(0)&=&\omega^\omega+2\\
  +
(0)(1)(2)(1)&=&\omega^{\omega+1}\\
  +
(0)(1)(2)(1)[64]&\gt&\mathrm{葛立恒数}\\
  +
(0)(1)(2)(0)(1)(2)&=&\omega^\omega2\\
 
(0)(1)(2)(0)(1)(2)(0)(1)(2)&=&\omega^\omega3\\
  +
(0)(1)(2)(1)&=&\omega^\omega\omega=\omega^{\omega+1}\\
  +
(0)(1)(2)(1)(0)(1)(2)(1)&=&\omega^\omega\omega=\omega^{\omega+1}2\\
 
(0)(1)(2)(1)(0)(1)(2)(1)(0)(1)(2)(1)&=&\omega^{\omega+1}3\\
 
(0)(1)(2)(1)(1)&=&\omega^{\omega+2}\\
  +
(0)(1)(2)(1)(1)(1)&=&\omega^{\omega+3}\\
  +
(0)(1)(2)(1)(1)(1)(1)&=&\omega^{\omega+4}\\
  +
(0)(1)(2)(1)(2)&=&\omega^{\omega2}\\
  +
(0)(1)(2)(1)(2)(1)(2)&=&\omega^{\omega3}\\
  +
(0)(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)&=&\omega^{\omega4}\\
  +
(0)(1)(2)(2)&=&\omega^{\omega^2} \\
  +
(0)(1)(2)(2)[n]&\gt& \underbrace{n\rightarrow n \rightarrow \cdots \rightarrow n}_{n \mathrm{个的} n} \\
  +
(0)(1)(2)(2)(2)&=&\omega^{\omega^3}\\
  +
(0)(1)(2)(2)(2)(2)&=&\omega^{\omega^4}\\
  +
(0)(1)(2)(3)&=&\omega^{\omega^\omega}\\
 
(0)(1)(2)(3)(4)&=&\omega^{\omega^{\omega^\omega}}\\
  +
(0)(1)(2)(3)(4)(5)&=&\omega^{\omega^{\omega^{\omega^\omega}}}\\
  +
(0)(1)(2)(3)(4)(5)...&<&\epsilon_0
 
\end{eqnarray*}
  +
  +
以[https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:Koteitan/%E3%83%90%E3%82%B7%E3%82%AF%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E3%83%92%E3%83%89%E3%83%A9%E8%A1%A8%E8%A8%98 這種方式] 可以容易地用\(\omega\) 表示原始數列和下一對數列。
  +
 
雙行矩陣([[對數列系統]])具有 \(f_{\psi(\Omega_{\omega})}(n)\) 強度用 Buchholz 的 \(\psi\) 函數
   
 
\begin{eqnarray*}
 
\begin{eqnarray*}
第106行: 第163行:
 
(0,0)(1,1)(2,1)(3,0)&=&\varphi(\omega,0)\\
 
(0,0)(1,1)(2,1)(3,0)&=&\varphi(\omega,0)\\
 
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)&=&\Gamma_0\\
 
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)&=&\Gamma_0\\
&=&\varphi(1,0,0)=\mathrm{(Feferman-Schutte~ordinal)}\\
+
&=&\varphi(1,0,0)\\
  +
&=&\mathrm{(Feferman-Schutte~ordinal)}
  +
\end{eqnarray*}
  +
\begin{eqnarray*}
 
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(1,1)(2,1)(3,1)&=&\Gamma_1=\varphi(1,0,1)\\
 
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(1,1)(2,1)(3,1)&=&\Gamma_1=\varphi(1,0,1)\\
 
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(1,1)(2,1)(3,1)(1,1)(2,1)(3,1)
 
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(1,1)(2,1)(3,1)(1,1)(2,1)(3,1)
第119行: 第179行:
 
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,0)&=&\varphi(\omega,0,0)\\
 
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,0)&=&\varphi(\omega,0,0)\\
 
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,0)(4,1)(5,1)(6,1)&=&\varphi(\varphi(1,0,0),0,0)\\
 
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,0)(4,1)(5,1)(6,1)&=&\varphi(\varphi(1,0,0),0,0)\\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,0)(4,1)(5,1)(6,1)(6,0)(7,1)(8,1)(9,1)&=&\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),0,0),0,0)\\
+
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,0)(4,1)(5,1)(6,1)(6,0)(7,1)(8,1)(9,1)&=&\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),0,0),0,0)
  +
\end{eqnarray*}
  +
\begin{eqnarray*}
 
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)&=&\varphi(1,0,0,0)\\
 
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)&=&\varphi(1,0,0,0)\\
 
&=&\varphi(\varphi(\varphi(\cdots,0,0),0,0),0,0)\\
 
&=&\varphi(\varphi(\varphi(\cdots,0,0),0,0),0,0)\\
 
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)(3,1)&=&\varphi(1,0,0,0,0)\\
 
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)(3,1)&=&\varphi(1,0,0,0,0)\\
 
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)(3,1)(3,1)&=&\varphi(1,0,0,0,0,0)\\
 
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)(3,1)(3,1)&=&\varphi(1,0,0,0,0,0)\\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,0)&=&\varphi(1,0,0,\cdots,0)=\psi(\Omega^{\Omega^\omega})\\
+
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,0)&=&\varphi(1,0,0,\cdots,0)\\
&=&\mathrm{TREE}(n)\\
+
&=&\psi(\Omega^{\Omega^\omega})\\
&=&\mathrm{Small~Veblen~Ordinal}\\
+
&=&\mathrm{Small~Veblen~Ordinal}
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,0)(4,0)&=&\psi(\Omega^{\Omega^{\omega^2}})\\
 
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,0)(5,0)&=&\psi(\Omega^{\Omega^{\omega^\omega}})\\
 
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)&=&\psi(\Omega^{\Omega^\Omega})\\
 
&=&\mathrm{Large Veblen Ordinal}\\
 
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)&=&\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega^\Omega}})\\
 
(0,0)(1,1)(2,2)&=&\psi(\Omega^{\Omega^{\vdots^\Omega}})\\
 
&=&\psi(\Omega_2)\\
 
&=&\mathrm{Bachmann-Howard~Ordinal;~BHO}\\
 
(0,0)(1,1)(2,2)&=&\psi({\Omega_2}^{{\Omega_2}^{\vdots^{\Omega_2}}})\\
 
&=&\psi(\Omega_3)\\
 
(0,0)(1,1)(2,2)\cdots(n,n)&=&\psi(\Omega_{n+1})<\psi(\Omega_{\omega})
 
\end{eqnarray*}
 
 
Basicu 矩陣功能強大,很難通過快速增加的函數分析3行矩陣(三重數列系統)的增加速度,但在一定程度上進行了分析
 
 
\begin{eqnarray*}
 
(0,0,0)(1,1,1)&=&\psi(\Omega_\omega)\\
 
(0,0,0)(1,1,1)(1,1,0)&=&\psi(\Omega_\omega+\Omega_1)\\
 
(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(2,2,0)&=&\psi(\Omega_\omega+\Omega_2})\\
 
(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(2,2,0)(3,3,1)(3,3,0)&=&\psi(\Omega_\omega+\Omega_3)\\
 
(0,0,0)(1,1,1)(1,1,1)&=&\psi(\Omega_\omega2)\\
 
(0,0,0)(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)&=&\psi(\Omega_\omega3)\\
 
(0,0,0)(1,1,1)(2,0,0)&=&\psi(\Omega_\omega\omega)\\
 
(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)&=&\psi(\Omega_\omega\Omega)\\
 
(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)&=&\psi(\Omega_{\omega+1})\\
 
(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)(2,2,0)&=&\psi(\Omega_{\omega+1}2)\\
 
(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)(3,3,0)&=&\psi(\Omega_{\omega+2})\\
 
(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)(3,3,0)(3,3,0)&=&\psi(\Omega_{\omega+3})\\
 
(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)(3,3,0)(3,3,0)(3,3,0)&=&\psi(\Omega_{\omega+4})\\
 
(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)(3,3,1)&=&\psi(\Omega_{\omega2})\\
 
(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)&=&\psi(\Omega_{\omega^2})\\
 
(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(2,2,1)(3,3,1)(4,4,1)&=&\psi(\Omega_{\omega^22})\\
 
(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(2,2,1)(3,3,1)(4,4,1)(4,4,1)(5,5,1)(6,6,1)&=&\psi(\Omega_{\omega^23})\\
 
(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(2,2,1)&=&\psi(\Omega_{\omega^3})\\
 
(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(2,2,1)(2,2,1)&=&\psi(\Omega_{\omega^4})\\
 
(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(2,2,1)(2,2,1)(2,2,1)&=&\psi(\Omega_{\omega^5})\\
 
(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,0,0)&=&\psi(\Omega_{\omega^\omega})
 
 
\end{eqnarray*}
 
\end{eqnarray*}
   
 
從這裡開始,我不能用 Veblen 函數寫,Bashicu 矩陣功能強大,很難通過快速增加的函數分析3行矩陣(三重數列系統)的增加速度,所以有很多模棱兩可的分析用定義失敗的ψ函數。
<ref>[https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:BashicuHyudora/%E3%83%90%E3%82%B7%E3%82%AF%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E8%A7%A3%E6%9E%90 Bashicu分析]</ref><ref>[https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:KurohaKafka/%E3%83%90%E3%82%B7%E3%82%AF%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E8%A7%A3%E6%9E%90_by_Kuroha 黑羽カフカ分析]</ref><ref>[[:en:User_blog:Bubby3/Bashicu_matrix_system_analysis|Matthew 分析]]</ref><ref>[[:en:User_blog:Googleaarex/Bashicu_Matrix_System_Analysis_(Part_1)|Aarex 分析]]</ref><ref>[http://koteitan.hatenablog.com/entry/2017/08/20/152249 Bashicu 矩陣分析的鏈接 by koteitan]</ref>。
+
(0,0,0)(1,1,1) 以上基于 Username5243 的模棱兩可的分析用定義失敗的ψ函數<ref>[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Y4BV65KNPjJ6uBtBBFYDXKo6PFlmEuowyn39XmLh4MI/edit#gid=0 BM4 Analysis] by [https://googology.wikia.org/wiki/User:Username5243 Username5243]</ref>。在此之後,看看黑色羽毛的分析<ref>[https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:KurohaKafka/%E3%83%90%E3%82%B7%E3%82%AF%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E8%A7%A3%E6%9E%90_by_Kuroha 黑羽カフカ的分析]</ref><ref>[https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:BashicuHyudora/%E3%83%90%E3%82%B7%E3%82%AF%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E8%A7%A3%E6%9E%90 Bashicu分析]</ref><ref>[https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%B0:KurohaKafka/%E3%83%90%E3%82%B7%E3%82%AF%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E8%A7%A3%E6%9E%90_by_Kuroha 黑羽カフカ分析]</ref><ref>[[:en:User_blog:Bubby3/Bashicu_matrix_system_analysis|Matthew 分析]]</ref><ref>[[:en:User_blog:Googleaarex/Bashicu_Matrix_System_Analysis_(Part_1)|Aarex 分析]]</ref><ref>[http://koteitan.hatenablog.com/entry/2017/08/20/152249 Bashicu 矩陣分析的鏈接 by koteitan]</ref>用Rathjen的ψ函數
   
 
== 源 ==
 
== 源 ==
第174行: 第200行:
 
* [https://www.slideshare.net/BashicuHyudora/2-77942065 Bashicu 矩陣系統的解釋] by Bashicu
 
* [https://www.slideshare.net/BashicuHyudora/2-77942065 Bashicu 矩陣系統的解釋] by Bashicu
 
* [http://gyafun.jp/ln/basmat.cgi Bashicu Matrix Calculator] by Fish
 
* [http://gyafun.jp/ln/basmat.cgi Bashicu Matrix Calculator] by Fish
* [http://www.ukaibutton.com/hydraviewer/ Hydra Viewer] by koteitan (可以使用hydra顯示直至對數列的計算。)
+
* [http://www.ukaibutton.com/hydraviewer/ Hydra Viewer] by koteitan (這顯示了使用 hydra 計算對數列)
 
* [https://pbs.twimg.com/media/DmCI89EV4AAwKVM.jpg:orig BM4 完整的評論] by koteitan (BM4 的閱讀和評論偽BASIC程序)
 
* [https://pbs.twimg.com/media/DmCI89EV4AAwKVM.jpg:orig BM4 完整的評論] by koteitan (BM4 的閱讀和評論偽BASIC程序)
   
 
[[en:Bashicu matrix system]] [[ja:バシク行列システム]]
 
[[en:Bashicu matrix system]] [[ja:バシク行列システム]]
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[[Category:Bashicu矩陣系統]]
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[[Category:記號]]

2021年6月18日 (五) 02:34的版本

BMS expansion

Bashicu矩陣系統的擴展實例

Bashicu矩陣系統 (Bashicu matrix system;BMS) 是一種生成 bashicu[1] 在2014年發明的巨大數字的算法[2]

單行矩陣 (原始數列系統, Primitive Sequence System, PrSS) 具有 \(f_{\epsilon_0}(n)\) 強度。 雙行矩陣 (對數列系統, Pair Sequence System, PSS) 大於TREE(n),具有 \(f_{\psi(\Omega_{\omega})}(n)\) 強度。 3行矩陣(三重數列系統)大於SCG(n), n 行矩陣的增加率未知哪個序數對應。該函數被認為弱於Loader數的函數。

記法

Bashicu 矩陣 是一個矩陣,其元素是非負整數,如

\(\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}\)

通過排列像 \((a_{11},a_{21})(a_{12},a_{22})(a_{13},a_{23})\) 這樣的列向量的轉置矩陣來表示這是 Bashicu 矩陣的數列表示法。Bashicu 矩陣 \({\boldsymbol S}[n]\) 作從自然數 \(n\) 到自然數 \({\boldsymbol S}[n]\) 的函數起作用並並寫成 \((0,0)(1,1)(2,2)(3,3)(3,2)[n]\)。

定義

Bashicu 通過編程語言 BASIC 的偽語言使用 Bashicu 矩陣系統定義了Bashicu 矩陣數[3]

由於 Bashicu 創建的程序並非用於執行,因此Fish創建了一個程序 “Bashicu 矩陣計算機”,顯示計算過程,該計劃由 Bashicu 驗證。因此, Bashicu 矩陣的形式定義在 Bashicu 矩陣計算機源代碼[4][5]中描述。

數學定義

如果您將 Bashicu 矩陣數作為公式編寫,它將如下所示[6]

\begin{eqnarray*} \mathrm{Bashicu 矩陣數:}~K&=&\mathrm{Bm}^{10}(9)\\ \mathrm{大函數:}~\mathrm{Bm}(n)&=&\mathrm{expand}((\underbrace{0,0,\cdots,0}_{n+1})(\underbrace{1,1,\cdots,1}_{n+1})[n])\\ \mathrm{擴張規則:}~\mathrm{expand}([n])&=&n\\ \mathrm{expand}({\boldsymbol S}[n])&=&\left\{\begin{array}{ll} \mathrm{expand}({\boldsymbol S}_0\cdots{\boldsymbol S}_{X-2}[f(n)])&(\mathrm{if}~\forall y~S_{(X-1)y}=0)\\ \mathrm{expand}({\boldsymbol G}{\boldsymbol B}^{(0)}{\boldsymbol B}^{(1)}{\boldsymbol B}^{(2)} \cdots {\boldsymbol B}^{(f(n))}[f(n)])&(\mathrm{otherwise})\\ \end{array}\right.\\ \mathrm{激活函數:}~f(n)&=&n^2\\ \mathrm{矩陣:}~{\boldsymbol S}&=&{\boldsymbol S}_0{\boldsymbol S}_1\cdots{\boldsymbol S}_{X-1}\\ \mathrm{列:}~{\boldsymbol S}_x&=&(S_{x0},S_{x1},\cdots,S_{x(Y-1)})\\ \mathrm{好的部分:}~{\boldsymbol G}&=&{\boldsymbol S}_0{\boldsymbol S}_1\cdots{\boldsymbol S}_{r-1}\\ \mathrm{壞的部分:}~{\boldsymbol B}^{(a)}&=&{\boldsymbol B}_0^{(a)}{\boldsymbol B}_1^{(a)}\cdots{\boldsymbol B}_{X-2-r}^{(a)}\\ \mathrm{壞的部分的列:}~{\boldsymbol B}_x^{(a)}&=&(B_{x0}^{(a)},B_{x1}^{(a)},\cdots,B_{x(Y-1)}^{(a)})\\ \mathrm{壞的部分的元素:}~B_{xy}^{(a)}&=&S_{(r+x)y}+a\Delta_{y}A_{xy}\\ \mathrm{增加量:}~\Delta_{y}&=&\left\{\begin{array}{ll} S_{(X-1)y}-S_{ry}&(\mathrm{if}~y\gt t)\\ 0 &(\mathrm{if}~y\leq t) \end{array}\right.\\ \mathrm{增加矩陣:}~A_{xy}&=&\left\{\begin{array}{ll} 1 &(\mathrm{if}~ \exists a( r=(P_{y})^a(r+x)))\\ 0 &(\mathrm{否則}) \end{array}\right.\\ \mathrm{非零最下行:}~t&=&\max\{y|S_{(X-1)y}\gt 0\}\\ \mathrm{壞根:}~r &=& P_t(X-1)\\ S_{xy}~\mathrm{的親}:~P_{y}(x)&=&\left\{\begin{array}{ll} \max\{p|p\lt x \land S_{py} \lt S_{xy} \land \exists a( p=(P_{y-1})^a(x))\} & (\mathrm{if}~y\gt 0)\\ \max\{p|p\lt x \land S_{py} \lt S_{xy} \} & (\mathrm{if}~y=0)\\ \end{array}\right.\\ \end{eqnarray*}

計算示例

根據上述規則計算 \((0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,2,0)[2]\) 。 \begin{eqnarray*}{\boldsymbol S} &=& {\boldsymbol S}_0{\boldsymbol S}_1{\boldsymbol S}_2{\boldsymbol S}_3{\boldsymbol S}_4\\ &=&(S_{00},S_{01},S_{02})(S_{10},S_{11},S_{12})(S_{20},S_{21},S_{22})(S_{30},S_{31},S_{32})(S_{40},S_{41},S_{42})\\ &=&(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,2,0) \end{eqnarray*}

  • 第1行的:最右邊的元素小於第1行的最右列 \(S_{40} = 4\) 左邊是 \(S_{30}=3\)。因此,小於第一行和左邊元素的最右邊元素稱為

\(S_{xy}\) 的親的列是 \(P_y(x)\) 。

  • 直接祖先: 直接祖先的父母,或者你自己稱為那個元素的直接祖先。在這種情況下、\(S_{40} = 4\) 的直接祖先是 \(S_{40}=4,~S_{30}=3,~S_{20}=2,~S_{10}=1,~S_{00}=0\) 。
  • 第二行和後續行的親: 第二行和後續行、對於給定的元素 \(S_{xy}\),與元素的直接祖先相同的序列 \((P_{y-1})^a(x)\) 高於該元素它在並且小於元素 \(S_{xy}\) 並且在左邊,最右邊的元素是親。
  • 壞根: 最右列 \(X-1\) 的非零最下行 \(t\) 的親的列 \(P_t(X-1)\) 是 壞根 \(r\), 壞根將成為好的部分沒有復制 \({\boldsymbol G}\) 和壞部分複制 \({\boldsymbol B}^{(0)}\)的邊界。在這種情況下、第2行是非零最下行,壞根是第2行的最右列 \(S_{41} = 2\) 的親,換句話說,是\(S_{11}=1\),壞根是第2列 (\(r=1\))。
  • 好的部分,壞的部分: 它變成\({\boldsymbol S}_r = (1,1,1)\) 並變成 \({\boldsymbol G} = (0,0,0), {\boldsymbol B}^{(0)} = (1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)\) 。
  • 增加量: 使用壞根 \({\boldsymbol S}_r = (1,1,1)\) 和修剪後的孩子的值 \({\boldsymbol S}_{X-1} = (4,2,0)\) 計算增加量為 \((\Delta_0, \Delta_1, \Delta_2) = (3,0,0)\)。
  • 增加矩陣 是一個矩陣,其中壞根作為直接祖先的元素是1。在這種情況下、\(A_{xy}=(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)\) 。
  • 壞部分複制: 由此壞部分 \({\boldsymbol B}^{(a)}\) 成 \({\boldsymbol B}^{(0)} = (1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)\), \({\boldsymbol B}^{(1)} = (4,1,1)(5,2,2)(6,3,3)\), \({\boldsymbol B}^{(2)} = (7,1,1)(8,2,2)(9,3,3)\), \({\boldsymbol B}^{(3)} = (10,1,1)(11,2,2)(12,3,3)\), \({\boldsymbol B}^{(4)} = (13,1,1)(14,2,2)(15,3,3)\)。
  • 擴張規則, \({\boldsymbol S}[2] = {\boldsymbol G}{\boldsymbol B}^{(0)}{\boldsymbol B}^{(1)}{\boldsymbol B}^{(2)}{\boldsymbol B}^{(3)}{\boldsymbol B}^{(4)}[4]\) 那是 (0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,2,0)[2] = (0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,1,1)(5,2,2)(6,3,3)(7,1,1)(8,2,2)(9,3,3)(10,1,1)(11,2,2)(12,3,3)(13,1,1)(14,2,2)(15,3,3)[4] 。如果以矩陣的形式表示,它將變為這樣。

\[\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0\\ \end{pmatrix}[2] = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 \\ \end{pmatrix}[4]\]

這個結果與 Bashicu 矩陣計算機的計算結果 重合。

擴展的方法有點複雜,但已經表明通過用多行九頭蛇表[7]達它可以很容易地理解它。

起色

Hyp cos顯示了一個示例,其中計算未在2016年4月28日的英語版本的談話頁面上完成,與 Bashicu 於2015年8月21日定義的 Bashicu 矩陣(稱為BM1)的第一版相反。之後,Bashicu 在博客文章中發布了Bashicu Matrix矩陣2(BM2)作為Bashichu 數字的 BASIC 程序[8]。此外,Bashicu 創建了一個評論幻燈片[9]

之後,在2018年6月12日,BM3由 Basicu 定義。[10]但、6月29日Alemagno12未顯示的示例顯示[11]。然後,2018年8月28日Bubby3 展示了一個BM2不會停止的例子[12]

該定義最終由Basik在2018年9月1日更正,現在是 版本4

此外,直到BM4出生,許多亞種如BM2.2, BM2.3, BM3.1, BM3.2 被提出[13][14]

停機的證明

關於 Bashicu 矩陣的計算是否總是結束的問題尚未解決, 黑羽カフカ[15]概述了在某些條件下計算完成到2ch的「大量搜索線程的證據」[16]。但是,根據隨後的檢查,證據並不完整[17]

在2018年11月11日P進大好きbot證明了對數列系統的停止性質,它將基礎矩陣限制為2行[18]

評估尺寸

單行矩陣(原始數列系統)具有 \(f_{\epsilon_0}(n)\) 強度。

\begin{eqnarray*} ()&=&0\\ (0)&=&1\\ (0)(0)&=&2\\ (0)(0)(0)&=&3\\ (0)(1)&=&\omega\\ (0)(1)(0)&=&\omega+1\\ (0)(1)(0)(0)&=&\omega+2\\ (0)(1)(0)(0)(0)&=&\omega+3\\ (0)(1)(0)(1)&=&\omega2\\ (0)(1)(0)(1)(0)&=&\omega2+1\\ (0)(1)(0)(1)(0)(1)&=&\omega3\\ (0)(1)(0)(1)(0)(1)(0)(1)&=&\omega4\\ (0)(1)(1)&=&\omega^2\\ (0)(1)(1)(0)&=&\omega^2+1\\ (0)(1)(1)(0)(0)&=&\omega^2+2\\ (0)(1)(1)(0)(1)&=&\omega^2+\omega\\ (0)(1)(1)(0)(1)(0)&=&\omega^2+\omega+1\\ (0)(1)(1)(0)(1)(0)(1)&=&\omega^2+\omega2\\ (0)(1)(1)(0)(1)(1)&=&\omega^22\\ (0)(1)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(1)&=&\omega^23\\ (0)(1)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(1)&=&\omega^24\\ (0)(1)(1)(1)&=&\omega^3\\ (0)(1)(1)(1)(1)&=&\omega^4\\ (0)(1)(1)(1)(1)(1)&=&\omega^5\\ (0)(1)(2)&=&\omega^\omega\\ (0)(1)(2)(0)&=&\omega^\omega+1\\ (0)(1)(2)(0)(0)&=&\omega^\omega+2\\ (0)(1)(2)(1)&=&\omega^{\omega+1}\\ (0)(1)(2)(1)[64]&\gt&\mathrm{葛立恒数}\\ (0)(1)(2)(0)(1)(2)&=&\omega^\omega2\\ (0)(1)(2)(0)(1)(2)(0)(1)(2)&=&\omega^\omega3\\ (0)(1)(2)(1)&=&\omega^\omega\omega=\omega^{\omega+1}\\ (0)(1)(2)(1)(0)(1)(2)(1)&=&\omega^\omega\omega=\omega^{\omega+1}2\\ (0)(1)(2)(1)(0)(1)(2)(1)(0)(1)(2)(1)&=&\omega^{\omega+1}3\\ (0)(1)(2)(1)(1)&=&\omega^{\omega+2}\\ (0)(1)(2)(1)(1)(1)&=&\omega^{\omega+3}\\ (0)(1)(2)(1)(1)(1)(1)&=&\omega^{\omega+4}\\ (0)(1)(2)(1)(2)&=&\omega^{\omega2}\\ (0)(1)(2)(1)(2)(1)(2)&=&\omega^{\omega3}\\ (0)(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)&=&\omega^{\omega4}\\ (0)(1)(2)(2)&=&\omega^{\omega^2} \\ (0)(1)(2)(2)[n]&\gt& \underbrace{n\rightarrow n \rightarrow \cdots \rightarrow n}_{n \mathrm{个的} n} \\ (0)(1)(2)(2)(2)&=&\omega^{\omega^3}\\ (0)(1)(2)(2)(2)(2)&=&\omega^{\omega^4}\\ (0)(1)(2)(3)&=&\omega^{\omega^\omega}\\ (0)(1)(2)(3)(4)&=&\omega^{\omega^{\omega^\omega}}\\ (0)(1)(2)(3)(4)(5)&=&\omega^{\omega^{\omega^{\omega^\omega}}}\\ (0)(1)(2)(3)(4)(5)...&<&\epsilon_0 \end{eqnarray*}

這種方式 可以容易地用\(\omega\) 表示原始數列和下一對數列。

雙行矩陣(對數列系統)具有 \(f_{\psi(\Omega_{\omega})}(n)\) 強度用 Buchholz 的 \(\psi\) 函數。

\begin{eqnarray*} (0,0)(1,1)&=&\epsilon_0\\ (0,0)(1,1)(2,1)&=&\zeta_0\\ (0,0)(1,1)(2,1)(2,1)&=&\eta_0\\ (0,0)(1,1)(2,1)(2,1)(2,1)&=&\varphi(4,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(2,1)(2,1)(2,1)&=&\varphi(5,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,0)&=&\varphi(\omega,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)&=&\Gamma_0\\ &=&\varphi(1,0,0)\\ &=&\mathrm{(Feferman-Schutte~ordinal)} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(1,1)(2,1)(3,1)&=&\Gamma_1=\varphi(1,0,1)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(1,1)(2,1)(3,1)(1,1)(2,1)(3,1) &=&\Gamma_2=\varphi(1,0,2)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,0)&=&\Gamma_\omega=\varphi(1,0,\omega)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(1,0)(2,1)(3,1)(4,1)&=&\Gamma_{\Gamma_0}=\varphi(1,0,\varphi(1,0,0))\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)&=&\Gamma_{\Gamma_{\Gamma_\vdots}}\\ &=&\varphi(1,1,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1)&=&\varphi(2,0,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1)&=&\varphi(3,0,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1)&=&\varphi(4,0,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,0)&=&\varphi(\omega,0,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,0)(4,1)(5,1)(6,1)&=&\varphi(\varphi(1,0,0),0,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,0)(4,1)(5,1)(6,1)(6,0)(7,1)(8,1)(9,1)&=&\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),0,0),0,0) \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)&=&\varphi(1,0,0,0)\\ &=&\varphi(\varphi(\varphi(\cdots,0,0),0,0),0,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)(3,1)&=&\varphi(1,0,0,0,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)(3,1)(3,1)&=&\varphi(1,0,0,0,0,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,0)&=&\varphi(1,0,0,\cdots,0)\\ &=&\psi(\Omega^{\Omega^\omega})\\ &=&\mathrm{Small~Veblen~Ordinal} \end{eqnarray*}

從這裡開始,我不能用 Veblen 函數寫,Bashicu 矩陣功能強大,很難通過快速增加的函數分析3行矩陣(三重數列系統)的增加速度,所以有很多模棱兩可的分析用定義失敗的ψ函數。 (0,0,0)(1,1,1) 以上基于 Username5243 的模棱兩可的分析用定義失敗的ψ函數[19]。在此之後,看看黑色羽毛的分析[20][21][22][23][24][25]用Rathjen的ψ函數。

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