N成長階層

n成長階層 は2013年にAetonによって考案された成長階層表記で、急増加関数の応用である。^[1].

定義

• \([m]_0(n) = m\times n\)
• \([m]_{\alpha+1}(n) = [m]^{n-1}_\alpha(m)\)、ただし \(n=1\)のとき、\([m]_{\alpha+1}(1)=[m]^0_\alpha(m)=m\)とする。
• \([m]_\alpha(n) = [m]_{\alpha[n]}(m)\)、ただし\(\alpha\)は極限順序数で、\(\alpha[n]\)は\(\alpha\)に対する\(n\)番目の収束列であるとき。

ここで\(m=10\)であれば、「10成長階層」となる。同様に、「3成長階層」、「16成長階層」、「グーゴル成長階層」といったものも可能である。

ただし、\(m=n\)である場合は「対角的n成長階層」と呼ばれ、表記が以下のように変化する。

• \((N_\alpha(n) = [n]_\alpha(n))\)
• \(N_0(n) = n\times n\)
• \(N_{\alpha+1}(n) = N^{n-1}_\alpha(n)\)
• \(N_\alpha(n) = N_{\alpha[n]}(n)\)

例

この表記法は矢印表記および配列表記に近似、ではなくぴったりと一致する。しかしこれが理由で、\(m=2\)かつ\(\alpha\geq\omega\)である場合は、この関数は大きくならない。

• \([16]_4(8) = 16\uparrow^4 8\)
• \([10]_{\omega+1}(100) = \{10,100,1,2\}=\) コーポラル
• \([3]^{64}_{\omega}(4)\) = グラハム数 \(\lesssim[4]_{\omega+1}(65) = \{4,65,1,2\}\)
• \([4]_{\omega^2+1}(64) = \{4,64,1,1,2\}<\) ふぃっしゅ数バージョン1

• \(N_\omega(3) = [3]_3(3) = 3\uparrow^3 3=\) トリトリ
• \(N_{\omega^2}(10) = \{10,10,10,10\}=\) ジェネラル

\([m]_{\omega^\omega}(n)=\{m,n+2(1)2\}\)となるため、BEAFにおける\(\{m,n(1)2\}\)以上のレベル、つまり\(\alpha\geq\omega^\omega\)のレベルでは、両者は一致しなくなる。

• \(N_{\omega^{98}}(10) = [10]_{\omega^\omega}(98) = \{10,100 (1) 2\}=\) グーボル
• \([10]_{\omega^\omega}([10]_{\omega^\omega}(98)-2)=\) グーボルプレックス \(\approx[10]^2_{\omega^\omega}(98)\)

出典

1. ↑ n-growing hierarchy

関連項目