Copied from Proof that calculation of "standard form" Bashicu matrix system always stops by an anonymous googologist, Jan. 16, 2016.

1行

(n)# #は(n+1)より小さくない列からなる行列

(n)$ $は(n)以上の列からなる行列(注、計算上の大小関係とは別、1行目の値のみに注目する)

(0)は自然数型

(0)=1 (0)(0)=2 (0)(0)(0)=3 ...

型(n+1)は型(n)の集合をあらわす型。(n)#(n+1)で型(n)の値は集合[(n)#(n+1)]={(n)#,(n)#(n)#,(n)#(n)#(n)#,...}のなかで全称量化される。

(n)#(n+1)(n+1)なら{(n)#(n+1),(n)#(n+1)(n)#(n+1),(n)#(n+1)(n)#(n+1)(n)#(n+1),...}のなかで――すでに全称量化された型(n)の自由な値をさらに 全称量化する。つまり全称量化された「全称量化された(n)#」

わかりやすく(?)言えば ある範囲で任意の値をとりうる自由変数xに依存する変数yを、ある集合の中で任意の値をとるものする。 この場合、ある集合とは{x,x+x,x+x+x,...} xの具体的な値は、計算途中でほとんどの場合変わることに注意、順序数を展開するうえでのωのようなもの。

順序数に当てはめると

(1)は次数を表す型、(1)で次数1、(1)(1)で次数2、・・・

次数1は次数0の順序数の集合、次数2は次数1の集合、・・・それぞれの集合は一つ手前の順序数からなる収束列となっている。

(2)は次数の次数、(3)は次数の次数の次数、・・・をあらわす型

\((0)(1)(1)(0)(1)=ω^2+ω\) (0)(1)(1)より大きい最初の次数1の順序数

媒介変数は自然数のため、計算する集合はせいぜい有限個

有限のステップで、有限個の集合のうち任意の集合の、有限番目の要素は計算を終え、計算はひとつ前の要素へ移るため、有限のステップで 1行の行列は計算を終える。

述語論理とのつながり

とくに断りがない場合、一階部分の量化の範囲はすべての自然数の集合(0を含む)

\[∀m[m<α⇔α∈A_0] \\ ∧∀n[∀m(m∈A_0)∧¬n=0∧¬m+n=α⇔α∈A_1] \\ ∧∀n[∀l∀m(l,m∈A_n)∧l>m∧¬l+m=α⇔α∈A_{n+1}]\]

二階述語論理は集合を量化する、つまり一階の述語を量化することが可能。 算術的内包公理は、算術による述語を項として扱うことができます。 帰納法をつかって\(A_ω\)を定義したり、算術による述語を算術による述語で評価したり。 前提とする公理系によって明示されていればかまいませんが、\(A_α\)がwell-orderdな集合であることを示しておく必要があります。

(0)#(1)は集合[(0)#(1)]のなかで全称量化された数変数。(1)#(2)は集合[(1)#(2)]の中で全称量化された集合変数

集合論的には

(0)$は数(順序型)、[(0)#(1)]は\(ACA_0\)で構成可能な数の集合、[(1)#(2)]は\(ACA_0\)で構成可能な「\(ACA_0\)で構成可能な数の集合」の集合、・・・

nは任意の自然数

集合[(n)#(n+1)]={(n)#,(n)#(n)#,(n)#(n)#(n)#,...}はすべての自然数からなる集合と同型(関係を保存する自然数からの全単写が存在する。)

展開することで集合が「分解されて消え」、その要素が残る。比喩をつかった表現だけど、正式な言い回しがわからん すべての要素を使い果たしたら、一つ上の、一つ手前の集合へと切り替える。一つ手前の集合がなければ見つかるまでさらに一つ上へ、それでも見つからなければ その部分の計算は終了

どの要素も有限回下降し続けることで0から写される最小値へとたどり着く。そして集合のタワーも無限の高さに達しない。証明はまかせる

つまり、一回のステップでその要素の集合が分解され、有限回のステップでその一つ手前の要素へと移動し、有限回の移動ですべての要素を消費し、一つ上の集合 へと昇華し、有限回の昇華で頂上へとたどり着き、それからあとは有限回の移動で頂上の最小値へと移り、有限の高さから後は一番下まで下降して終わり。計算終了

2行

(1,1)、2行目の1は一階の型を全称量化する型、型演算、型の型、etc...

[(0,0)(1,1)]={(0),(0)(1),(0)(1)(2),...}

計算過程で型の一階部分が全称量化され、後ろに階段状につなげられる。 集合論の視点からみると、悪い部分が\(Π^1_1-CA_0\)の強さを持った集合の中で全称量化され、その媒介変数t番目の要素までを後ろに階段状につなげていき、 \(ACA_0\)の集合タワーができる、もちろんtは自然数なので無限の高さにはならない。

論理式 

簡潔に要点だけ

\(∀C∀B∀A[(A∈C∧(P(A)⇔A∈B)⇒B∈C)⇔B∈A^1]\) Pは算術による述語

算術による述語を全称量化して\(Π^1_1 \)

\(A^1\)は二階部分が(1)の型

1行の計算に一階の集合タワーの展開が追加される。有限の高さをもつ一階の集合タワーの計算が終了するということはすでに証明済みなので、ちょっと端折るけど、 2行目が1より大きくならない2行の行列は計算が終了する。

2行目がnより大きくならない2行の行列は計算が終了すると仮定する。2行目がn+1となるとき、2行目がnとなる列、二階部分がnの型を\(Π^1_1\)の強さをもつ述語により 全称量化する。仮定より、これにより構成される行列は計算が終了する。よって2行目がn+1より大きくならない2行の行列も計算が終了する。

3行以上

3行目以降も論理および型の階層を上げながら同様に証明していく。

n行でn階述語論理のある体系(n階のカインド)を対角化した強さとなる。

補足

この論証方法では、(0)(1)(1)と(1)(2)は順序関係∈について全順序となっていない。正確には、この論証方法で定義される異なる全順序集合間の順序関係を 定義することができない。よってバシク行列全体の構造は全順序集合とはならない、ということになる。 ついでに言えば\(A_n\)の要素が\(A_{n+1}\)の要素となっていないので推移律も成り立っていない。 ただこれは証明のために定義した構造と関係∈について言えることで、計算順序については全順序関係が成り立つ。

これ以降の拡張により、二次元目と三次元目の間に展開される標準形は、「カインドの高さを全称量化する型」の高さを全称量化した強さを持ち、 三次元目と四次元目の間では「「カインドの高さを全称量化する型」の高さを全称量化する型」を全称量化した強さを持ち、以降も同様。 (多次元配列を見直そうかという件については、今後の拡張のことを考えてこのままでいいと判断しました。)

レギオン配列で型(n)の値を次元およびその全称量化に関する値として扱うことも可能(ポリモーフィズム) 一般的には、「数の区切り」という大きな型のなかで、(0)は次元をつかさどる値へと決定されれ、(1)は(0)のレギオン空間の区切りとなり、・・・

多相型を全称量化する型、それよりも大きな多相型、・・・L2空間の中で多相型の大きさが全称量化される。

・・・このままBEAFを応用していってもλωのなかでアルゴリズムが組み立てられていくばかりで依存型がそろわない。 よってCoCには届かない。一から新しいのつくしかないね

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