巨大数研究 Wiki
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S変換とは、ふぃっしゅ数バージョン1およびバージョン2で定義された自然数と関数のペアから、自然数と関数のペアへの写像で、次のように表記される。

\begin{eqnarray*} S(m,f(x)) = (g(m),g(x)) \end{eqnarray*} この式の意味は、自然数\(m\)と関数\(f(x)\)の組が与えられた時に、S変換によって、自然数\(g(m)\)と関数\(g(x)\)へと変換される、ということである。ここで、\(g(x)\)は以下で与えられる。 \begin{eqnarray*} B(0,n) & = & f(n) \\ B(m+1,0) & = & B(m, 1) \\ B(m+1,n+1) & = & B(m, B(m+1, n)) \\ g(x) & = & B(x,x) \end{eqnarray*} また、\(g(m)\)は関数\(g(x)\)に\(x=m\)を代入して得られる。

\(B(m,n)\) の式はアッカーマン関数の式と似ているが、\(B(0,n) = f(n)\) の箇所が異なっている。初期に与える関数が大きいと、さらに大きな関数が生み出される。

S変換と3変数アッカーマン関数の比較

多変数アッカーマン関数を3変数 \(A(i,m,n)\) にして、さらに変数iをAの添字にすることで、

\begin{eqnarray*} A_{0}(0,n) & = & n+1 \\ A_{i+1}(0,n) & = & A_{i}(n,n) \\ A_{i}(m+1,0) & = & A_{i}(m,1) \\ A_{i}(m+1,n+1) & = & A_{i}(y,A+{i}(m+1, n)) \\ \end{eqnarray*}

となる。一方、S変換の式はS変換のi回目を

\begin{eqnarray*} S_{i+1}(0,n) & = & S_i(n,n) \\ S_{i}(m+1,0) & = & S_{i}(m, 1) \\ S_{i}(m+1,n+1) & = & S_{i}(m, S_i(m+1, n)) \\ \end{eqnarray*} と書くことができ、\(A_{i}\)と\(S_{i}\)は \(A_{0}(0,n) = n+1\) の式を除いて完全に一致する。したがって、S変換の本質は3変数アッカーマン関数であり、S変換を繰り返すことは3変数アッカーマン関数の1番目の項に1を足すことと同じことである。

S変換を繰り返す計算

ふぃっしゅ数バージョン1とバージョン2では、[3,x+1]にS変換を繰り返すので、[3,x+1]にS変換をi回繰り返した時に得られる関数を \(S_{i}(m,n)\) とする。S変換の1回目は、

\begin{eqnarray*} S_1(0,n) & = & n+1 \\ S_1(m+1,0) & = & S_1(m, 1) \\ S_1(m+1,n+1) & = & S_1(m, S_1(m+1, n)) \\ \end{eqnarray*}

となる。つまり、\(S_1(m,n)\) は2変数のアッカーマン関数と一致する。3変数アッカーマン関数は \(A_0(0,n) = n+1\) であるから、3変数アッカーマンとの比較では

\begin{eqnarray*} S_{i+1}(m,n) = A_{i}(m,n) \end{eqnarray*}

となる。次に、この関数に 3 を代入することで、

\begin{eqnarray*} s_{1}(3,3) = A(3,3) = 61 \end{eqnarray*}

と計算されるが、これは

\begin{eqnarray*} s_{1}(3,3) & = & s_2(0,3) = s_2(0,s_1(1,1)) \\ & = & s_2(0,s_2(0,1)) = s_2(0,s_2(1,0)) \\ & = & s_2(1,1) \end{eqnarray*}

と計算することができる。したがって、S変換の1回目は

\begin{eqnarray*} S :[3,x+1] → [s_2(1,1),s_1(x,x)] \end{eqnarray*}

と書くことができる。同様に計算すると、S変換をn回繰り返すSnは、

\begin{eqnarray*} S^n :[3,x+1] → [s_{n+1}(1,1),s_n(x,x)] \end{eqnarray*}

と書くことができ、3変数アッカーマン関数を使うと、

\begin{eqnarray*} S^n :[3,x+1] → [A(n,1,1),A(n-1,x,x)] \end{eqnarray*}

となる。このとき、初期値[3,x+1]を、3変数アッカーマン関数で表すと、

\begin{eqnarray*} S^n :[A(0,1,1),A(0,0,x)] → [A(n,1,1),A(n,0,x)] \end{eqnarray*}

と書くことができる。

動画

出典: 【ゆっくり解説】 ふぃっしゅ数 (前編) 

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関連項目

日本の巨大数論

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