11,327
pages
Mixed factorial
Notation$$n^*$$
TypeCombinatorial
Based onFactorial
Growth rate$$f_{\omega}(n)$$

Mixed factorial $$n^*$$[1] or $$M!(n)$$[2] is a function recursively defined as

$1^* = 1$

$(n + 1)^* = n^* +^n (n + 1)$

where $$+^n$$ is the $$n$$th hyper operator, starting at addition. For example, $$4^* = ((1 + 2) \cdot 3) \uparrow 4$$. Informally, the sequence can be visualized as starting with 1 (zero zerated), adding 2, multiplying by 3, exponentiating by 4, tetrating by 5, ...

The function was coined by an author under the alias of "TechKon" (formerly SpongeTechX).

## Values

Some examples are given below:

n n*
1 1
2 (1+2)=3
3 (3*3)=9
4 94=6,561
5 $$^56,561=6,561\uparrow\uparrow5=6,561^{6,561^{6,561^{6,561^{6,561}}}}$$
6 (56,561)↑↑↑6

## Extension

By repeating the process of taking mixed factorial we get numbers of form (n*)*, ((n*)*)* etc. or, equivalently, n**, n***, n****... These can be also written as n*2, n*3, etc.

For even farther extension, we can say n*x*...x, with k x's can be written as n*(x,k). As you can see, x represents the mixed factorial numbers, and k represents the amount of them.

## Example

To show how this function can produce such a massive number, here is the example of the calculation of the 2 uppermost exponent of 5*, calculated using https://defuse.ca/big-number-calculator.htm and http://www.javascripter.net/math/calculators/100digitbigintcalculator.htm:

138171262433959398074664890378279414572433150765332298987426305994588046336152645653296292486540313052850893248111651067122786625913753028465663933699695028750632670253883939284705778773110980455519501100052562029977533719987715456588717186330234589085465568316774196866264469350877788423158894235600427837546655082067071246495471014354108628718121399119349876933048311592421425201415593498642319823776766352329929579710878099607478202120351544129317830406754305218981650665657392433447519077531636120385880606526264384123887724935104068648643413876032867722814809879705594853501341699655720733597135577728047881281228968977457081228878836127033703742622577518898058486006555307148274149019417772807975900937981500716161594343598258695756783087975019181072658529349133866275326683771941165610370115622848515453631999046163909634389981365629663474043403245446606516460080371417628131722607749557553136412033990223070169869389636724835383113755458812229143952328198376163032218359691817231128167186868987025789724273965148862448569860310770771000209202564473021928321782878775594180584103296732945875181543624090983619044326702196339770093043823253816648078406751253812018521984658872597213103500310739226743746407747956992705120214380418637184146646969765757571648815033433698809526144917904547286607068857409529015784884852946066310412809675426087987603147448839138256367272438346602974421814537514510269466531439788120249764305911289759397514128120201829578740186712498176852956834499668852001387624600259746655224258844936909151110165835944005552969089453761041984699004018382881903979524609054360267549187152409210060362951662047066127428889169919432271991222153290893258780128674054052383979588538090395770090989632152093234306680638588375898379095563911596352724616089221659066671649977188925390883030060637158572134335181118205504826862526208254504849751605945288689966257132978795244699572667970020235549730969199465654800040080241169676161072306201911635616744233585402218795290004846356006046456081851248981546582861559615115914669346960636813258659273023438934725577701985081180191724601889389383503774733823096453733366813755246386742944900126073301883579457628987695963646112336318471756101450287844475305432306138831434717238592376032713754428068050231739352675404861518103961708314242830500378576362030760728396545967919011383296353810095105034109411982457742113725030475744687871532436465371282206552005675322676995240841763298354279119209699691350307268079011487098895119320093634754982366078114809075198858065635683981229021115562998561253656455532396759375912261046688079252090958227601422848366207407336139876278092358569427953289857136665318054510234949063071257700802381649704931217671500857444683297170730499429277764494862141015278509847247955776885681891674302853944135027961769267034738250929973045776462944309375979131250948680934931032476643750869436440147593493345593451413521132166905939288497347990652964285330416952989075070851766714097522303501978999316001060909385807031591140299289344455153321177640917363395996792056400605077445622075869696803845975814361363271167032290860597204791777991436074608277434251802840642620133358714923690037846538463761197509238402289564355862659305663131182490757810574176607624997336432653422423928387016145688191399612151966941972760051883684399081584496900300806430950927145028616896076133429472296739399380303120763696132140521396531295111643550682011428386024224813779178196587614494434940019128518187829887281138944504174025435437044245451677882451740967464345556933628332379343182484378733651213366935836734130153097758138070058667600973003880827156265592457381194785389835254069665889167397602332942532629757146684967927107695858647506869758864714872484333557239899009184706894404429944132678800805254893726404298411517917043930658688644690348854560806174210306884736735144458260161537961656854010902789961485360332526780142639913695359577869262934493062268818483081474100345555936831347189665780012026871753022198954870641366764448064482322885136615673859510916970994401926313912775596550666860738306469115128722734436736315197482710853695337847018192594828400046176510159583425120134874026395358230879321937649709797278163989810290636357433954349991014223155788137748645927278562049206800741310332227684766048082218317308439009211856548534903443130798989894881955695322572889189459455480011306705059707719190941647937621179122756876523399616289061446189993781101384186755329754272645305625359158233931658607668768446575524987265568531591572684257688168028855018196889111882753984698036346083806602911702593872353943901392335182806635977088104298992020251829013337889758338982239462564284986817657350014814282944607773826734953871241656711831220753765090647352879692391943986294680862085674858617673471811315496552244164893214025572091778203379630331605678797537643595497159181174588890173198892751771927037555539709561758252773171181922811433480359535491745879920410922853714508956565295276154118577562528389131246996589674367898444705660322316314840293760073809038079816542730186854172587510080038269041955540175701656859097252091719013809973342265528818579635369387418022575875301450141103113213491193563309751641388485067275055124110146299840807500173839626959826144839884073754734837820177900850182038905671685380414103120102294171544063573214181309435474625177726141102566819470569511676152283697415647754141219365894094730349159414846631854829893418064294070998338023119068607400719573484527128888046898757534683381448226809032036051762632099238469326832259290210158857555793399933307718080952382341966755403396013305686678288926674488271163235917704502243103575501241606151655926907445942452231205794394849555257774962800371176623990683577221273052789942599207586122780941467446488079232375943651719207810177499276557754996968322392075296314788917881781255095513272634656977316065389289417581113256370492467476046022154912091919057687265128579755487108799349627775490501792882060994075525233651755959099905586206172251286624088036630363078505165607316442538334986263900077898756310983602785502433810236596809857038811364873052051430136234412968800567550220487539009134006650489002171733632111451535231206507797684902506489571056042972104692696130268238767295954949213833129898993032021888751836303000678513772815229027600751473574789454243031926316101531133963322303960947122777642821588559481452155380252262006789203655509306987472340928227468715487646773567350576315619225928452579930746150610760959530439975672525865561558572077148167429608432762279851713171826676248812807088845287885393185889082343285238943093529910943111481542526226895199924987999692408988947935457376195209681500779747474240735902054409778847939507888754522786138949308586069227713397146256123257971161666207556504372038185690642798375697389493285079092452588044355355267230843852497345565514488574012561118983218977333079422539777999823211478586127573317775614904390923142406601454651000967281017125177087839096366753142935257278026580615315272406785962735726056424806344728847640332857520918225935992460497462632154194928894248301467538878758902371792728503885108583767654775285947214244604506651094656559427213950761940922888650429171752550906438700365168362888121618855635338762532993671866277436121447004812299551330132595193734240173011794089996368781002659719923709386288794796763789488638421918218383128847332043562178882722019012115296233752702502490276432975655932801519931651525308777802379234011810730392003597059749806989095941024197663568564042561954780065989421988788951269221487714967912486150492058678748032133328888625182367166141403493556479201387050578569930470457379331968949108515503310174469502362874016858948906572172826992746013893500166983401440327053889206067294199220221765603912017702112310478139428687872744327561297121139718685858275155824033786784780731113560674825658207360938447462849845876666178214898745195322405763822974599835264279087806643290527066902781066561179357106190258761765991746530915183995850368565884122451880899469743022637409868422571346192461607589829621029352873704192604534464050739486469412828234646823108810044849352502104695186099687740436098833047354322036123671420326362985924340809602866633766428207483887434667813276241494945954729626796115509969665129465481031626088907438894274020146528186845074092591003604724207838547244472490222859790966223732591620027040770436905802310767865643478977420372157270737892452238939491030805165865443490697841734966320629779804934114036740216639121744585011259026165312229400634692382568169010078040672625070898212084725796891616787380280572161893047061483568105735414495916824402223631791479095242687914083708697093381844871675217025009436308702114476853538392640273176303145208599047434673955477464825396926389697555820862211591968046817840976776382062538987472958395734761462123655691493839556261898171961827504285134550502955117756716193775386685524490492214192058521067525143655750697560737398861544914463679482998960926747413201928514935332576677917586315692401493578418117334846793153498507294194317502087072147444763295792196964700979103739772416097446965390490892350652320898286397278447595986746122841491609588559434759518341823425502643177432959308172168562124910837838754543221928133965216135277867786702524583969837296914214709580308381943396369275373718777428024323111805657772753393188475784862773920492768031041411200465125002616749950167159379883117630151544642479426792809540669604143696639365952605158030867760300523185851397578435621024576810222205446651205223654101467162633412640229518397081464498685447401283700931631155774490338778223502830712670470751335503251465250560966139650819587482666901730129220887512344609464422756420538728506148169520739583313774758574338569433407969076778736300417147400995197966332135632628649764659392109784029737573916615218707825733968435884536107850639765202131341248874629160869379408805481637995281988216940097725581350010901680232472550032113395528973897186512689027423831511562595779959515604847791101542859015382432794916702771351848742583246683677729037102270379648326686470940654238224167273453812064182243684294224122395630183951182120582031751830005607384580038023748664660293284863454380943217813300455699034508362212867886686109391149126195223516432805868554286494690719491491595451405633409646209120286774028437197793394052862092789994647593619603017343221519656058978048961223352963899740139580047774902565691665449747335905645998531686910113447152398990236692807606577322614167174191279259930911448061218353237200266631689562808557333790568316590798215439285262111873859320807557757744120207423037119661948973286938392584207478156000067208834020917539389866018517919581832779876118406179908145574014719530107549322544075707023612326563120741128221354760124466231728784928824595679523621918832965994094412080125410023083674952561291670001062354554445142722275864327558697437208887965247113407523906296704636918333104074501840132764830491957718484335241300397273988066042512167133476536338913417873768867953538710839122354103809731001762972354637959156722781592760858225601233013437003912529665745424105671563113463524910781571738369934573806864866020497268519395735286892037941090956082484430110484572171651305867996326138056832463461963805281613916787933112409468395705357194418726378344614202160928197664745230210660042925624506732948924887802420124521404571405022070807324505146426622063017067106962445448821048525542845368408986311075486990026378029831674648551334014074056481344374646937277606847115964405810445488372726687595787924752476461227130491074190372282918165753480385294648235615434468619768474609134505794146899008361520692187064534649500990272979193251997765554371895010868544373384196740161504452741838309549314767093872903392680842969886271122122385240304396341389588932314541260205081350408825193628991589564791387898386118528801102804372072943104246952168482380000514783021648322566183926575835070620334317489766532387420131008851499509671141721969388021670991643687789639533363197891923140708725473127648211248263019278180734967264777759424098062530071195958309036509533057803615108790829087721265230624405622119164397502978432822628262626932425785905160682057175703056683204059811302809243858420974886178996519747260463861768429992926303760935725236867123365109156935072516592340165045118630232091137071718665400391465805555260070917077668176553989725481132406569438041446233989670714367619324549313498538767739730490984359571782987491932089396353399612707048502874144849881253815083422357181737001306825882273405603295488082409005085494026811175659753225724526913577994049104290680780330099273115139721508792988708217894693620528957087579901532645729716636507718434135612230272144246503844473024794476178131723953698864262077345439977422288859564118427193317458477341549524350922995771914437701997857150471897631958235075731892960803767148781522816651226448549104610155135230227865115481749227602817710930455590036518538439868523597196805163301806150091160758323694274217797727163768032251207530502999152083446241692216407182959924330650320566503772746232718951125098936384962232879795865294913599159616894129027321998040171913275810516045656633554966256987641857793245120395358561255076848022245164682033663329801170595439329129855919932327496162623881927703307764507935301950554289232964562282830248208614140123719645808823450091814117364830704669789962322875352853918071109996640702322759273106311547255943825962217586442318797960456852748005746381294989740507732686215462325395977511313952040919398208836836985410472114878112385964534252131855294731486595694224120262082520878011999191605641737767102570988158121829232171966216019464052064875128450065382008433593628329805977273132526815110060047756146957342145932602114822287388109676400473057084336500743614125515071699491701097995737028251736510451326942319646121560720875801735729123662188129989904578340114175839974752499832437191345833269173761942366317741818933538820564692657176976866015204427254387622315477030245539440836386336817440940007559686749974400994845787987209164373014679800398738264268795325630896173082532701570601267489631087365437022730396519771068040541686294303815838695350799492165370999115592001396624647921401503742646077655070734697344684227916672320410093163639194454723074776504030345712736290750341158188788093746682327901119061179405759804357383963014488735492476832617623651293226502872599296606245579861176561795638584961022098289003187447864866944432210456362993891772650141174888608926363371374266925905106486792599226608571562099704854769972098449071057091393606308734762515540365592171616827763630488495464338221824601961683490730869111077650017681594644098303264196493864883813721197884857193040154338650838268947040070057561586020634115538974343274528055402820684214063944129701782053281867618691554787613384107746511277335156142357754948423918331233630335384284475563953710618335922054645351824097501318844600114878612382300654540970522674092361105464445054395441921252284511889585032491995931209369396718446168740148944116150355016439138898327188978704719616886836058258251983182100998807198844533540242690949728258487521969870021487818559247052557384033601280500405940654274743730410662415117638569481851663362896100719042773155062244665716883838092371737940913165568133322105879988325186429842647571806034664051488582067153570256399416611954199769124106915337045973189253934918403439308523590399948031839767310825619754539402884530318013570185667984053634286123781189440304271497973662193176682430561298522950359528258721106635884244890188013038409799013121812470010449500865314071446314935721425103724421959803775164953363589372334221537269414079185598507847113900811764855606849619475663843417673845706835414872639105651146187717940382385171825262048608153085810008891552957037838422546842716818892756589435511099335977333917363863900564187126585537411493372347898727524686992811902688834705938311875240358989531144296957934388629785999916666401016226902047805044450889356389072607172946255950846552923634571317818502282400293238511846689066298397016340405080080696630262156747374701233097198859926290762235036162845812981787574141719450475628131807625631251652639815292494286377742787449685538034410952534725457061345312446790935863930183947384830175122565078336716417412693904511387779293235709941298381981342566202591584705675711949772750415510851099687350354370784304953091351825716875047196774379829056329902014279380608698913110471726314128512728855472955747094291892486710312329165027805985545283469626684656466718730913211872832336111437198967745508530137671837133870049890271322892076302940622848297152722540580861854751540978820853956040713174938495682634102816144237540977690896026451501371315791739481380715809568201100793549132992086244454311062827719068423330861379586154462126097923610851220236508666879070713854367954608034882947348324972138480843986624457596826950677656203670930234301716697343552029703243353880952804170100911980862169481047169689186488432623537596071562205611151916192430289217774936816938213884717570599337979076266809006344280298616811349857080042271600545808305245487012957623460315705454637282088144040510808827116391473568369730484888519558518039875832240142023485609055283238332670146139357618496668394104549921174169339837199908014580934228425809816537239750278705726428706570781956298616882108537066082880193270189449048077603958508276540694226869998611758873701086851917565831002436554540288138368490301553911411534232380069530035917151534935260306836867988725467307188393125252574847924676588371146813738519525914494503532678730826845506092329778328299704890881195971975478702860395087423051547713521176074015888326211784972721867828858975745945431395884360323409584408339081041144418728780893654435171038177275993381071956981954562631521510008122399947450223613883438005451324562544691141539441240647092706207076624079793950968943212754051393346300587015857170902475290440387790291431745515597537759693499243833217224251370049544697516493969848268450905088168936058465677664344711066738460057536258412446038576756746005535299961471130742346431808815422894179920235252005610233684271628977042453828342724403088816258290612112806297863173985610611035229042498860934442773629315260724335938779539913682483977522021491915598693743274711566213514236934969056894815493366446825264247859056667373238052859947039880076064157814188904042561736936555362076223720640531987431827559594958817083889627015415669249351012800988682651353953090997206623214863103907139699547981421402775557486500806339094307842340569021946610947290522462686907619925602083326948598322943487965453287437022526250481273626312817752267495165748274508349610829108218561111125032737094274129735336710024232116530990884623172047164159037387175110250056031760484351848809498011401308284022068456907060496178125596859763494366773320743150297820419771699737770320943937202046924447912262139367548977385482869405914039513684524539055479216281280840252440424137721026623135673460421849982484907681456949093668075029155062940423240476291152871888397778885418514801484402397917799919315551808116795892567235536077099500275466896545854112956505815378110995454764585648737592753971090190575778680116125902870406578470014914007180493501902875912243742096613332450889013668985407564462647817814924155711866042026989858755014587989495439424725804857436845916186616783436091346818107710924720727454359792289296781068368565550202282804217217465219424334647694793867904426013560039230655244203619574440287554844592963393494373199758215197881295105958634939577537443681127335311183782366600351364396901391880938257944904487331047355022184688953198918932498711543032990267595151464017048922689353506428935456220055226170665581036334565961404207822963636139956615902430209338486701394100911114815983291235366868912204058300208800252832014039417814421150537675903110652819427054566189985303647951536239825827728463864947083284482024911260918599152570556667696364871856892792941232298236310433407752343386429003218044388555126547941237954104737305760068183205400020440748199492463867515378715425076978832929538710801366346250928969880564448226252800457652213776031676413469348816444304399808601155280092675555936241996356213233312939686050523822994001260833505014463101594109850437658658102258422816029648248166429607894012899571839291953675768323026361213474463973786852598980961372955903797021828153368409149941371567681175961924648275468262245542609373883519814388541925600087004838811420551703139450811780951337356935206342858821294695352856334825812441772282162867697165015061145159138092538991439762528976684407159573987894128969669327158680457500702465391641623605116288346235068963094529276905961525036765047415612577660359260712669343503233692136619636730207386502613427984058222153165015744439131446868966138824992023899145191736697767340871159478127516942550155054109857268225972779505157707190962244474846991163385812096746905322896174272570352454816697632547731574740769328706964561438274353585208897913340826355764421817731614802833108323420451881441745937195478623749161346224089819299943118164788490297757527305012286008119425510711037759176763647830489044489705550914123065211173272423578672362759798631078309053607852111804904462650923516982244164424736707456280064785099462765846844559917475640664277799163394873457218900070298869072893402077937567780817444572741749181952079779325345725259275766393745700777713808443956995311466319429423335165429509690115766817977619317343164525155066648748296399189826911638607936741373649667980730317977550548577267634760926139617289045396520916376048798802681837783479458357002626399187776085844340170825618420676734770538358171064043267469259726736966625166237464496202750791097274776228086557277608575745371210328415715387541377763313025921929783402406713318071313898926771455998268388050599412793631160420294197575127203230754337014052400083898373626395632760928525342349911027257071457023947858083657283484083274807530805304167000201529038149231007532226149578969402796689049624317600857807757803401523943680456164292455251212270774508009980681048839991501071258509778414421353730426644346533649843856911526860428878728233111628262679745392724641879591423232962244476762729486769005131038020148557328637222210665827057087428653952534371002532101177887593346773322939571292911318806174325475070419513640621583790295626200784601096088705058315799572636319884853742950665248651729301652047564077262429323437469487646693119066303113346580656323018471978106211763736249900311980715566106937470531911042858123432477438519495962742272638636020678363627697438016746135115097345542417579061999186595720465181906271871121119597239300213309520030047378679799575009106991287930735268098222649863678338592865842088182855931221765390076103723383329885088206088804972931159293069142992199326468313504270796607782235280127286060367238938864121720713718679272468849701048190741365943733058201675656972856469971010465596059705520623711827322162374348997201000948751782476808710644590200842934056091781284560050155938585344842852047162030745792614973138944675239105466726237220228200387335753708778662127775790952583649073898453488901584930693385040461832714334766985517033145400375192236876525937205664491833553509743609895450303444476474991868777075454632733921294315176173182239868564048445072412304053104027620352829050876029582859735957884325232190318125953594946109012068778626482192510130894357054798226864545811719044276814162962010712034270398617997392735106412807601360141472335390397770931318832529429473926073166262216639781263039843458616375529819228560572348382109732782300779286887679081799431378813482648393994417270006798842062594900608767744446093198043546000249061262359772252191420688997384263395202112224137610467994884448161894203553257517943887158816528797021775696940856735594685597501025470498170385111565384484367966051506694764234412933861629846779138136462774563594705111275775029963689225210360418241045525259370438086152606996647430491501483371600678253323102499596767053836588858221521004804997672260195128120080239249710682419823608478619027492972187735140110225390492948628145095825383248813055823745851012769998551652171021281388566701142342152497976718459742402420980247340453754861899761888529826360567643820792968421680475144901211454952863613185853365470203001811099581570828560394979248753003703209057141000182324552438799761876254869170002710071452133010842135803520468413685482705931753389247958534165770632017676199311295065642697385674528554080383559581744185500122173590901286524886665158907378808944876032998019237151616999708327116196700999067776487276614161227318903600454326968103434799110695018986928527626835136062325880391423492608113211752219052393148810776811192683028521139042588020586509668965626206738492115310717677928277953426224332791389885029749341121978509372650884248152275075899040367458443146911545055426227552293980209791787919809531327183679711314792201733417497107747754315935039119256061505568161

The product itself has 25,044 digits.