カタラン・メルセンヌ数 (Catalan–Mersenne number) とは、\(c_{0}=2,\ c_{n+1}=2^{c_{n}}-1=M_{c_{n}}\)で再帰的に定義される数である。
一覧
カタラン・メルセンヌ数の最初の5つは素数である事が1876年までに判明しているが、6つ目以降に関しては未知である。
| \(n\) | \(c_{n}\) |
|---|---|
| \(0\) | \(2\) |
| \(1\) | \(3\) |
| \(2\) | \(7\) |
| \(3\) | \(127\) |
| \(4\) | \(170141183460469231731687303715884105727\) |
| \(5\) | \(\approx5.454\times10^{51217599719369681875006054625051616349}\approx10^{10^{37.7094}}\) |
\(c_{5}\)が素数であるかどうかは未解決であり、現代の素数判定法の能力を上回る大きさである。現時点では\(5\times10^{51}\)以下の素因数は発見されていない。
出典
- A007013 Catalan-Mersenne numbers: a(0) = 2; for n >= 0, a(n+1) = 2^a(n) - 1. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- Mersenne Primes: History, Theorems and Lists. Prime Pages.
- Catalan-Mersenne Number. Wolfram MathWorld.