バード数

バード数は Chris Bird によって定義されたバードの拡張配列表記の古いバージョンを用いた巨大数である。さらに古い定義であるバードの矢印回転表記によるものについては、すでにホームページから削除されている。

矢印回転表記を用いた定義

バードの矢印回転表記を用いたバード数の定義は、すでに Chris Bird のホームページから削除されている。矢印回転表記は チェーン表記 を元に拡張したものであるが、それが理由となって配列表記と等しいバードの配列表記の方がはるかに強くなることをバード自身が証明した（バードの証明）。この証明を行ったことによりバードは矢印回転表記の拡張による巨大数の作成から方針を転換したものと考えられる。

なお、日本では、このバードの証明とは独立して、SS変換、多変数アッカーマン関数やs(n)変換がチェーン表記よりも強いことが検証されていた。

バードの古い配列表記

ネスト配列までは、バードの古い配列表記は新しい配列表記とほとんど同じである。

After that, Bird develops a notation using the negation sign. The old seperator \([1\neg2]\) is the same as [1\2] and [1/2]. The old seperator \([1\neg3]\) is the same as [1\3] and [1/3]. In general, the old seperator \([1\neg\text{A}]\) is the same as [1\A] and [1/A] for some array A. It turns out that the old seperator \([1\neg1\neg2]\) has the same level as [1\1\2] and the old seperator [[2]] that diagonalizes over negation signs like [2] diagonalizes over commas is the same as the new seperator \([1[2\neg2]2]\).

In general, the seperator [[...[[A]]...]] with n brackets is the same as the new seperator \([1[A\neg n]2]\). The < > notation is the angle bracket notation for these arrays.

バード数

バードの古い配列表記を用いて、このように定義する。

\(N = \{\underbrace{3<<<...<<<3>>>...>>>3}_{\{3<<<<<<<3>>>>>>>3\}}\}\)

\(\text{X}(0) = N\)

\(\text{X}(n) = \{\underbrace{3<<<...<<<3>>>...>>>3}_{\text{X}(n-1)}\}\)

バード数 = \(\underbrace{\text{X}(\text{X}(...\text{X}(\text{X}(N))...))}_{\text{X}(N)}\)

他の記法による近似

記法	近似
BEAF	\(\{7,\{7,\{7,\{7,7(X,X(1)2)2\}(X,X(1)2)2\},2(X,X(1)2)2\},3(X,X(1)2)2\}\)
超階乗配列表記	\(7![1([1])2]![1([1])2]![2([1])2]![3([1])2]\)
急増加関数	\(f_{\vartheta(\Omega^{\omega})+2}(f_{\vartheta(\Omega^{\omega})+1}(f_{\vartheta(\Omega^{\omega})}(f_{\vartheta(\Omega^{\omega})}(7))))\)
ハーディー階層	\(H_{\vartheta(\Omega^{\omega})(\omega^2+\omega+2)}(7)\)
緩成長階層	\(f_{\vartheta(\Omega_2^{\Omega}+1)}(f_{\vartheta(\Omega_2^{\Omega})}(f_{\vartheta(\Omega_2^{\omega})}(f_{\vartheta(\Omega_2^{\omega})}(7))))\)