q-階乗(q-factorial) とは、階乗関数のq-類似である。.[1]\([n]_q!\) や \(\mathrm{faq}(n,q)\) と書き、次のように定義される:
\[[n]_q! = \prod^{n - 1}_{i = 0} \left(\textstyle\sum^{i}_{j = 0} q^j\right) = q^0 \cdot \left(q^0 + q^1\right) \cdot \left(q^0 + q^1 + q^2\right) \cdot \ldots \cdot \left(q^0 + q^1 + \ldots + q^{n - 1}\right)\]
他の全てのq-類似と同様に、\(q = 1\)は普通の階乗である。
q-階乗と同様に、q-べき乗も定義できる:
\[e^x_q = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{x^i}{[i]_q!} = \frac{1}{[0]_q!} + \frac{x}{[1]_q!} + \frac{x^2}{[2]_q!} + \frac{x^3}{[3]_q!} + \cdots\]
q-三角関数は\(\sin_q x = \frac{e^{ix}_q - e^{-ix}_q}{2i}\)、 \(\cos_q x = \frac{e^x_q + e^{-x}_q}{2}\)、…となる。
値[]
| n\q | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 3 | 6 | 21 | 52 | 105 |
| 4 | 24 | 315 | 2080 | 8925 |
| 5 | 120 | 9765 | 251680 | 3043425 |
出典[]