Ss.jpg

對數列數 是一個巨大的數字,Bashicu [1]於2014年設計[2]並於2018年更新[3], 它是關於\(f_{\vartheta(\Omega_\omega)+1}(10)\)大小。 [4][5]該算法稱為對數列系統。 該程序是 Bashicu 原始數列系統 程序的擴展。

該對數列是非負整數對的有限長度序列,例如 (0,0)(1,1)(2,2)(3,3)(3,2) 對數列 \(P\) 作為從自然數 \(n\) 到自然數 \(P[n]\) 的函數,例如 (0,0)(1,1)(2,2)(3,3)(3,2)[n] 寫。 假設函數 P[n] 近似於 Hardie層次 的增長率,訂單號是 \(\alpha\), 對數列 P 讓它代表序數\(\alpha\)。 也就是說,它可以寫成 \((0,0)(1,1)(2,2)(3,3)(3,2)=\psi(\psi_1(\Omega_2))\)。

我們目前正在驗證 Bashicu矩陣系統, 它是對數列系統的擴展。 雖然對序列是由程序定義的,但它類似地由basicu矩陣系統的 2 行矩陣定義。

定義

原始定義用大数搜索吧10編寫,如下所示:

(原始定義: 發表於大数搜索吧於2014年8月18日)

dim A(Infinity):dim B(Infinity):C=9
for D=0 to 9
  for E=0 to C
    A(E)=E:B(E)=E
  next
  for F=C to 0 step -1
    C=C*C
    if B(F)=0 then G=1 else G=0
    for H=0 to F*G
      if A(F-H)<A(F) or A(F)=0 then I=H:H=F*G
    next
    for J=1 to C*G*I
      A(F)=A(F-I):B(F)=B(F-I):F=F+1
    next
    G=1-G
    for K=1 to F*G
      if A(F-K)<A(F) and B(F-K)<B(F) then L=A(F)-A(F-K):M=K:K=F*G
    next
    for N=1 to C*G*M
      A(F)=A(F-M)+L:B(F)=B(F-M):F=F+1
    next
  next
next
print C

(更正後:作者本人於2018年5月26日更新,計算內容與原始版本不同)

dim A[∞],B[∞]:C=9
for D=0 to 9
 for E=0 to C
  A[E]=E:B[E]=E
 next
 for F=C to 0 step -1
  C=C*C
  for G=0 to F
   if A[F]=0 | A[F-G]<A[F]-H  then
    if B[F]=0 then 
     I=G:G=F
    else
     H=A[F]-A[F-G]
     if B[F-G]<B[F] then I=G:G=F
    endif
   endif
  next
  for J=1 to C*I
   A[F]=A[F-I]+H:B[F]=B[F-I]:F=F+1
  next
  H=0
 next
next
print C

從 for D=0 to 9 到 next 循環計算\(C=f_{\vartheta(\Omega_\omega)}(C)\),並通過重複此計算10次來計算對數 \(f_{\vartheta(\Omega_\omega)+1}(10)\)。

創建該程序的目的是根據 Bignum Bakeoff 大賽的規則,減少字符數。 278個字符,不包括空格和換行代碼。

#define A a[f]
#define B b[f]
 #define M = malloc(9),
#define W while (
main(f) {
   int *a M *b M c = 9, d = 10, h, i, k;
   W d--) {
       f = h = c + 1;
      W h--) a[h] = b[h] = h;
      W f--) {
          c *= c;
         h = f + 1;
         W h--)
             (a[h] < A && (b[h] < B || !B) || A + B == 0)?
            (k = B ? A - a[h]: 0, i = f - h, h = 0): 0;
         h = f + c * i; a = realloc(a, h); b = realloc(b, h);
         W f < h) A = a[f-i] + k, B = b[f-i], f++;
      }
    }
    return c;
 }

數學的定義

如果您將對數列數作為公式編寫,它將如下所示[6]

\begin{eqnarray*} \mathrm{大数:}~K&=&\mathrm{Pair}^{10}(9)\\ \mathrm{大函数:}~\mathrm{Pair}(n)&=&\mathrm{expand}\left((0,0)(1,1)\cdots (n+1,n+1)[n]\right)\\ \mathrm{擴充規則:}~\mathrm{expand}([n])&=&n\\ \mathrm{expand}({\boldsymbol S}[n])&=&\left\{\begin{array}{ll} \mathrm{expand}((S_{00},S_{01})\cdots(S_{(X-2)0},S_{(X-2)1})[f(n)])&(\mathrm{if}~/forall yS_{(X-1)y}=0) \\ \mathrm{expand}({\boldsymbol G}{\boldsymbol B}^{(0)}{\boldsymbol B}^{(1)}{\boldsymbol B}^{(2)} \cdots {\boldsymbol B}^{(f(n))}[f(n)])&(\mathrm{otherwise}) \end{array}\right.\\ \mathrm{激活函数:}~f(n)&=&n^2\\ \mathrm{對數列:}~{\boldsymbol S}&=&(S_{00},S_{01})(S_{10},S_{11})\cdots (S_{(X-1)0},S_{(X-1)1})\\ \mathrm{好的部分:}~{\boldsymbol G}&=&(S_{00},S_{01})(S_{10},S_{11})\cdots (S_{(r-1)0},S_{(r-1)1})\\ \mathrm{壞的部分:}~{\boldsymbol B}^{(a)}&=&(B_{00}^{(a)},B_{01}^{(a)})(B_{10}^{(a)},B_{11}^{(a)})\cdots (B_{(X-2-r)0}^{(a)},B_{(X-2-r)1}^{(a)})\\ B_{x0}^{(a)}&=&\left\{\begin{array}{ll} S_{(r+x)0}+a(S_{(X-1)0}-S_{r0})&~(S_{(X-1)1}\gt 0)\\ S_{(r+x)0} &~(\mathrm{otherwise})\\ \end{array}\right.\\ B_{x1}^{(a)}&=&S_{(r+x)1}\\ \mathrm{Bad~root:}~r &=& \left\{\begin{array}{ll} P_1(X-1) & (S_{(X-1)1} \neq 0)\\ P_0(X-1) & (\mathrm{otherwise}) \end{array}\right.\\ S_{x1}~\mathrm{的親}:~P_1(x)&=&\max\{p|p\lt x \land S_{p1} \lt S_{x1} \land \exists a( p=(P_0)^a(x))\}\\ S_{x0}~\mathrm{的親}:~P_0(x)&=&\max\{p|p\lt x \land S_{p0} \lt S_{x0} \}\\ \end{eqnarray*}


Bashicu 矩陣計算機

在用於計算Bashicu矩陣系統bashicu矩陣計算機 中,推廣了對數列,可以顯示對數列的計算過程。 此外,可以從 Bashicu 矩陣計算機的站點下載C語言和 BASIC 程序。

以下是計算示例。 這裡,在原始算法中, n 的值在每次計算時是平方的,但是在這裡,計算n的值而不改變 n=2。

相應的序數

最多 \(\epsilon_0\)

當第二行為0時,它與原始數列系統相同。 那就是、

\begin{array}{ll} (0,0) &=& 1 \\ (0,0)(0,0) &=& 2 \\ (0,0)(0,0)(0,0) &=& 3 \\ (0,0)(1,0) &=& \omega \\ (0,0)(1,0)(0,0)(0,0) &=& \omega+2 \\ (0,0)(1,0)(0,0)(1,0) &=& \omega \cdot 2 \\ (0,0)(1,0)(1,0) &=& \omega^2 \\ (0,0)(1,0)(1,0)(0,0)(1,0) &=& \omega^2+\omega \\ (0,0)(1,0)(2,0) &=& \omega^\omega \\ (0,0)(1,0)(2,0)(3,0) &=& \omega^{\omega^\omega} \\ (0,0)(1,0)(2,0)(3,0)(4,0) &=& \omega^{\omega^{\omega^\omega}} \\ \end{array}

對於(0,0)(1,1),我們得到以下基本序列: 這裡,假設\(f(n)=n\)。

\begin{array}{ll} (0,0)(1,1)[1] &=& (0,0)(1,0)[1] \\ (0,0)(1,1)[2] &=& (0,0)(1,0)(2,0)[2] \\ (0,0)(1,1)[3] &=& (0,0)(1,0)(2,0)(3,0)[3] \\ (0,0)(1,1)[4] &=& (0,0)(1,0)(2,0)(3,0)(4,0)[4] \\ \end{array}

即 \(\{\omega, \omega^\omega, \omega^{\omega^\omega}, \omega^{\omega^{\omega^\omega}}, \ldots\}\)。因此,它變成了

\begin{array}{ll} (0,0)(1,1) &=& \epsilon_0 \\ \end{array}

最多 \(\epsilon_1\)

接下來,考慮 (0,0)(1,1)(1,0) 、 \[(0,0)(1,1)(1,0)[4] = (0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)[4]\] 獲得以下基本序列。

\begin{array}{ll} (0,0)(1,1) &=& \epsilon_0 \\ (0,0)(1,1)(0,0)(1,1) &=& \epsilon_0 \cdot 2 \\ (0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1) &=& \epsilon_0 \cdot 3 \\ (0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1) &=& \epsilon_0 \cdot 4 \\ (0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1) &=& \epsilon_0 \cdot 5 \\ \end{array}

因此,它變成了 \[(0,0)(1,1)(1,0) = \epsilon_0 \cdot \omega\]

接下來,考慮 (0,0)(1,1)(1,0)(1,0)、 \[(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)[2] = (0,0)(1,1)(1,0)(0,0)(1,1)(1,0)(0,0)(1,1)(1,0)[2]\] ,獲得以下基本序列。

\begin{array}{ll} (0,0)(1,1)(1,0) &=& \epsilon_0 \cdot \omega \\ (0,0)(1,1)(1,0)(0,0)(1,1)(1,0) &=& \epsilon_0 \cdot \omega \cdot 2 \\ (0,0)(1,1)(1,0)(0,0)(1,1)(1,0)(0,0)(1,1)(1,0) &=& \epsilon_0 \cdot \omega \cdot 3 \\ \end{array} 它變成了 \[(0,0)(1,1)(1,0)(1,0) = \epsilon_0 \cdot \omega^2 \] 因此,通過在數字序列的末尾添加(1,0),序數乘以 \(\omega\)。 接下來,考慮在數字序列的末尾添加 (1,0)(2,0)。

喜歡

\[(0,0)(1,1)(1,0)(2,0)[4] = (0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(1,0)(1,0)(1,0)[4]\]

,這對應於將序數乘以 \(\omega^\omega\),因為有一個基本序列,其中逐個添加(1,0),獲得

\[(0,0)(1,1)(1,0)(2,0) = \epsilon_0 \cdot \omega^\omega\]

。接下來,考慮(0,0)(1,1)(1,1)、 \[(0,0)(1,1)(1,1)[4] = (0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)(3,0)(4,1)(4,0)(5,1)[4]\] ,獲得以下基本序列。

\begin{array}{ll} (0,0)(1,1) &=& \epsilon_0 \\ (0,0)(1,1)(1,0)(2,1) &=& \epsilon_0^2 \\ (0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1) &=& \epsilon_0^{\epsilon_0} \\ (0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)(3,0)(4,1) &=& \epsilon_0^{\epsilon_0^2} \\ (0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)(3,0)(4,1)(4,0)(5,1) &=& \epsilon_0^{\epsilon_0^{\epsilon_0}} \\ \end{array} 因此,它變成了 \[(0,0)(1,1)(1,1) = \epsilon_1 = \psi(1) \] 。

最多 菲弗曼-舒特序數 = \(\Gamma_0\)

以相同的方式,計算如下。 \begin{array}{ll} (0,0)(1,1)(2,0) &=& \epsilon_{\omega} = \psi(\omega) \\ (0,0)(1,1)(2,0)(2,0) &=& \epsilon_{\omega^2} = \psi(\omega^2) \\ (0,0)(1,1)(2,0)(3,0) &=& \epsilon_{\omega^\omega} = \psi(\omega^\omega) \\ (0,0)(1,1)(2,0)(3,1) &=& \epsilon_{\epsilon_0} = \psi(\psi(0)) \\ (0,0)(1,1)(2,0)(3,1)(4,0)(5,1) &=& \epsilon_{\epsilon_{\epsilon_0}} = \psi(\psi(\psi(0))) \\ (0,0)(1,1)(2,1) &=& \zeta_0 = \varphi(2,0) = \psi(\Omega) \\ (0,0)(1,1)(2,1)(1,1) &=& \varepsilon_{\zeta_0+1} \\ (0,0)(1,1)(2,1)(1,1)(2,1) &=& \zeta_1= \varphi(2,1) \\ (0,0)(1,1)(2,1)(2,0) &=& \zeta_\omega = \varphi(2,\omega) \\ (0,0)(1,1)(2,1)(2,1) &=& \eta_0= \varphi(3,0) \\ (0,0)(1,1)(2,1)(2,1)(2,1) &=& \varphi(4,0) \\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,0) &=& \varphi(\omega,0) \\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,0)(3,0) &=& \varphi(\omega,\omega) = \psi(\Omega^\omega\omega)\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1) &=& \Gamma_0 = \varphi(1,0,0) = \psi(\Omega^\Omega) \\ \end{array}

這已經超過了 TREE(n)。

最多 大韋伯倫序數 = \(\psi(\Omega^{\Omega^\Omega})\)

以相同的方式,計算如下。 \begin{array}{ll} (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(1,1) &=& \varepsilon_{\Gamma_0+1} \\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(1,1)(2,1) &=& \zeta_{\Gamma_0+1} \\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(1,1)(2,1)(3,1) &=& \Gamma_1 = \varphi(1,0,1) \\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,0) &=& \Gamma_\omega = \varphi(1,0,\omega) \\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1) &=& \varphi(1,1,0) \\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1) &=& \varphi(1,1,1) \\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)(2,0) &=& \varphi(1,1,\omega) \\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)(2,1) &=& \varphi(1,2,0) \\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1) &=& \varphi(2,0,0) \\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,0) &=& \varphi(\omega,0,0) \\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1) &=& \varphi(1,0,0,0) \\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1) &=& \varphi(1,0,0,1) \\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)(2,1) &=& \varphi(1,0,1,0) \\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)(2,1)(3,1) &=& \varphi(1,1,0,0) \\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1) &=& \varphi(1,2,0,0) \\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)(2,1)(3,1)(3,1) &=& \varphi(2,0,0,0) \\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)(2,1)(3,1)(3,1)(2,1)(3,1)(3,1) &=& \varphi(3,0,0,0) \\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)(3,0) &=& \varphi(\omega,0,0,0) \\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)(3,1) &=& \varphi(1,0,0,0,0) = \psi(\Omega^{\Omega^3}) \\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)(3,1)(3,1) &=& \varphi(1,0,0,0,0,0) = \psi(\Omega^{\Omega^4}) \\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,0)&=& \psi(\Omega^{\Omega^\omega}) \text{(小韋伯倫序数)} \\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,0)(3,1) &=& \psi(\Omega^{\Omega^{\omega+1}}) \\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,0)(4,0) &=& \psi(\Omega^{\Omega^{\omega^2}}) \\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,0)(5,0) &=& \psi(\Omega^{\Omega^{\omega^\omega}}) \\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,0)(5,1) &=& \psi(\Omega^{\Omega^{\varepsilon_0}}) \\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1) &=& \psi(\Omega^{\Omega^\Omega}) \text{(大韋伯倫序数)} \end{array}

最多 巴克曼霍华德序數 \(\psi(\epsilon_{\Omega+1})\)

\begin{array}{ll} (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(4,0) &=& \psi(\Omega^{\Omega^{\Omega \cdot \omega}}) \\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(4,1) &=& \psi(\Omega^{\Omega^{\Omega^2}}) \\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,0) &=& \psi(\Omega^{\Omega^{\Omega^\omega}}) \\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1) &=& \psi(\Omega^{\Omega^{\Omega^\Omega}}) \\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1) &=& ψ(\Omega^{\Omega^{\Omega^{\Omega^\Omega}}}) \\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)(7,1) &=& ψ(\Omega^{\Omega^{\Omega^{\Omega^{\Omega^\Omega}}}}) \\ (0,0)(1,1)(2,2) &=& \psi(\epsilon_{\Omega+1}) = \psi(\psi_1(0)) \\ \end{array}

最多 \(\vartheta(\Omega_\omega)\)

\begin{array}{ll} (0,0)(1,1)(2,2)(0,0) &=& \psi(\psi_1(0))+1 \\ (0,0)(1,1)(2,2)(1,0) &=& \psi(\psi_1(0)) \omega \\ (0,0)(1,1)(2,2)(2,0) &=& \psi(\psi_1(0) \omega) \\ (0,0)(1,1)(2,2)(3,0) &=& \psi(\psi_1(\omega)) \\ (0,0)(1,1)(2,2)(3,0)(4,0) &=& \psi(\psi_1(\omega^\omega)) \\ (0,0)(1,1)(2,2)(3,0)(4,1) &=& \psi(\psi_1(\psi(0)))=\psi(\psi_1(\epsilon_0)) \\ (0,0)(1,1)(2,2)(3,1) &=& \psi(\psi_1(\Omega)) \\ (0,0)(1,1)(2,2)(3,2) &=& \psi(\psi_1(\Omega_2)) \\ (0,0)(1,1)(2,2)(3,3) &=& \psi(\psi_1(\psi_2(0))) \\ (0,0)(1,1)(2,2)(3,3)(4,4) &=& \psi(\psi_1(\psi_2(\psi_3(0)))) \\ (0,0)(1,1)(2,2)(3,3)...(9,9) &=& \psi(\psi_1(\psi_2(\psi_3(\psi_4(\psi_5(\psi_6(\psi_7(\psi_8(0))))))))) \\ \end{array}

換句話說,如果\(\textrm{Pair}(n) = (0,0)(1,1) \ldots (n,n)[n]\) 是 \[\textrm{Pair}(n) \approx f_{\vartheta(\Omega_\omega)}(n)\] 。序數 \(\vartheta(\Omega_\omega)\) 是 \(\textrm{PTO}(\Pi_1^1{-}\textrm{CA}_0)\),小於 \(\textrm{PTO}(\Pi_1^1{-}\textrm{CA}{+}\textrm{BI})\)。所以 \(\textrm{SCG}(n)\) 也許超越 \(\textrm{Pair}(n)\)。

終止證明

P進大好きbot[7]定義標準形式的概念(比普通意義上的正常形式更寬), 而 Buchholz 的 \(\psi\) 用於證明對序列系統的終止。[8]

九頭蛇表示法

Bashicu 顯示該對序列由標記的九頭蛇(hydra)表示。[9]

koteitan[10] 還將 Buchholz 的 hydra (也用標記的 hydra 代表)與一對標記的水印進行了比較。 [11]我還創建了一個程序來繪製帶有標籤的九頭蛇[12]

相關鏈接

関連項目

 

社区内容除另有注明外,均在CC-BY-SA许可协议下提供。