鏈式箭號表示法

鏈式箭號表示法
類型	線性數陣
基於	超運算
增長率	\(\omega^2\)

鏈式箭號表示法（英語：Chained arrow notation），是康威及蓋伊將上箭號表示法推廣之後而成的箭號表示法。鳥的證明中說明，喬納森·鮑爾斯的數陣記號所表示的值通常比鏈式箭號表示法來得大。

Nathan Ho和Wojowu表明鏈式箭號表示法會終止；也就是說，對於所有輸入，都會有一個對應的輸出。

定義

1. \(a \rightarrow b = a^{b}\)
2. \(a \rightarrow b \rightarrow c = a\underbrace{\uparrow\ldots\uparrow}_cb\)（即為上箭號表示法）
3. \(a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow 1 = a \rightarrow\ldots\rightarrow b\)（當最後一項為1時，可以直接忽略）
4. \(a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow 1 \rightarrow c = a \rightarrow\ldots\rightarrow b\)
5. \(a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow (c + 1) \rightarrow (d + 1) = a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow (a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow c \rightarrow (d + 1) ) \rightarrow d\)

例子

以下是鏈式箭號的一些小例子：

\(3 \rightarrow 3 \rightarrow 2 = 3\uparrow\uparrow3 = 7,625,597,484,987\)

\(3 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 2\)

\(= 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 1 \rightarrow 2) \rightarrow 1\)

\(= 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 1 \rightarrow 2)\)

\(= 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3)\)

\(= 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3^{3})\)

\(= 3 \rightarrow 3 \rightarrow 27\)

\(= 3 \underbrace{\uparrow\ldots\uparrow}_{27} 3 \)

CG函數

康威及蓋伊使用鏈式箭號創造了類似阿克曼數的函數，即\(cg(n) = \underbrace{n \rightarrow n \rightarrow \ldots \rightarrow n \rightarrow n}_n\)。雖然在n等於1至3時都與阿克曼數相同，但\(cg(4) = 4\rightarrow 4\rightarrow 4\rightarrow 4 > \lbrace 4,4,3,2 \rbrace\)（使用鳥的證明），因此cg(4)遠遠大於葛立恆數，更遠遠大於第四個阿克曼數特利德特。

這個函數的增長率為\(f_{\omega^2}(n)\)，相當於BEAF的4項數陣。

Peter Hurford的擴展

Peter Hurford擴展了鏈式箭號，並加入下述規則：

\(a \rightarrow_c b = \underbrace{a \rightarrow_{c-1} a \rightarrow_{c-1}\ldots\rightarrow_{c-1} a \rightarrow_{c-1}a}_{b \rightarrow_{c-1}'s}\)

所有其他規則保持不變。因此，它適用於無下標的情況。注意，\(3 \rightarrow_{2} 3 \rightarrow 3\)是非法的，整個表達式的右箭號必須為單一形式。此外，Hurford表明\(f(n) = n \rightarrow_n n\)相當於\(f_{\omega^3}(n)\)（快速增長階層）。如果我們允許表達式混合不同形式的右箭號，增長率可提升為\(f(n) \approx f_{\omega^\omega}(n)\)。

此外，他還定義了C(n)：

\(C(a) = a \rightarrow_a a\)

\(C(a,1) = a \rightarrow_{C(a)} a\)

\(C(a,b) = a \rightarrow_{C(a,b-1)} a\)

\(C(a,1,1) = C(a,C(a,a))\)

\(C(a,b,1) = C(a,C(a,b-1,1))\)

\(C(a,1,c) = C(a,C(a,a,c-1),c-1)\)

\(C(a,b,c) = C(a,C(a,b-1,c),c-1)\)

函數\(f(n) = C(n,n,n)\)和\(f_{\omega^3 + \omega}(n)\)（快速增長階層）的增長率相當。