\( \newcommand{\len}{ {\rm len}} \renewcommand{\value}{ {\rm value}} \newcommand{\ifu}{ {\rm if}} \newcommand{\gtone}{ {\rm gt1}} \newcommand{\parent}{ {\rm parent}} \newcommand{\diff}{ {\rm diff}} \newcommand{\ancestor}{ {\rm ancestor}} \newcommand{\bm}[1]{ {\boldsymbol #1}} \newcommand{\w}{\omega} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\nat}{\mathbb{N}} \newcommand{\p}{\psi} \)
這是第1部分的續篇!
Y數列の展開(\(\varepsilon_0\)~\(\varepsilon_{\omega+1}\))[]
下面描述如何展開父子差為2或更大的數列。
讓我們以 (1,2,4)[2]為例展開。
(1,2,4)[2] の展開[]
按此數列,有2個父和4個子。父子之間的區別是數字列為2。由於它是\(4-2=2\),所以父子之間的差是2的數列。
首先,如上所述,創建一個具有(1,2,4)的父子之間差差的數列(1,2)。然後以相同的方式編寫分支。
這不同於正常的階差數列,它每次都會與鄰居產生差異,因為它需要父級和子級之間的差異,我們將此數列稱為父子之間的差階差Y數列。 如果在(1,2,4)的相應分支下寫下階差Y數列(1,2),則更容易理解。
該(1,2,4)將被稱為"第1階的Y數列",而差Y數字字符串(1,2)將被稱為"第2階的Y數列"。
要對此進行擴展,請首先按照與以前相同的規則展開第2階的Y數列。
這將是(1,2) → (1,1,1)。粗體1是惡根(Bad root)。
第1階的Y數列中的惡根是与第2階的Y數列中的惡根对应的分支的尖端。惡根和其右侧为惡部分。在这种情况下,它以2结尾,因此惡部分仅是2。
复制时,需要一种比第2階稍有特殊的方法。
首先,我们需要分析第1階的Y數列(1,2,4)的不良部分的“如何连接分支”。
bad root の親の場所(IN)と刈られた子のあった場所(OUT)の高さに注目します。IN は bad root より一段下に、OUT は bad root よりも1段上の段にありますね。そして、コピーする際にはこの情報を使って、コピーされた bad part の IN が、ひとつ左の bad part の OUT につながるようにコピーするのです。
このようになります。コピーされた bad part は数字を書かずに、数字は〇にしておきます。形が決まったら、2段目のY数列が1段目のY数列の階差Y数列なるように1段目のY数列を再構築します。
再構築は全て加算で行うことができましたね。1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, という感じです。そして、この1段目のY数列が、元のY数列を展開した数列となります。(1,2,4)[2] を展開して出来る数列は、(1,2,3,4) ということです。
(1,2,4,1,2,4)[2] の展開[]
今度は (1,2,4,1,2,4)[2] を展開してみましょう。
ひとつだけ先ほどと違うことがあります。
(1,2,4,1,2,4) の右の1 は親が無いので、階差Y数列が作れません。この場合は親を×と表記しておきましょう。
あとは同じで、階差数列 (1,2,x,1,2) を [2] で展開して (1,2,x,1,1,1)として、それをもとに1段目のY数列を展開します。(1,2,4,1,2,3,4) となります。
ちなみにこれは \(\e_02\) に対応するY数列になります。
(1,2,4,4)[2] の展開[]
次は(1,2,4,4)[2]の展開をやってみます。これはさっきと同じルールで展開できます。
まず、2段目の bad root は、最右 2 の親なので 1 になります。bad part はその右なので、(1,2)になります。これを右にブラケット回コピーします。(1,2,1,2,1,2)になりました。では1段目はどうコピーされるかを考えます。
IN は bad root の一つ下、刈り子は 4 で、親は 2 なので、OUT は bad root の一つ上です。これを IN と OUT を繋いで、枝のコピーをします。
そして、先ほどと同じように、2段目の数字をヒントに、1段目のY数列を再構成していきます。枝に対応するところを足し算していきます。2+1=3, 3+2=5, 3+1=4, 4+2=6 という風に、〇が 3,5,4,6 で埋まります。(1,2,4,4)[2]=(1,2,4,3,5,4,6) ということですね。
このルールで \(\epsilon_{\w+1}\) 未満までを展開することができます。
Y数列の展開(\(\varepsilon_{\omega+1}\)~\(\p_0(\p_\w(0))\)[]
気を付けないといけないことが、(1,2,4,5,4) で生じます。これは \(\varepsilon_{\omega+1}\) に相当するY数列です。
先ほどと同じ考えでいくと、階差数列は(1,2,1,2)となるので、
のように、右端の 2 の親をその左隣の 1 にしたくなります。しかし、2段目以降のY数列では、親の決定に上の行が絡んできます。
まず、1段目の右端の 4 の直系先祖を観察します。直系先祖とは、自分、親、親の親、親の親の親、…を指します。4 の直系先祖は、4、4 の親の 2、その親の 1、その親の × となります。右から3つ目の 4 と 5 は直系先祖ではありません。
そして、2段目の要素の親を見つけるときには、その要素に対応する1段目の枝につながっている親子の直系先祖たちの枝に相当する2段目の要素しか候補になりません。つまり、2段目の右から3つ目の 2 や右から2つ目の 1 は無視されます。
これによって、2段目の右端の親は右から4番目の 1 になります。
あとは今までと同じです。
2段目の bad root は一番左の 1、bad partは(1,2,1)です。
1段目の bad root は 2、bad partは(2,4,5)です。
これをブラケット分コピーして、2段目は(1,2,1,1,2,1,1,2,1)となり、
1段目は2段目の数字を使って〇を埋めて(1,2,4,5,3,5,6,4,6,7)となります。
これで(1,2,4,8)未満、つまり、2段目までの数列が存在するY数列を展開することができます。
Y数列の展開(\(\p_0(\p_\w(0))\)~\(\p_0(\p_\w(1)+\p_\w(0))\))[]
次は3段目が生じる数列の話です。(1,2,4,8,8)[2]を展開してみましょう。
2段目のY数列(1,2,4,4)を展開したいのですが、ここで親子の差分が 2 な組が出てきます。この場合はさらにこれの階差Y数列、3段目のY数列を作ります。
この場合、1段目の数列は\(\e_0\)未満の数列と同じで単なるコピー、2段目Y数列と1段目Y数列は、先ほどのような、枝の形のコピー後に下の段のY数列から再構築することになります。
つまり、3段目Y数列 (1,2,2) がまず(1,2,1,2,1,2)と展開され、2段目Y数列は(1,2,4,3,5,6,4)と再構築され、さらにそれを使って1段目Y数列(1,2,4,8,7,12,11,17)が再構築できます。