Bashicu矩陣系統

Bashicu矩陣系統的擴展實例

Bashicu矩陣系統 (Bashicu matrix system;BMS) 是一種生成 bashicu 在2014年發明的巨大數字的算法。

單行矩陣 (原始數列系統, Primitive Sequence System, PrSS) 具有 \(f_{\epsilon_0}(n)\) 強度。 雙行矩陣 (對數列系統, Pair Sequence System, PSS) 大於TREE(n)，具有 \(f_{\psi(\Omega_{\omega})}(n)\) 強度。 ３行矩陣(三重數列系統)大於SCG(n)， n 行矩陣的增加率未知哪個序數對應。該函數被認為弱於Loader數的函數。

記法

Bashicu 矩陣 是一個矩陣，其元素是非負整數，如

\(\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}\)

通過排列像 \((a_{11},a_{21})(a_{12},a_{22})(a_{13},a_{23})\) 這樣的列向量的轉置矩陣來表示這是 Bashicu 矩陣的數列表示法。Bashicu 矩陣 \({\boldsymbol S}[n]\) 作從自然數 \(n\) 到自然數 \({\boldsymbol S}[n]\) 的函數起作用並並寫成 \((0,0)(1,1)(2,2)(3,3)(3,2)[n]\)。

定義

Bashicu 通過編程語言 BASIC 的偽語言使用 Bashicu 矩陣系統定義了Bashicu 矩陣數。

由於 Bashicu 創建的程序並非用於執行，因此Fish創建了一個程序 “Bashicu 矩陣計算機”，顯示計算過程，該計劃由 Bashicu 驗證。因此，　Bashicu 矩陣的形式定義在 Bashicu 矩陣計算機源代碼中描述。

數學定義

如果您將 Bashicu 矩陣數作為公式編寫，它將如下所示。

\begin{eqnarray*} \mathrm{Bashicu 矩陣數:}~K&=&\mathrm{Bm}^{10}(9)\\ \mathrm{大函數:}~\mathrm{Bm}(n)&=&\mathrm{expand}((\underbrace{0,0,\cdots,0}_{n+1})(\underbrace{1,1,\cdots,1}_{n+1})[n])\\ \mathrm{擴張規則:}~\mathrm{expand}([n])&=&n\\ \mathrm{expand}({\boldsymbol S}[n])&=&\left\{\begin{array}{ll} \mathrm{expand}({\boldsymbol S}_0\cdots{\boldsymbol S}_{X-2}[f(n)])&(\mathrm{if}~\forall y~S_{(X-1)y}=0)\\ \mathrm{expand}({\boldsymbol G}{\boldsymbol B}^{(0)}{\boldsymbol B}^{(1)}{\boldsymbol B}^{(2)} \cdots {\boldsymbol B}^{(f(n))}[f(n)])&(\mathrm{otherwise})\\ \end{array}\right.\\ \mathrm{激活函數:}~f(n)&=&n^2\\ \mathrm{矩陣:}~{\boldsymbol S}&=&{\boldsymbol S}_0{\boldsymbol S}_1\cdots{\boldsymbol S}_{X-1}\\ \mathrm{列:}~{\boldsymbol S}_x&=&(S_{x0},S_{x1},\cdots,S_{x(Y-1)})\\ \mathrm{好的部分:}~{\boldsymbol G}&=&{\boldsymbol S}_0{\boldsymbol S}_1\cdots{\boldsymbol S}_{r-1}\\ \mathrm{壞的部分:}~{\boldsymbol B}^{(a)}&=&{\boldsymbol B}_0^{(a)}{\boldsymbol B}_1^{(a)}\cdots{\boldsymbol B}_{X-2-r}^{(a)}\\ \mathrm{壞的部分的列:}~{\boldsymbol B}_x^{(a)}&=&(B_{x0}^{(a)},B_{x1}^{(a)},\cdots,B_{x(Y-1)}^{(a)})\\ \mathrm{壞的部分的元素:}~B_{xy}^{(a)}&=&S_{(r+x)y}+a\Delta_{y}A_{xy}\\ \mathrm{增加量:}~\Delta_{y}&=&\left\{\begin{array}{ll} S_{(X-1)y}-S_{ry}&(\mathrm{if}~y\lt t)\\ 0 &(\mathrm{if}~y\geq t) \end{array}\right.\\ \mathrm{增加矩陣:}~A_{xy}&=&\left\{\begin{array}{ll} 1 &(\mathrm{if}~ \exists a( r=(P_{y})^a(r+x)))\\ 0 &(\mathrm{否則}) \end{array}\right.\\ \mathrm{非零最下行:}~t&=&\max\{y|S_{(X-1)y}\gt 0\}\\ \mathrm{壞根:}~r &=& P_t(X-1)\\ S_{xy}~\mathrm{的親}:~P_{y}(x)&=&\left\{\begin{array}{ll} \max\{p|p\lt x \land S_{py} \lt S_{xy} \land \exists a( p=(P_{y-1})^a(x))\} & (\mathrm{if}~y\gt 0)\\ \max\{p|p\lt x \land S_{py} \lt S_{xy} \} & (\mathrm{if}~y=0)\\ \end{array}\right.\\ \end{eqnarray*}

計算示例

根據上述規則計算 \((0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,2,0)[2]\) 。 \begin{eqnarray*}{\boldsymbol S} &=& {\boldsymbol S}_0{\boldsymbol S}_1{\boldsymbol S}_2{\boldsymbol S}_3{\boldsymbol S}_4\\ &=&(S_{00},S_{01},S_{02})(S_{10},S_{11},S_{12})(S_{20},S_{21},S_{22})(S_{30},S_{31},S_{32})(S_{40},S_{41},S_{42})\\ &=&(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,2,0) \end{eqnarray*}

• 第１行的親:最右邊的元素小於第１行的最右列 \(S_{40} = 4\) 左邊是 \(S_{30}=3\)。因此，小於第一行和左邊元素的最右邊元素稱為親。

\(S_{xy}\) 的親的列是 \(P_y(x)\) 。

• 直接祖先: 直接祖先的父母，或者你自己稱為那個元素的直接祖先。在這種情況下、\(S_{40} = 4\) 的直接祖先是 \(S_{40}=4,~S_{30}=3,~S_{20}=2,~S_{10}=1,~S_{00}=0\) 。
• 第二行和後續行的親: 第二行和後續行、對於給定的元素 \(S_{xy}\)，與元素的直接祖先相同的序列 \((P_{y-1})^a(x)\) 高於該元素它在並且小於元素 \(S_{xy}\) 並且在左邊，最右邊的元素是親。
• 壞根: 最右列 \(X-1\) 的非零最下行 \(t\) 的親的列 \(P_t(X-1)\) 是 壞根 \(r\), 壞根將成為好的部分沒有復制 \({\boldsymbol G}\) 和壞部分複制 \({\boldsymbol B}^{(0)}\)的邊界。在這種情況下、第２行是非零最下行，壞根是第２行的最右列 \(S_{41} = 2\) 的親,換句話說,是\(S_{11}=1\),壞根是第２列 (\(r=1\))。
• 好的部分,壞的部分: 它變成\({\boldsymbol S}_r = (1,1,1)\) 並變成 \({\boldsymbol G} = (0,0,0), {\boldsymbol B}^{(0)} = (1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)\) 。
• 增加量: 使用壞根 \({\boldsymbol S}_r = (1,1,1)\) 和修剪後的孩子的值 \({\boldsymbol S}_{X-1} = (4,2,0)\) 計算增加量為 \((\Delta_0, \Delta_1, \Delta_2) = (3,0,0)\)。
• 增加矩陣 是一個矩陣，其中壞根作為直接祖先的元素是1。在這種情況下、\(A_{xy}=(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)\) 。
• 壞部分複制: 由此壞部分 \({\boldsymbol B}^{(a)}\) 成 \({\boldsymbol B}^{(0)} = (1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)\), \({\boldsymbol B}^{(1)} = (4,1,1)(5,2,2)(6,3,3)\), \({\boldsymbol B}^{(2)} = (7,1,1)(8,2,2)(9,3,3)\), \({\boldsymbol B}^{(3)} = (10,1,1)(11,2,2)(12,3,3)\), \({\boldsymbol B}^{(4)} = (13,1,1)(14,2,2)(15,3,3)\)。
• 由 擴張規則, \({\boldsymbol S}[2] = {\boldsymbol G}{\boldsymbol B}^{(0)}{\boldsymbol B}^{(1)}{\boldsymbol B}^{(2)}{\boldsymbol B}^{(3)}{\boldsymbol B}^{(4)}[4]\) 那是 (0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,2,0)[2] = (0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,1,1)(5,2,2)(6,3,3)(7,1,1)(8,2,2)(9,3,3)(10,1,1)(11,2,2)(12,3,3)(13,1,1)(14,2,2)(15,3,3)[4] 。如果以矩陣的形式表示，它將變為這樣。

\[\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0\\ \end{pmatrix}[2] = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 \\ \end{pmatrix}[4]\]

這個結果與 Bashicu 矩陣計算機的計算結果 重合。

擴展的方法有點複雜，但已經表明通過用多行九頭蛇表達它可以很容易地理解它。

起色

Hyp cos顯示了一個示例，其中計算未在2016年4月28日的英語版本的談話頁面上完成，與 Bashicu 於2015年8月21日定義的 Bashicu 矩陣（稱為BM1）的第一版相反。之後，Bashicu 在博客文章中發布了Bashicu Matrix矩陣2（BM2）作為Bashichu 數字的 BASIC 程序。此外，Bashicu 創建了一個評論幻燈片。

之後，在2018年6月12日，BM3由 Basicu 定義。但、6月29日Alemagno12未顯示的示例顯示。然後，2018年8月28日Bubby3 展示了一個BM2不會停止的例子。

該定義最終由Basik在2018年9月1日更正，現在是 版本４。

此外，直到BM4出生，許多亞種如BM2.2， BM2.3， BM3.1， BM3.2 被提出。

停機的證明

關於 Bashicu 矩陣的計算是否總是結束的問題尚未解決， 黑羽カフカ概述了在某些條件下計算完成到2ch的「大量搜索線程的證據」。但是，根據隨後的檢查，證據並不完整。

在2018年11月11日P進大好きbot證明了對數列系統的停止性質，它將基礎矩陣限制為2行。

評估尺寸

單行矩陣(原始數列系統)具有 \(f_{\epsilon_0}(n)\) 強度。

\begin{eqnarray*} ()&=&0\\ (0)&=&1\\ (0)(0)&=&2\\ (0)(0)(0)&=&3\\ (0)(1)&=&\omega\\ (0)(1)(0)&=&\omega+1\\ (0)(1)(0)(0)&=&\omega+2\\ (0)(1)(0)(0)(0)&=&\omega+3\\ (0)(1)(0)(1)&=&\omega2\\ (0)(1)(0)(1)(0)&=&\omega2+1\\ (0)(1)(0)(1)(0)(1)&=&\omega3\\ (0)(1)(0)(1)(0)(1)(0)(1)&=&\omega4\\ (0)(1)(1)&=&\omega^2\\ (0)(1)(1)(0)&=&\omega^2+1\\ (0)(1)(1)(0)(0)&=&\omega^2+2\\ (0)(1)(1)(0)(1)&=&\omega^2+\omega\\ (0)(1)(1)(0)(1)(0)&=&\omega^2+\omega+1\\ (0)(1)(1)(0)(1)(0)(1)&=&\omega^2+\omega2\\ (0)(1)(1)(0)(1)(1)&=&\omega^22\\ (0)(1)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(1)&=&\omega^23\\ (0)(1)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(1)&=&\omega^24\\ (0)(1)(1)(1)&=&\omega^3\\ (0)(1)(1)(1)(1)&=&\omega^4\\ (0)(1)(1)(1)(1)(1)&=&\omega^5\\ (0)(1)(2)&=&\omega^\omega\\ (0)(1)(2)(0)&=&\omega^\omega+1\\ (0)(1)(2)(0)(0)&=&\omega^\omega+2\\ (0)(1)(2)(1)&=&\omega^{\omega+1}\\ (0)(1)(2)(1)[64]&\gt&\mathrm{葛立恒数}\\ (0)(1)(2)(0)(1)(2)&=&\omega^\omega2\\ (0)(1)(2)(0)(1)(2)(0)(1)(2)&=&\omega^\omega3\\ (0)(1)(2)(1)&=&\omega^\omega\omega=\omega^{\omega+1}\\ (0)(1)(2)(1)(0)(1)(2)(1)&=&\omega^\omega\omega=\omega^{\omega+1}2\\ (0)(1)(2)(1)(0)(1)(2)(1)(0)(1)(2)(1)&=&\omega^{\omega+1}3\\ (0)(1)(2)(1)(1)&=&\omega^{\omega+2}\\ (0)(1)(2)(1)(1)(1)&=&\omega^{\omega+3}\\ (0)(1)(2)(1)(1)(1)(1)&=&\omega^{\omega+4}\\ (0)(1)(2)(1)(2)&=&\omega^{\omega2}\\ (0)(1)(2)(1)(2)(1)(2)&=&\omega^{\omega3}\\ (0)(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)&=&\omega^{\omega4}\\ (0)(1)(2)(2)&=&\omega^{\omega^2} \\ (0)(1)(2)(2)[n]&\gt& \underbrace{n\rightarrow n \rightarrow \cdots \rightarrow n}_{n \mathrm{个的} n} \\ (0)(1)(2)(2)(2)&=&\omega^{\omega^3}\\ (0)(1)(2)(2)(2)(2)&=&\omega^{\omega^4}\\ (0)(1)(2)(3)&=&\omega^{\omega^\omega}\\ (0)(1)(2)(3)(4)&=&\omega^{\omega^{\omega^\omega}}\\ (0)(1)(2)(3)(4)(5)&=&\omega^{\omega^{\omega^{\omega^\omega}}}\\ (0)(1)(2)(3)(4)(5)...&<&\epsilon_0 \end{eqnarray*}

以這種方式 可以容易地用\(\omega\) 表示原始數列和下一對數列。

雙行矩陣(對數列系統)具有 \(f_{\psi(\Omega_{\omega})}(n)\) 強度用 Buchholz 的 \(\psi\) 函數。

\begin{eqnarray*} (0,0)(1,1)&=&\epsilon_0\\ (0,0)(1,1)(2,1)&=&\zeta_0\\ (0,0)(1,1)(2,1)(2,1)&=&\eta_0\\ (0,0)(1,1)(2,1)(2,1)(2,1)&=&\varphi(4,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(2,1)(2,1)(2,1)&=&\varphi(5,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,0)&=&\varphi(\omega,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)&=&\Gamma_0\\ &=&\varphi(1,0,0)\\ &=&\mathrm{(Feferman-Schutte~ordinal)} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(1,1)(2,1)(3,1)&=&\Gamma_1=\varphi(1,0,1)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(1,1)(2,1)(3,1)(1,1)(2,1)(3,1) &=&\Gamma_2=\varphi(1,0,2)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,0)&=&\Gamma_\omega=\varphi(1,0,\omega)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(1,0)(2,1)(3,1)(4,1)&=&\Gamma_{\Gamma_0}=\varphi(1,0,\varphi(1,0,0))\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)&=&\Gamma_{\Gamma_{\Gamma_\vdots}}\\ &=&\varphi(1,1,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1)&=&\varphi(2,0,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1)&=&\varphi(3,0,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1)&=&\varphi(4,0,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,0)&=&\varphi(\omega,0,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,0)(4,1)(5,1)(6,1)&=&\varphi(\varphi(1,0,0),0,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,0)(4,1)(5,1)(6,1)(6,0)(7,1)(8,1)(9,1)&=&\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),0,0),0,0) \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)&=&\varphi(1,0,0,0)\\ &=&\varphi(\varphi(\varphi(\cdots,0,0),0,0),0,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)(3,1)&=&\varphi(1,0,0,0,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)(3,1)(3,1)&=&\varphi(1,0,0,0,0,0)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,0)&=&\varphi(1,0,0,\cdots,0)\\ &=&\psi(\Omega^{\Omega^\omega})\\ &=&\mathrm{Small~Veblen~Ordinal} \end{eqnarray*}

從這裡開始，我不能用 Veblen 函數寫，Bashicu 矩陣功能強大，很難通過快速增加的函數分析3行矩陣（三重數列系統）的增加速度，所以有很多模棱兩可的分析用定義失敗的ψ函數。 (0,0,0)(1,1,1) 以上基于 Username5243 的模棱兩可的分析用定義失敗的ψ函數。在此之後，看看黑色羽毛的分析用Rathjen的ψ函數。

相關鏈接

• Bashicu 矩陣系統的解釋 by Bashicu
• Bashicu Matrix Calculator by Fish
• Hydra Viewer by koteitan (這顯示了使用 hydra 計算對數列)
• BM4 完整的評論 by koteitan （BM4 的閱讀和評論偽BASIC程序）