素数階乗とは、素数と階乗のカバン語である。 \( p_n \) までの素数階乗とは次のように定義される（ただし \( p_n \) は \( n \) 番目の素数）[1]。
\[ p_n \# = \prod^{n}_{i=1} p_i \]
また、少し複雑な定義になるが、一般の自然数に対して拡張することもできる。
\[ n \# = \prod^{\pi(n)}_{i=1} p_i\]
ここで \( \pi(n) \)は素数の個数関数または素数計数関数であり、 \( n \) 以下の素数の個数を表す関数である。
これらを統合して簡単にすると、素数階乗は「 n 以下の素数すべての積」と言える。例えば、 \( 16 \# = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 = 30030 \) である。
第一チェビシェフ関数により、素数階乗の次のような関係式が導かれる。
\[ \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[p_n]{p_n\#} = e \]
ここで、e はネイピア定数である。
ユークリッドの定理
素数階乗は、素数が無限にあることの証明にも使われる。
- （証明）
- もし最大の素数を \(P\) とおくと、\(P \# + 1\) もまた素数となり、これは仮定と矛盾している。よって、背理法より、命題が証明される。
また、混乱するかもしれないが \(P \# + 1\) は素数であるとは限らない。\(P \# + 1\) が素数であると言えたのは \(P\) が最大の素数であるという仮定があったからである。