This is an English translation of my Japanese blog post about analysis of 二関数.
In this article, I assume the well-foundedness of the notation system \((OT,<)\) of 二関数. For an \(s \in OT\), I denote by \(o(s)\) the order type of \(\{t \in OT \mid t < s\}\) with respect to \(<\). Then we obtain an injective order-preserving map \begin{eqnarray*} o \colon OT & \to & \omega_1^{\textrm{CK}} \\ s & \mapsto & o(s) \end{eqnarray*} surjective onto an initial segment. I show my expectation of the behaviour of \(o\). Since I am based on the assumption that all terms below are standard terms, if this article includes a non-standard term, then it is a mistake.
vs Buchholz OCF[]
| 二関数 | Buchholz's OCF |
|---|---|
\(0\)
|
\(0\)
|
\(1 := \textsf{二}_0(0)\)
|
\(1 := \psi_0(0)\)
|
\(2 := 1+1\)
|
\(2 := 1+1\)
|
\(3 := 1+2\)
|
\(3 := 1+2\)
|
\(\omega := \textsf{二}_0(1)\)
|
\(\omega := \psi_0(1)\)
|
\(\textsf{二}_0(2)\)
|
\(\psi_0(2)\)
|
\(\textsf{二}_0(\omega)\)
|
\(\psi_0(\omega)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\omega))\)
|
\(\psi_0(\psi_0(\omega))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\omega)))\)
|
\(\psi_0(\psi_0(\psi_0(\omega)))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))\)
|
\(\psi_0(\psi_1(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+1)\)
|
\(\psi_0(\psi_1(0)+1)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+2)\)
|
\(\psi_0(\psi_1(0)+2)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\omega)\)
|
\(\psi_0(\psi_1(0)+\omega)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(\psi_0(\psi_1(0)+\psi_0(\psi_1(0)))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))\)
|
\(\psi_0(\psi_1(0)+\psi_1(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+1))\)
|
\(\psi_0(\psi_1(1))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+2))\)
|
\(\psi_0(\psi_1(2))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\omega))\)
|
\(\psi_0(\psi_1(\omega))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))))\)
|
\(\psi_0(\psi_1(\psi_0(\psi_1(0))))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(\psi_0(\psi_1(\psi_1(0)))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(\psi_0(\psi_1(\psi_1(0)+\psi_1(0)))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+1)))\)
|
\(\psi_0(\psi_1(\psi_1(1)))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+2)))\)
|
\(\psi_0(\psi_1(\psi_1(2)))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\omega)))\)
|
\(\psi_0(\psi_1(\psi_1(\omega)))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))))\)
|
\(\psi_0(\psi_1(\psi_1(\psi_1(0))))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))\)
|
\(\psi_0(\psi_2(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+1)\)
|
\(\psi_0(\psi_2(0)+1)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+2)\)
|
\(\psi_0(\psi_2(0)+2)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\omega)\)
|
\(\psi_0(\psi_2(0)+\omega)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(\psi_0(\psi_2(0)+\psi_0(\psi_1(0)))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(\psi_0(\psi_2(0)+\psi_0(\psi_2(0)))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))\)
|
\(\psi_0(\psi_2(0)+\psi_1(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))\)
|
\(\psi_0(\psi_2(0)+\psi_2(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+1))\)
|
\(\psi_0(\psi_2(1))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+2))\)
|
\(\psi_0(\psi_2(2))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\omega))\)
|
\(\psi_0(\psi_2(\omega))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))))\)
|
\(\psi_0(\psi_2(\psi_0(\psi_1(0))))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(\psi_0(\psi_2(\psi_1(0)))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(\psi_0(\psi_2(\psi_2(0)))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))\)
|
\(\psi_0(\psi_3(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+1))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega}(1))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+2))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega}(2))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\omega))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega}(\omega))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega}(\psi_1(0)))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1))))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega}(\psi_{\omega}(0)))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)))))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega}(\psi_{\omega}(\psi_{\omega}(0))))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega}(\psi_{\omega}(\cdots \psi_{\omega}(0) \cdots)))\)
|
vs Extended Buchholz's OCF[]
| 二関数 | Extended Buchholz's OCF |
|---|---|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega+1}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+1)\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega+1}(0)+1)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+2)\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega+1}(0)+2)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\omega)\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega+1}(0)+\omega)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega+1}(0)+\psi_0(\psi_1(0)))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega+1}(0)+\psi_1(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega+1}(0)+\psi_2(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega+1}(0)+\psi_{\omega}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+1))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega+1}(0)+\psi_{\omega}(1))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+2))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega+1}(0)+\psi_{\omega}(2))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\omega))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega+1}(0)+\psi_{\omega}(\omega))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega+1}(0)+\psi_{\omega}(\psi_1(0)))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega+1}(0)+\psi_{\omega}(\psi_2(0)))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1))))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega+1}(0)+\psi_{\omega}(\psi_{\omega}(0)))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+1)))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega+1}(0)+\psi_{\omega}(\psi_{\omega}(1)))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega+1}(0)+\psi_{\omega}(\psi_{\omega}(\psi_1(0))))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)))))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega+1}(0)+\psi_{\omega}(\psi_{\omega}(\psi_{\omega}(0))))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega+1}(0)+\psi_{\omega}(\psi_{\omega+1}(0)))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega+1}(0)+\psi_{\omega+1}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+1))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega+1}(1))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+2))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega+1}(2))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\omega))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega+1}(\omega))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega+1}(\psi_1(0)))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1))))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega+1}(\psi_{\omega}(0)))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+1)))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega+1}(\psi_{\omega}(1)))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+2)))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega+1}(\psi_{\omega}(2)))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\omega)))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega+1}(\psi_{\omega}(\omega)))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega+1}(\psi_{\omega}(\psi_0(\psi_1(0)))))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega+1}(\psi_{\omega}(\psi_1(0))))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1))))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega+1}(\psi_{\omega}(\psi_{\omega}(0))))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega+1}(\psi_{\omega+1}(0)))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega+2}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\omega+\omega}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+2)))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\psi_0(2)}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\omega)))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\psi_0(\omega)}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\psi_0(\psi_1(0))}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\psi_1(0)}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\psi_2(0)}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)))))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\psi_{\omega}(0)}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))))))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\psi_{\psi_1(0)}(0)}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(\psi_0(\psi_{\psi_{\psi_{\cdot_{\cdot_{\cdot_{\psi_0(0)}\cdot}\cdot}\cdot}(0)}(0)}(0))\)
|
vs Transfinitary Extended Buchholz's OCF[]
| 二関数 | Transfinitary Extended Buchholz's OCF |
|---|---|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(\psi(\psi(1,0,0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))+1)\)
|
\(\psi(\psi(1,0,0)+1)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))\)
|
\(\psi(\psi(1,0,0)+\psi(1,0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+1))\)
|
\(\psi(\psi(1,0,0)+\psi(1,1))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))\)
|
\(\psi(\psi(1,0,0)+\psi(2,0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)))\)
|
\(\psi(\psi(1,0,0)+\psi(\omega,0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))))\)
|
\(\psi(\psi(1,0,0)+\psi(\psi(1,0),0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)))))\)
|
\(\psi(\psi(1,0,0)+\psi(\psi(\omega,0),0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))))))\)
|
\(\psi(\psi(1,0,0)+\psi(\psi(\psi(1,0),0),0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))))\)
|
\(\psi(\psi(1,0,0)+\psi(\psi(1,0,0),0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(\psi(\psi(1,0,0)+\psi(1,0,0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+1))\)
|
\(\psi(\psi(1,0,1))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\omega))\)
|
\(\psi(\psi(1,0,\omega))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(\psi(\psi(1,0,\psi(1,0)))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))))\)
|
\(\psi(\psi(1,0,\psi(1,0,0)))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))\)
|
\(\psi(\psi(1,1,0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))\)
|
\(\psi(\psi(1,2,0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)))\)
|
\(\psi(\psi(1,\omega,0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))))\)
|
\(\psi(\psi(1,\psi(1,0),0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))))\)
|
\(\psi(\psi(1,\psi(1,0,0),0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(\psi(\psi(2,0,0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+1)))\)
|
\(\psi(\psi(\omega,0,0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))))\)
|
\(\psi(\psi(\psi(1,0),0,0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))))\)
|
\(\psi(\psi(\psi(1,0,0),0,0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(\psi(\psi(1,0,0,0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(\psi(\psi(2,0,0,0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+1)))\)
|
\(\psi(\psi(\omega,0,0,0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))))\)
|
\(\psi(\psi(\psi(1,0),0,0,0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))))\)
|
\(\psi(\psi(\psi(1,0,0),0,0,0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+1)))))\)
|
\(\psi(\psi(\psi(\omega,0,0),0,0,0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))))))\)
|
\(\psi(\psi(\psi(\psi(1,0),0,0),0,0,0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))))))\)
|
\(\psi(\psi(\psi(\psi(1,0,0),0,0),0,0,0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))))\)
|
\(\psi(\psi(\psi(1,0,0,0),0,0,0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(\psi(\psi(1,0,0,0,0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1))))\)
|
\(\psi \left( \begin{array}{c} \psi \left( \begin{array}{c} 1 \\ \omega \end{array} \right) \\ 0 \end{array} \right)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))))\)
|
\(\psi \left( \begin{array}{c} \psi \left( \begin{array}{c} 1 \\ \psi \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) \end{array} \right) \\ 0 \end{array} \right)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))))))\)
|
\(\psi \left( \begin{array}{c} \psi \left( \begin{array}{c} 1 \\ \psi \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) \end{array} \right) \\ 0 \end{array} \right)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)))))))\)
|
\(\psi \left( \begin{array}{c} \psi \left( \begin{array}{c} 1 \\ \psi \left( \begin{array}{c} 1 \\ \omega \end{array} \right) \end{array} \right) \\ 0 \end{array} \right)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))))\)
|
\(\psi \left( \begin{array}{c} \psi \left( \begin{array}{c} 1 \\ \psi \left( \begin{array}{c} 1 \\ \cdot_{\cdot_{\cdot_{\psi \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)}\cdot}\cdot}\cdot \end{array} \right) \end{array} \right) \\ 0 \end{array} \right)\)
|
vs Rathjen弱マーロOCF[]
| 二関数 | Rathjen弱マーロOCF |
|---|---|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\psi_{\chi_{M}(0)}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\psi_{\chi_{M}(0)}(1))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+1)))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\psi_{\chi_{M}(0)}(\omega))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\psi_{\chi_{M}(0)}(\psi_{\chi_{M}(0)}(0)))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\chi_{M}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_{1}(\chi_{M}(0)+1))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_{1}(\chi_{M+1}(0)+1))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\psi_{\chi_{M+\omega}(0)}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\psi_{\chi_{M+\chi_0(0)}(0)}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\psi_{\chi_{M+M}(0)}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+1))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\psi_{\chi_{\varphi_0(M+1)}(0)}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\psi_{\chi_{\varphi_0(M+\chi_0(0))}(0)}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\psi_{\chi_{\varphi_0(M+M)}(0)}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\psi_{\chi_{\varphi_0(\varphi_0(M+1))}(0)}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\psi_{\chi_{\varphi_1(M+1)}(0)}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\psi_{\chi_{\varphi_2(M+1)}(0)}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\psi_{\chi_{\varphi_3(M+1)}(0)}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+1))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\psi_{\chi_{\varphi_{\omega}(M+1)}(0)}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\psi_{\chi_{\varphi_{M}(1)}(0)}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\psi_{\chi_{\varphi_{M+1}(0)}(0)}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(M)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))+1))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_0(M+1))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_0(M+M))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_0(\varphi_0(M+1)))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_0(\varphi_0(M+M)))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_1(M+1))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+1))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_1(M+\omega))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_1(M+M))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_1(\varphi_0(M+1)))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_1(\varphi_0(M+M)))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1))))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_1(\varphi_0(\varphi_0(M+1))))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_1(\varphi_1(M+1)))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_2(M+1))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+1)))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_{\omega}(M+1))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_M(1))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+1))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_M(\omega))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_{M+1}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+1)))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_{M+\omega}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_{M+M}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1))))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_{\varphi_0(M+1)}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_{\varphi_0(M+M)}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)))))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_{\varphi_0(\varphi_0(M+1))}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_{\varphi_1(M+1)}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+1)))))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_{\varphi_1(M+\omega)}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_{\varphi_1(M+M)}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1))))))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_{\varphi_1(\varphi_0(M+1))}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))))))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_{\varphi_1(\varphi_0(M+M))}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)))))))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_{\varphi_1(\varphi_0(\varphi_0(M+1)))}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))))))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_{\varphi_1(\varphi_1(M+1))}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))))))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_{\varphi_2(M+1)}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+1))))))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_{\varphi_{\omega}(M+1)}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))))))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_{\varphi_{M}(1)}(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))))))))\)
|
\(\psi_{\chi_0(0)}(\varphi_{\varphi_{\cdot_{\cdot_{\cdot_{\varphi_{M+1}(0)}\cdot}\cdot}\cdot}(0)}(0))\)
|
Correspondence to cardinals[]
It is too difficult to compare it to Rathjen's \(\Psi\) based on the least weakly compact cardinal. Therefore I show my expectation of the correspondence to cardinals instead of \(o\). More precisely, I expect that it is possible to define an OCF compatible with the correspondence under a suitable large cardinal axiom.
Although I omit the definition of ambiguous notions depending on contexts like \(I\), \(\Lambda\), \(M\), and so on, I hope that the reader can guess what they mean here to some extent. (In addition, I am too lazy to translate the table into English.)
| 二関数 | 基数 |
|---|---|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))\)
|
最小の非可算正則基数\(I(0)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))\)
|
\(2\)番目の非可算正則基数\(I(1)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1))\)
|
\(\omega\)番目の非可算正則基数未満の非可算正則基数の上限\(I(\omega)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))))\)
|
最小の\(1\)変数\(I\)関数不動点\(\Phi(1,0)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))\)
|
\(\Phi(1,0)\)番目の正則基数\(I(\Phi(1,0)+1)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))))\)
|
\(2\)番目の\(1\)変数\(I\)関数閉順序数\(\Phi(1,1)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))\)
|
最小の弱到達不能基数\(I(1,0)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))\)
|
最小の弱\(2\)到達不能基数\(I(2,0)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)))\)
|
\((I(n,0))_{n \in \omega}\)の極限
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))\)
|
最小の弱\(\omega\)到達不能基数\(I(\omega,0)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
最小の\(2\)変数\(I\)関数閉順序数\(\Lambda(0)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))\)
|
\(\Lambda(0)\)番目の正則基数\(I(\Lambda(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))\)
|
\(\Lambda(0)\)番目の弱到達不能基数\(I(1,\Lambda(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))\)
|
最小の弱\(\Lambda(0)\)到達不能基数\(I(\Lambda(0),0)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))\)
|
最小の弱\(\Lambda(0)+1\)到達不能基数\(I(\Lambda(0)+1,0)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)))\)
|
\((I(\Lambda(0)+n,0))_{n \in \omega}\)の極限
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))\)
|
最小の弱\(\Lambda(0)+\omega\)到達不能基数\(I(\Lambda(0)+\omega,0)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(2\)番目の\(2\)変数\(I\)関数閉順序数\(\Lambda(1)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+1)))\)
|
\((\Lambda(n))_{n \in \omega}\)の極限
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))))))\)
|
最小の\(1\)変数\(\Lambda\)関数不動点\(\Lambda(1,0)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
最小の弱ハイパー到達不能基数\(I(1,0,0)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))\)
|
最小の弱マーロ基数\(M(0)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))\)
|
\(M(0)+1\)番目の正則基数\(I(M(0)+1)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))\)
|
\(M(0)+1\)番目の弱到達不能基数\(I(1,M(0)+1)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(M(0)+1\)番目の\(2\)変数\(I\)関数閉順序数\(\Lambda(M(0)+1)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
\(M(0)+1\)番目のハイパー弱到達不能基数\(I(1,0,M(0)+1)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))\)
|
\(2\)番目の弱マーロ基数\(M(1)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(1))\)
|
\(\omega\)番目の弱マーロ基数未満の弱マーロ基数の上限\(M(\omega)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(1)+\textsf{二}_1(0))\)
|
\(\omega\)番目の弱マーロ基数\(M(\omega+1)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0))))\)
|
\(M(0)\)番目の弱マーロ基数未満の弱マーロ基数の上限\(M(M(0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_1(0))\)
|
\(M(0)\)番目の弱マーロ基数\(M(M(0)+1)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0))))))\)
|
最小の\(1\)変数\(M\)関数閉順序数\(\Phi_M(1,0)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0))))))+\textsf{二}_1(0))\)
|
\(\Phi_M(1,0)\)番目の弱マーロ基数\(M(\Phi_M(1,0)+1)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0))))))+\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0)))))))\)
|
\(2\)番目の\(1\)変数\(M\)関数閉順序数\(\Phi_M(1,1)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0)))))+1))\)
|
\(\omega\)番目の\(1\)変数\(M\)関数閉順序数\(\Phi_M(1,\omega)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0)))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0)))))))))\)
|
\(\Phi_M(1,0)\)番目の\(1\)変数\(M\)関数閉順序数\(\Phi_M(1,\Phi_M(1,0))\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0)))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0))))))))\)
|
最小の\(\Phi_M(1,x)\)関数不動点\(\Phi_M(2,0)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0)))))))))\)
|
最小の\(2\)変数\(\Phi_M\)関数不動点\(\Phi_M(1,0,0)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0))))))))))\)
|
最小の超限変数\(\Phi_M\)関数不動点
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0))))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0))))))++\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0)))))))))\)
|
最小の\(1\)変数\(M\)関数不動点
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0))))\)
|
最小の弱\(1\)マーロ基数\(M(1,0)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_1(0))\)
|
\(M(1,0)+1\)番目の弱マーロ基数\(M(M(1,0)+1)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0))))\)
|
\(2\)番目の弱\(1\)マーロ基数\(M(1,1)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0))+1))\)
|
\(\omega\)番目の弱\(1\)マーロ基数未満の弱\(1\)マーロ基数の上限\(M(1,\omega)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0))+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0))))\)
|
\(\omega\)番目の弱\(1\)マーロ基数\(M(1,\omega+1)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
最小の弱\(2\)マーロ基数\(M(2,0)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0)))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
最小の弱\(3\)マーロ基数\(M(3,0)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0))+1)))\)
|
\((M(n,0))_{n \in \omega}\)の極限
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0))+1)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0)))))\)
|
最小の弱\(\omega\)マーロ基数\(M(\omega,0)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0))))))\)
|
最小の弱ハイパーマーロ基数\(M(1,0,0)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0)))\)
|
最小の弱コンパクト基数\(K(0)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0)))\)
|
\(2\)番目の弱コンパクト基数\(K(1)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0)+1))\)
|
\(\omega\)番目の弱コンパクト基数未満の弱コンパクト基数の上限\(K(\omega)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0)+1)+\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0)))\)
|
\(\omega\)番目の弱コンパクト基数\(K(\omega+1)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))))\)
|
最小の何か\(K(1,0)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))+\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0))))))\)
|
最小の何か\(K(1,0,0)\)
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0)+\textsf{二}_1(0)))\)
|
最小の何か
|
\(\textsf{二}_0(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(\textsf{二}_1(0))))\)
|
最小の何か
|
\(\textsf{二}_1(0)\)
|
最小の何か
|
\(\textsf{二}_2(0)\)
|
最小の何か
|
\(\textsf{二}_{\omega}(0)\)
|
\((\textsf{二}_n(0))_{n \in \omega}\)の極限
|
\(\textsf{二}_{\textsf{二}_{\cdot_{\cdot_{\cdot_{\textsf{二}_0(0)}\cdot}\cdot}\cdot}(0)}(0)\)
|
何かすごいやつ
|