超E符号

超E符号
基于	幂次
增长率	\(f_\omega(n)\)

超E符号（英语：Hyper-E Notation，简称E#）是由Sbiis Saibian设计的一个大数符号。这个记号首次在2011年11月19日于他的网路电子书从一到无穷大：有限数的指南被介绍，同时也推广到了扩展超E符号（英语：Extended Hyper-E Notation，简称xE#）。超E符号是Sbiis Saibian于孩童时期所发明的符号的改进版。

E#和xE#都包含在更大的记号中，即扩展-E系统，这也包括连锁E符号。

Nathan Ho和Wojowu证明了超E符号最终会终止。

原始定义

原始超E符号是由一个或多个正整数参数“a_n”及分隔参数的海柏利昂“#”所组成的。此记号写起来会长成这样：E[b]a₁#a₂#...#a_n。其中b是底数，如果它被忽略，那么代表它等于预设值10。“E[b]d”也可表示为“b^d”。

超E符号的三条规则如下：

• 规则1. 如果没有海柏利昂：

  \(E[b]x = b^x\)

• 规则2. 如果最后一项是1：

  \(E[b]{a_1}\#{a_2}\#\cdots\#{a_n}\#1 = E[b]{a_1}\#{a_2}\#\cdots\#{a_n}\)

• 规则3. 否则：

  \(E[b]{a_1}\#{a_2}\#\cdots\#{a_{n-2}}\#{a_{n-1}}\#{a_n}\)

  \(= E[b]{a_1}\#{a_2}\#\cdots\#{a_{n-2}}\#(E[b]{a_1}\#{a_2}\#\cdots\#{a_{n-2}}\#{a_{n-1}}\#({a_n-1}))\)

如果以中文来表达的话，就是：

1. 如果只有一个参数x，整个表达式的值为b^x。
2. 如果最后一项是1，它可以被去除。
3. 否则：
   1. 复制原表达式，但将最后一项减去1，将此表达式设为z。
   2. 将表达式的最后两项去除。
   3. 在表达式的最后添加z这项参数。

扩展定义

Template:Function 扩展超E符号允许每个参数间出现多个海柏利昂。在参数a_n后出现的海柏利昂个数均会以h(n)表示。另外，#ⁿ代表连续n个海柏利昂标识。一个完整的表达式应当会写成E[b]a₁#^h(1)a₂#^h(2)...#^h(n-1)a_n。另外，Saibian使用“@”表示不需操作、可以被忽略的表达式，就如同鲍尔斯的“#”一般。

原始和扩展符号的不同之处，在于扩展超E符号允许多于一个且连续的#。

为方便定义，这里假设p = a_n-1, q = a_n, x = h(n-1)：

• 规则1. 如果没有hyperions：

  \(E[b]q = b^q\)

• 规则2. 如果最后一项是1：

  \(@\#^{x}1 = @\)

• 规则3. 如果x > 1：

  \(@p\#^{x}q = @p\#^{x-1}(p\#^{x}(q-1))\)

• 规则4. 否则：

  \(@p\#q = @(@p\#(q-1))\)（注意\(\#^1 = \#\)）

也可以把这些规则写成中文：

1. 如果只有一个参数x，整个表达式的值为b^x。
2. 如果最后一项是1，它可以被去除。
3. 设h为最后一个海柏利昂标识的长度。如果h > 1：
   1. 去除表达式的最后一项，并设那项为r。
   2. 再次去除新表达式的最后一项，并设那项为z。
   3. 此时复制出r个z，在每个z之间都接上h-1个海柏利昂标识。将此添加到表达式的结尾。
4. 如果最后一个海柏利昂标识的长度为1：
   1. 复制原表达式，但将最后一项减去1，将此表达式设为z。
   2. 将表达式的最后两项去除。
   3. 在表达式的最后添加z这项参数。

例子

• E[10]6 = E6 = E6#1 = 10⁶ = 百万
• E[10]100 = E100 = E100#1 = 10¹⁰⁰ = 古戈尔

  这是只有一个参数并应用规则1的例子。由于底数的预设值为10，我们可以将E[10]100缩写为E100。

• E100#2 = E(E100#1) = E10¹⁰⁰ = 10¹⁰¹⁰⁰ = 古戈尔普勒克斯
• E100#3 = E(E100#2) = E10¹⁰¹⁰⁰ = 10^1010100 = 古戈尔度普勒克斯

  这是有两个参数并应用规则3（在扩展定义为规则4）的例子。在第一个等号右边的表达式中，括号可以被省略，例如：E(E100#1) = EE100#1。

• E303#1 = E303 = eceton = centillion = 10³⁰³
• E303#2 = ecetonplex = EE303 = 10¹⁰³⁰³
• E303#3 = EEE303 = 10^1010303 = ecetonduplex
• E1#3 = EEE1 = 10¹⁰¹⁰ = trialogue
• E1#4 = EEEE1 = 10¹⁰¹⁰¹⁰ = tetralogue
• E1#5=EEEEE1=10^10101010 =Pentalogue
• E1#10 = EEEEEEEEEE1 = 10^^10 = Decker
• E303#6 = EEEEEE303 = 10^{1010101010303} = ecetonquintiplex
• E1#100 = EEE...EEE1 (100 E's) = giggol

  这是规则3的重复应用：E1#100 = EE1#99 = EEE1#98 = ...

• E100#100 = EEE...EEE100 (100 E's) = grangol

  这和E1#100基本相同，差别在于第一项不同。

• E100#101 = EEE...EEE100 (101 E's) = grangolplex

  E100#101 = EE100#100 = 10^grangol，故名。

• E100#100#2 = E100#(E100#100) = EEE...EEE100 (grangol E's) = grangoldex

  现在表达式开始有三项数字。

• E100#100#3 = E100#(E100#100#2) = E100#(E100#(E100#100)) = EEE...EEE100 (grangoldex E's) = grangoldudex

  增加第三项的值，使嵌套越来越深。

• E100#100#100#100 = E100#100#(E100#100#100#99) = E100#100#(E100#100#(E100#100#100#98)) = ... gigangol

  这是四项表达式，但运作方式仍然类似。嵌套会越来越深。这也可以写为E100##4，一个新的层次的开始。

• E100##100 = E100#100#100#...#100#100#100 with 100 repetitions of 100 = gugold

  现在已经到达扩展超E符号。两个连续的海柏利昂标记（双海柏利昂）是较低层次的重复。

• E100##100#100 = graatagold

  可以通过反复应用规则4来简化为Ea##b。

• E100##100##100 = E100##100#100#...#100#100 with 100 repetitions of 100 = gugolthra

  在##的后面所有100都已经解决后，第一个##才会被展开。

• E100###100 = E100##100##...##100##100 with 100 repetitions of 100 = throogol

  三超标记（三海柏利昂）是双超标记的重复。双超标记从右到左解决。

• E100####100 = E100###100###...###100###100 with 100 repetitions of 100 = teroogol

  四超标记分解成三超标记。

• Godgahlah = E100#####...#####100 with 100 hyperion marks or E100#¹⁰⁰100

  100超标记分解成99超标记，99超标记分解成98超标记，等等。另外，上标100意味著有100个#，这不应与E100#(¹⁰⁰100)混淆。