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Natsugoh Natsugoh 4日前
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関数方程式a◦g=f◦aをfについて, およびgについて解く

概要

\(f: X \to X\) と \(g: Y \to Y\) の関数方程式 \(a \circ f = g \circ a\) は \(f\) が \(s\), 後者関数に等しいときアーベル方程式になる. これは写像 \(g\) の反復の一般化でもある.

今回私たちは \(g\) に \(a\) と \(f\) の式での表現を与える. これは \(f = s\) のとき, \(g\) の “逆の反復” とも言える.


  • 1 本文
    • 1.1 補題1.1.
    • 1.2 定義1.2.
    • 1.3 補題1.3.
    • 1.4 補題1.4.
    • 1.5 命題1.5.
    • 1.6 系1.6.
    • 1.7 例1.7.


PDF: https://drive.google.com/file/d/1xv8zsJ6yKCHYVA4LuDUDYF3ucYhunodd/view?usp=sharing \[ \newcommand{\U}[1]{\mathcal{U}_{#1}} \]




以降, \(\sim_f\) は写像 \(f\) に付随する同値関係を表すとする; \(a \sim_f b :\iff f(a) = f(b)\).


\(f\) は写像 \(X \to Y\) であるとする. \(X\) の部分集合 \(A\) について, 以下の4命題は同値:

1. \(A\) は集合 \(\mathcal{A} = (\{A \subset X \mid \text{\(f|_A\) is injective}\}, \subset)\) の極大元
2. \(A\) は集合 \(\mathcal{B} = (\{A \subset X \mid \text f(A) = f(X)\}, \subset)\) の極小元
3. \( A \ni x \mapsto f(…







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竹取翁 竹取翁 4日前
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nG配列変換

\(\newcommand{\str}[1]{\textcolor{orange}{\textrm{‘‘} \mathord{#1} \textrm{’’}}}\) \(\newcommand{\seq}[1]{\textcolor{cyan}{(} \mathord{#1} \textcolor{cyan}{)}}\) \(\newcommand{\$}{\mathop{$_{\lambda}}}\) \(\newcommand{\ad}{\textrm{address}}\) \(\newcommand{\leng}{\textrm{length}}\) \(\newcommand{\cts}{\textrm{convert}}\)


  • 1 概要
  • 2 \(\textrm{nG}\)配列変換
    • 2.1 前提
    • 2.2 表記
      • 2.2.1 全体集合
      • 2.2.2 組の略記
      • 2.2.3 組から文字列へ
      • 2.2.4 表記集合
      • 2.2.5 \(0\)の列
      • 2.2.6 自然数の形式化
    • 2.3 写像の定義
      • 2.3.1 \(\textrm{map}\)
      • 2.3.2 置換
      • 2.3.3 組から加法へ
      • 2.3.4 \(\textrm{nG}\)配列変換


nG数列変換というものがあります。
多変数配列を数列に変換する写像です。

多変数配列を2変数配列へ変換する写像として再定義してみました。




\(\mathbb{N}\)を非負整数全体の集合とする。
各\(\lambda \in \mathbb{N} \setminus \{ 0 \}\)に対し以下を定義する。
\(\str{}\)で囲まれた部分は文字列として扱う。
\(*\)を文字列の結合演算子とする。



\(\str{0}\)と\(\str{+}\)と\(\str{\psi}\)と\(\str{(}\)と\(\str{,}\)と\…












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Warlter545 Warlter545 4日前
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ワルターのμ関数

ワルターのμ関数とは、Warlter545が考えている関数である。


工事中です

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Warlter545 Warlter545 9日前
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X数列

X数列とは、Warlter545が考えた数列である。


  • 1 定義
    • 1.1 X数列
    • 1.2 X数列関数
    • 1.3 X数列数



X数列とは、非負整数のリストのことである。与えられたX数列\(S\)と非負整数\(n\)に対し、非負整数のリスト\(S[n]\)を以下のように再帰的に定義する。ただしここでは\(S\)を\((S_1,…,S_k)\)(\(k\)は非負整数、\(S_1,…,S_k\)はいずれも順序数)と表す。

  • \(S\)が空列の場合:\(S[n]=n\)
  • \(k\)が1以上の場合:
    • \(S_k\)が0の場合:\((S_1,…,S_{k-1},S_k)[n]=(S_1,…,S_{k-1})[f(n)]\)
    • \(S_k\)が\(S’_k+1\)の場合:\(S[n]=(G,\underbrace{B\frown B\frown…\frown B}_n)[n]\)
      ただしここでの\(G\)と\(B\)は、
      • \(S_k\)が\(k\)未満の場合:\(G=(S_1,…,S_{k-S_k},B=(S_{S_k},…,S_k-1)\)
      • \(S_k\)が\(k\)以上の場合:\(G=(),B=(S_1,…,S_k-1)\)
    • \(S_k\)が0でない極限順序数の場合:\((S_1,.…,S_k)[n]=(S_1,…,S_k[n])[n]\)

\(S[n]\)の定義は以上である。


X数列関数とは、順序数\(k,\alpha\)に対して、自然数から自然数への関数を定める順序数による関数である。以下のように定義する。

  • \(k\)が0の場合:
    • \(\alpha\)が0の場合:\(X^0_0(m,n)=(m)[n]\)
    • \(\alpha\)が\(\alpha’+1\)の場合:\(X^0_{\alpha’+1}(m,n)=X^{m^n}_{\alph…






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Warlter545 Warlter545 10日前
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Xixx

Xixxとは、Warlter545が考えた数である。


  • 1 定義
    • 1.1 X関数
    • 1.2 i関数
    • 1.3 Xixx



X関数は順序数\(\alpha\)に対して自然数から自然数への関数を定める順序数による関数である。次のように定義される。

  • \(\alpha\)が0の場合:\(X_0(n)=n^n+1\)
  • \(\alpha\)が\(\alpha’+1\)かつnが0の場合: \(X_{\alpha’+1}(0)=X_{\alpha’}(1)\)
  • \(\alpha\)が\(\alpha’+1\)かつnがn’+1の場合: \(X_{\alpha’+1}(n’+1)=X_{\alpha’}^n(X_{\alpha’+1}(n’))\)
  • \(\alpha\)が0でない極限順序数である場合: \(X_\alpha(n)=X_{\alpha[n]}(n)\)

また、\(X^k_\alpha(n)\)については、

  • kが0の場合:\(X_\alpha^0(n)=n\)
  • kがk’+1以上の場合:\(X_\alpha^{k’+1}(n)=X_\alpha(X_\alpha^{k’}(n))\)

とする。


i関数は順序数\(\alpha\)に対して自然数から自然数への関数を定める順序数による関数である。次のように定義される。

  • \(\alpha\)が0の場合:\(i(0,n)=X^n_\omega(n)\)
  • \(\alpha\)が\(\alpha’+1\)かつnが0の場合:\(i(\alpha’+1,0)=i(\alpha’,1)\)
  • \(\alpha\)が\(\alpha’+1\)かつnがn’+1の場合:\(i(\alpha’+1,n’+1)=i(\alpha’,i(\alpha’+1,n’))\)
  • \(\alpha\)が0でない極限順序数である…





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Hexirp Hexirp 11日前
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実数のサブクラス

私は、ときどき実数のサブクラスについて考える。

計算可能実数という実数のサブクラスがある。これは、我々が普段使う殆どの定数と関数を包含するサブクラスである。しかしも、無限に近似することが可能である。また、これは構成主義数学での実数そのものである。しかし、その大小関係は計算可能ではない。

代数的実数という実数のサブクラスがある。これは、 \( \sqrt{2} \) や \( x^5 + x - 1 = 0 \) の根などを表現できる。それにも拘らず、その大小関係が計算可能である。しかし、 \( \pi \) や楕円積分などの定数と関数を包含しない。

周期という実数のサブクラスがある。これは \( \pi \) などを表現できる。しかし、その大小関係が計算可能であるかそうではないかは未解決問題である。

では、代数的実数よりも広いサブクラスで、その大小関係が計算可能であるサブクラスがあるのかどうか、そんなことを考えていたりする。

\( \sqrt{2} \) や \( \pi \) などの実数は、無理数でありながら、極めて初期から其の存在が知られていた。それは、作図に関連しているからである。 \( \sqrt{2} \) は其の一辺の長さが \( 1 \) である正方形の対角線の長さとして現れるし、 \( \pi \) は其の直径が \( 1 \) である円の周長として現れる。

作図可能な実数というサブクラスがある。これは有理数から始めて四則演算に加えて正の平方根をとる操作を使って表現できる実数のことである。しかし、ここでいう「作図」とはお互いに 1 だけ離れている二つの点がある状態から次の複数の操作を行うものである。

  1. 任意の点 A を選ぶ。任意の点 B を選ぶ。点 A と点 B を通る直線…
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Warlter545 Warlter545 14日前
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ワルターの角括弧表記

ワルターの角括弧表記とは、Warlter545が考えている表記である。


以下のように再帰的に定義する。

  1. \([][n]=n\)
  2. \([a+1,_1X][n]=[a,_1X][f(n)]\)
  3. \([X,_m0][n]=[X,_m][n]\)
  4. \([X,_10,_1b+1,_1X][n]=[X,_1n,_1b,_1X][n]\)
  5. \([X,_1c,_{d+1},X][n]=[X,_1\underbrace{c,_dc,_d…c,_d}_n,X][n]\)

1に適さない場合は2、2も適さない場合は3、3も適さない場合は4、4も適さない場合は5、というようにチェックしていく。
4と5は左からチェックしていき、最初にルールを満たしたところのみ計算する。
また、\(X\)は0個以上の0以上の数とする。

\(f(n)=n+1\)とし、\(F(n)=[0,_11,_22,_3…n,_{n+1}][n]\)とした時の\(F^{10}(10)\)を角括弧数とする。


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Kanrokoti Kanrokoti 14日前
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EBO超え入門

英語版


  • 1 概要
  • 2 なぜ3変数?
  • 3 それぞれの展開の違い
  • 4 基数への対応
  • 5 項の共終数


スマホからご覧になられている場合は、ブラウザのデスクトップ表示に切り替えると数式が表示されるようになります。また、広告が煩わしい場合は、ログインして個人設定から非表示にできます。

EBOの先の世界を紹介します。ここでは、EBOを超える表記としてオメガ不動点3変数ψと3変数ψを扱います。オメガ不動点3変数ψは、拡張Buchholz OCFに伴う順序数表記をシンプルに3変数に拡張してEBOを超える表記です。3変数ψは拡張Buchholz OCFに伴う順序数表記を自然に3変数へ拡張してEBOを超える表記です。

したがって、読者はEBOCFに伴う順序数表記について十分理解しているものとして話を進めます。



まず、そもそもなぜ両表記とも3変数なのでしょうか。それは、拡張Buchholz OCFに伴う順序数表記が2変数の表記であるということが関係しています。

\(\psi_a(b)\)には\(a\)と\(b\)の2つの変数があり、極限形が\(\psi_0(\psi_{\psi_{\psi_{\ldots}(0)}(0)}(0))\)となっています。ここで、下付きになっている変数をカッコの中に入れてみるとどうなるでしょうか。

\(\psi(0,\psi(\psi(\psi(\ldots,0),0),0))\)

ここで、拡張のための3変数目を添字に改めて導入してみましょう。

\(\psi_0(0,\psi_0(\psi_0(\psi_0(\ldots,0),0),0))\)

非可算部分である\(\psi_0(\psi_0(\psi_0(\ldots,0),0),0)\)に注目すると、よく見たことがある形になっているのが分かります。つま…





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カフバン カフバン 15日前
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Coq上での超限急増加関数表記の実装

本記事ではp進大好きbot氏による「超限急増加関数表記」をCoq上で定義します。

またコードの制作にあたり、Coqをおすすめしていただいたdamastein氏にはこの場を借りて感謝申し上げます。




\(\mathrm{Rnat}\)は自然数上の関数を反復する関数。

\(\mathrm{Tree}\)は\(\mathrm{Tree Ordinals}\)と呼ばれる、木構造をした順序数である。といっても順序数そのものではなく、順序数との対応があり、 \(\mathrm{TO}\)は\(0\)。 \(\mathrm{TS} a\)は\(a+1\)。 \(\mathrm{TL} g\)は\(g\)を基本列に持つ極限順序数に対応する。

\(\mathrm{succ}\)はTree上の後者関数。

\(\mathrm{RTree}\)はTree上の関数を反復する関数。

\(\mathrm{natural}\)は自然数をTreeに埋め込む関数。(超限急増加関数表記での\(S\)に対応)

\(\mathrm{eval}\)はTreeを自然数に変換する。(超限急増加関数表記での\(Eval\)に対応)

\(\mathrm{omega}\)は順序数\(\omega\)に対応する。

\(\mathrm{finite term}\)は有限順序数かどうかを判定する。(超限急増加関数表記での有限項に対応)

\(\mathrm{FGH}\)は急増加関数。

\(\mathrm{TFGH}\)は超限急増加関数表記(とくに\(f_{a}(n)\))に対応している。

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Warlter545 Warlter545 16日前
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ワルター数バージョン5

ワルター数バージョン5とは、Warlter545が考えている数である。


  • 1 定義
    • 1.1 W変換
    • 1.2 W関数
    • 1.3 WW関数
    • 1.4 ワルター数バージョン5



W変換を以下で定義する。

  • \(\alpha\)が0の場合:\(WM_0(f(x))=g(x)\)
  • \(\alpha\)が\(\alpha'+1\)の時:\(WM_{\alpha'+1}(f(x))=(WM^{100}_{\alpha'}(g(x)))^{f(100)}\)

ただし\(g(x)\)は以下で与えられる。

  • \(\alpha\)が0の場合:\(w_0(n)=f(n)\)
  • \(\alpha\)が\(\alpha’+1\)の場合:\(w_{\alpha’+1}(n)=w_{\alpha’}^{w_{\alpha’}(n)}(n)\)
  • \(\alpha\)が0でない極限順序数である場合:\(w_\alpha(n)=w_{\alpha[n]}(n)\)
  • \(g(x)=w_{\omega+1}(x)\)

また、\(w^k_\alpha(n)\)については、

  • kが0の場合:\(w^0_\alpha(n)=n\)
  • kがk’+1の場合:\(w^{k’+1}_\alpha(n)=w_\alpha(w^{k’}_\alpha(n))\)


\(f(x)=x^2\)とした時の\(WM^{100}_{100}(f(x))\)で出力された関数をww関数と呼び,\(ww(x)\)と表記されるとした時、 W関数を順序数\(\alpha_m,\alpha_m-1…\alpha_1,\beta\)に対して自然数から自然数への関数を定める順序数による関数とし、次のように定義される。

  • \(\alpha_m\)が0の場合:\(W(\beta)_{0,\alpha_{m-1}…\alpha_1…





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Warlter545 Warlter545 17日前
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ワルター数バージョン4

ワルター数バージョン4とは、Warlter545が考えた数である。


W数列とは、非負整数のリストである。与えられたW数列と非負整数に対し、非負整数\(S[n]\)を以下のように再帰的に定める。ただしここでは\(S\)を\((S_1,S_2…S_{k-1},S_k)\)と表す。

  • \(S\)が空列\(()\)である場合: \(S[n]=n\)
  • \(S\)が空列\(()\)でない場合:
    • \(S_k\)が0の場合: \(S_1,S_2…S_{k-1},0[n]=S_1,S_2…S_{k-1}[f(n)]\)
    • \(S_k\)が1以上の場合:
      • \(i
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Warlter545 Warlter545 17日前
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ワルター数

ワルター数とは、Warlter545が考えた数のことである。


  • バージョン1
    • バージョン1.1
  • バージョン2
    • バージョン2.1
  • バージョン3
  • バージョン4
  • バージョン5
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Warlter545 Warlter545 17日前
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Test2

$\alpha$

\(\alpha\)

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Warlter545 Warlter545 17日前
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ワルター数バージョン2/ワルター数バージョン2.1

\(W(0)_{\alpha',ω}^n(n)\)に変更。

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Warlter545 Warlter545 17日前
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ワルター数バージョン1/ワルター数バージョン1.1



\(W_{\alpha’’’+1,0}(n)=W_{\alpha’’’,n}^n(n)\)から\(W_{\alpha’’’+1,0}(n)=W_{\alpha’’’,\omega}^n(n)\)に変更。


\(WW_{\alpha’’’+1,0}(n)=WW_{\alpha’’’,n}^n(n)\)から\(WW_{\alpha’’’+1,0}(n)=WW_{\alpha’’’,\omega}^n(n)\)に変更。

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Warlter545 Warlter545 17日前
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TEST

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Warlter545 Warlter545 17日前
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ワルター数バージョン3

ワルター数バージョン3とは、Warlter545が考えた数である。


W関数とは、順序数\(\alpha_m,\alpha_m-1…\alpha_1,\beta\)に対して自然数から自然数への関数を定める順序数による関数である。次のように定義される。

  • \(\alpha_m\)が0の場合:\(W(\beta)_{0,\alpha_{m-1}…\alpha_1}(n)=W(\beta)_{\alpha_m…\alpha_1}(n)\)
  • \(\alpha_o\)が\(\alpha_o’+1\)かつ\(\alpha_{o-1}\)が0の場合:\(W(\beta)_{X,\alpha’_o+1,1…\alpha_1}(n)=W^n(\beta)_{X,\alpha’_o,\omega…\alpha_1}(n)\)
  • 全ての\(\alpha_m,\alpha_{m-1}…\alpha_2\)が1以上かつ\(\alpha_1\)が\(\alpha’_1+1\)の場合:\(W(\beta)_{X,\alpha’_1+1}(n)=W^n(\beta)_{X,\alpha’_1}(n)\)
  • \(\alpha_m\)が0でない極限順序数である場合:\(W(\beta)_{\alpha_m,\alpha_{m-1}…\alpha_1}(n)=W(\beta)_{\alpha_m[n],\alpha_{m-1}…\alpha_1}(n)\)
  • \(\alpha_m,\alpha_{m-1}…\alpha_1\)の全てが0の場合:
    • \(\beta\)が0の場合:\(W(0)_{0,0…0}(n)=n+1\)
    • \(\beta\)が\(\beta’+1\)の場合:
      • nが1の場合:\(W(\beta’+1)_{0,0…0}(1)=…


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Warlter545 Warlter545 18日前
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ワルター数バージョン2

ワルター数バージョン2とは、Warlter545が考えた数である。


  • 1 定義
    • 1.1 W関数
    • 1.2 ワルター数バージョン2
  • 2 バージョン2.1



W関数とは、順序数\(\alpha,\alpha}^n(n)\)

  • \(\alpha\)が0でない極限順序数である場合:\(W(0)_{\alpha',\alpha}(n)=W(0)_{\alpha',\alpha[n]}(n)\)


W関数を使用して、ワルター数バージョン2を\(W(\varphi(1,0,0))_{\varphi(1,0,0),\varphi(1,0,0)}(100)\)と定義する。


ユーザーブログ:Warlter545/ワルター数バージョン2/ワルター数バージョン2.1

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Warlter545 Warlter545 18日前
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ワルター数バージョン1

ワルター数バージョン1とは、Warlter545が考えた数である。


  • 1 定義
    • 1.1 W関数
    • 1.2 WW関数
    • 1.3 ワルター数バージョン1
  • 2 解析
  • 3 バージョン1



W関数とは、順序数 \(\alpha, \alpha’\) に対して自然数から自然数への関数  を定める順序数による関数である。次のように定義される。

  • \(\alpha\)が0の場合:
    • \(\alpha’\)が0の場合:\(W_{0,0}(n)=n+1\)
    • \(\alpha’\)が\(\alpha’’’+1\)の場合:\(W_{\alpha’’’+1,0}(n)=W_{\alpha’’’,n}^n(n)\)
    • \(\alpha’\)が0でない極限順序数である場合:\(W_{\alpha’,0}(n)=W_{\alpha’[n],0}(n)\)
  • \(\alpha\)が\(\alpha’’+1\)の場合:\(W_{\alpha’,\alpha’’+1}(n)=W_{\alpha’,\alpha’’}^n(n)\)
  • \(\alpha\)が0でない極限順序数である場合:\(W_{\alpha’,\alpha}(n)=W_{\alpha’,\alpha[n]}(n)\)

また、\(W^k_{\alpha’,\alpha}(n)\)については、

  • kが0の場合:\(W^0_{\alpha’,\alpha}(n)=n\)
  • kがk’+1以上の場合:\(W^{k’+1}_{\alpha’,\alpha}(n)=W_{\alpha’,\alpha}(W^{k’}_{\alpha’,\alpha}(n))\)

とする。


WW関数とは、順序数 \(\alpha, \alpha’\) に対して自然数から自然数への関数  を定める順序数による関数である。次のように定義される。

  • \(\a…





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NAOKI数

NAOKI数とは清田尚暉が制作した巨大数である。NAOKI関数には5つのバージョンがあり、バージョンが上がるほど増加速度が大きくなる。

  • NAOKI関数バージョン1はクヌースの矢印表記を拡張させた巨大数です。
  • NAOKI関数バージョン2はコンウェイのチェーン表記を拡張させた巨大数です。
  • NAOKI関数バージョン3は急増加関数から少し着想を得て制作した巨大数です。
  • NAOKI関数バージョン4は多変数アッカーマン関数を拡張させた巨大数です。
  • NAOKI関数バージョン5は超階乗配列表記から着想を得て制作した巨大数です。

小文字のアルファベットはランダムな自然数を表している。


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Freighter-number Freighter-number 19日前
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弱コンパクトΨ関数


\( \newcommand\Lng{\textrm{Lng}} \newcommand\PopBack{\textrm{PopBack}} \newcommand\Back{\textrm{Back}} \newcommand\Replace{\textrm{Replace}} \newcommand\Times{\textrm{Times}} \newcommand\P{\Psi} \newcommand\Lim{\textrm{Lim}} \newcommand\add{\textrm{add}} \newcommand\ok{\bar{\omega}_K} \)


  • 1 概要
  • 2 弱コンパクトΨ関数
  • 3 有限列
  • 4 表記全体


弱コンパクトΨ関数を定義します。弱コンパクトΨ関数はFNOCF Ver.Weakly Compactを参考に、Hyper-Ψ関数を拡張した関数で、FNOCF Ver.Weakly Compactの本質的な挙動は持ったまま簡潔な表記になるよう構成しています。


有限列に関する記法をいくつか導入する。

各クラス\(X\)に対し、\(X^{< \omega}\)で\(X\)の元のみからなる有限列全体のクラス \begin{eqnarray*} \bigcup_{n \in \omega} X^n \end{eqnarray*} を表す。以下\(V\)で集合全体のクラスを表し、\(() \in V^{\omega}\)で空列を表す。

各\(a \in V^{< \omega}\)に対し\(\textrm{Lng}(a) \in \omega\)で\(a\)の長さを表し、各\(i \in \textrm{Lng}(a)\)に対し\(a[i]\)で\(a\)の第\(1+i\)成分を表す…





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Freighter-number Freighter-number 22日前
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Hyper-Ψ関数


\( \newcommand\Lng{\textrm{Lng}} \newcommand\PopBack{\textrm{PopBack}} \newcommand\Back{\textrm{Back}} \newcommand\Replace{\textrm{Replace}} \newcommand\Times{\textrm{Times}} \newcommand\P{\Psi} \newcommand\Lim{\textrm{Lim}} \newcommand\add{\textrm{add}} \)


  • 1 概要
  • 2 Hyper-Ψ関数
  • 3 有限列
  • 4 表記全体


Hyper-Ψ関数を定義します。Hyper-Ψ関数はFNOCF Ver.Hyper-Mahloを参考に、ω-Ψ関数を拡張した関数で、FNOCF Ver.Hyper-Mahloの本質的な挙動は持ったまま簡潔な表記になるよう構成しています。

横ネストを支配する表記となることを期待しています。


有限列に関する記法をいくつか導入する。

各クラス\(X\)に対し、\(X^{< \omega}\)で\(X\)の元のみからなる有限列全体のクラス \begin{eqnarray*} \bigcup_{n \in \omega} X^n \end{eqnarray*} を表す。以下\(V\)で集合全体のクラスを表し、\(() \in V^{\omega}\)で空列を表す。

各\(a \in V^{< \omega}\)に対し\(\textrm{Lng}(a) \in \omega\)で\(a\)の長さを表し、各\(i \in \textrm{Lng}(a)\)に対し\(a[i]\)で\(a\)の第\(1+i\)成分を表す。

クラス関数 \begin{eq…





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the way i understand BEAF

This is my own way of understanding the BEAF notation created by Jonathan Bowers, because this is my own understanding, I am very confused about what Jonathan Bowers means. I have watched and seen many explanations on YouTube and even on the SBISS Saiban website, but I still don't understand. What does that mean, I only understand about uparrow, graham function and recursive things, lots of recursive things

So the first thing I have to do is read and understand the opening to BEAF. I also read the SBISS Saiban article but still don't understand

I don't know why the word SBISS is all capitalized

so there are several notations used by jonathan bower in beaf i don't start from the bigger ones like memakopowwaompabghveycwhyu!!! whatever, I'll jus…

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Nayuta Ito Nayuta Ito 25日前
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UNOCF vs n-Mahlo

UNOCFの限界はn-マーロ基数に対応します。


  1. \( \operatorname{Ord} \)を順序数全体のクラスとする。
  2. \( \mathrm{Reg} \)を非可算正則基数全体のクラスとする。
  3. \( \mathrm{Mah} \)をマーロ基数全体のクラスとする。
  4. 順序数のクラス\( S \)に対し、\( \mathrm{min}(S) \)を\( S \)の最小元とする。
  5. 順序数のクラス\( S \)に対し、\( \mathrm{Lim}(S) := \{ \alpha \in \mathrm{Ord} \mid \forall \beta \in S \ \exists \gamma \in S (\beta < \alpha \Longrightarrow \beta < \gamma < \alpha) \} \)とする。
  6. 順序数のクラス\( S \)に対し、\( \mathrm{LimCap}(S) := \mathrm{Lim}(S) \cap S \)とする。
  7. 順序数のクラス\( S \)に対し、\( \mathrm{Inacc}(S) := \mathrm{Lim}(S) \cap \mathrm{Reg}(S) \)とする。
  8. \( \mathrm{Mh} \)をマーロ作用素とする。


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Science Release Science Release 27日前
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『 方廣大莊嚴經卷第四』の命数まとめ

このまとめを作成するにあたり、燈露さん (Twitter / YouTube) に多数の知識や資料提供を頂きました。この場を借りて御礼申し上げます。


拘胝から怛羅絡叉までは前の数の100倍であることが明言されているが、それ以上の数については具体的な量が不明である。


『阿毘達磨倶舎論』では、1由旬 (踰繕那) は8俱盧舎であり、1俱盧舎は500弓に等しく、1弓は1尋に等しい。1尋は6尺に等しいため、1由旬は\(\frac{10}{33}\text{ m}\times6\times500\times8\approx7.3\text{ km}\)である。『方広大荘厳経』においては、由旬と俱盧舎、および俱盧舎と弓の比率は異なるものの、由旬と弓の比率は同じである。

『阿毘達磨倶舎論』では「微塵は微塵が中心に1つ、それに接する上下左右前後に1つずつである」という説明から、7の倍数関係にあるものはこのような配列をしていると仮定する。つまり、大きい方は小さい方の3倍の直径を持つ。一方でそれより大きな値は、単純に直線に並べただけなことが読み取れるため、これは単純な倍数関係であると仮定する。

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Banana-Foolish Banana-Foolish 2月14日 (水)
0

バナヘキ数v2

計算機というか定義の本体はこちらになります


  • 1 表記
  • 2 順序など
  • 3 標準形
    • 3.1 限界関数
    • 3.2 標準系
  • 4 巨大数
    • 4.1 急増化関数
    • 4.2 命名


\( p\)と\( c\)と\( ( \)と\( ) \)と\( + \)のみからなる文字列の集合\( T \)と\( PT \)を以下のように同時に定める。

  1. \( 0 \in T \)である。
  1. 任意の\( s \in T \)に対し、\( p( s ) \in T \cap PT \)である。
  1. 任意の\( s \in T \)に対し、\( c( s ) \in T \cap PT \)である。
  1. 任意の\( ( s, t ) \in PT \times ( T \setminus \{ 0 \} ) \)に対し、\( s + t \in T \)である。

また、\( T \)の部分集合\( NT \) を以下のように定める

  1. \( 0 \in NT \)である。
  1. 任意の\( s \in NT \)に対し、\( s + p ( 0 ) \in NT \)である。

\( p( 0 ) \)を\( 1 \)、\( \underbrace{1 + \cdots + 1}_{1がn個} \)を\( n \)、\( p( 1 ) \)を\( w \)、\( c( 0 ) \)を\( C \)、\( p( C ) \)を\( M \)、\( p( M ) \)を\( W \)と略記する。


ここでは、https://github.com/Bananahexagon/googology/tree/main/bhex_v2/src


計算可能全域写像 \begin{eqnarray*} \Delta \colon \mathbb{ N } & \to & PT \\ n & \maps…





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Sirootooo Sirootooo 2月12日 (月)
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スタインハウスのメガの正確な値を求めたかった

スタインハウスのメガの正確な値を求めていきます。

※矢印表記での正確な値です。


「スタインハウスのメガ」とは、多角形表記で「円の中の2」と表記される数で、その大きさは矢印表記で \[10\uparrow\uparrow 257 < \text{Mega} < 10\uparrow\uparrow 258\] と近似されます。


※これ以降は角括弧での表記を使います。

「スタインハウスのメガ」\(= 2[5]\)なので、\(2[5]=256[4]=256[3]_{256}\)と表せます。

ここで、\(n[3]=n^{n}=n\uparrow\uparrow2\)であることを使って、

\[\begin{align*}n[3]_{m}&=n\underbrace{[3][3]\cdots[3][3]}_{m\text{個の}[3]}\\&=((\cdots(n\uparrow\uparrow\underbrace{2)\cdots)\uparrow\uparrow2)\uparrow\uparrow2}_{m\text{個の}2}\end{align*}\]

と表すことができます。

したがって、「スタインハウスのメガ」は\(256[3]_{256}\)である事を用いて矢印表記で

\[\text{Mega}=256[3]_{256}=((\cdots(256\uparrow\uparrow\underbrace{2)\cdots)\uparrow\uparrow2)\uparrow\uparrow2}_{256\text{個の}2}\]

と表すことができるのです。

ちなみに、\(256=(2\uparrow\uparrow2)\uparrow\uparrow2\)とできるので

\[\text{Mega}=(…



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Warlter545 Warlter545 2月12日 (月)
1

Λ関数

Λ関数とは、Warlter545が勉強中に思いついた関数である。


以下のように定義される。

\(\Lambda(f,\beta)=\text{関数 }f\text{ の}\beta+1{番目の不動点}\)

また、ブーフホルツのを使って\(\psi_0(\Lambda(\alpha=\Lambda(\alpha’=\Omega\uparrow^{\alpha’}\alpha’,\alpha),0))\)をワルター・ブーフホルツ順序数(WBO)と定義する。

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Warlter545 Warlter545 2月11日 (日)
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拡張LPrSS…?

例として、0,2[2,2] から始めます。まずは1番右の数字を探します。その数字をαとします。この時はα=2です。次に、αより小さい数で1番左の数を探します。その数をβとします。この時はβ=0です。その次は、α - β を求めます。これで出た数をфとします。今回は2 - 0で2なのでφ=2です。その次に、βのあとの全ての数字を大括弧で囲まれている数字の左の方の数(ζと呼びます)回くっつけます。くっつける時はφを足していきます。くっつけたあとは大括弧で囲まれている数字の右の方の数(ηと呼びます)から1引き、ζに1足します。これをηが0になるまで繰り返します。α=0の時は消して繰り返します。ηが0になった後は普通にLPrSSです。

0,2[2,2]
0,2,2,4,4,6[3,1]
0,2,2,4,4,6,6,8,8,10,10,12,12,14,14,16,16,18,18,20,20,22,22,24[4,0]
(ここからLPrSSです)


説明するのが難しいのでスクラッチで作りました。

https://scratch.mit.edu/projects/964635181/

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Freighter-number Freighter-number 2月6日 (火)
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ω-Ψ関数


\( \newcommand\Lng{\textrm{Lng}} \newcommand\PopBack{\textrm{PopBack}} \newcommand\Back{\textrm{Back}} \newcommand\Replace{\textrm{Replace}} \newcommand\Times{\textrm{Times}} \newcommand\P{\Psi} \newcommand\Lim{\textrm{Lim}} \)


  • 1 概要
  • 2 ω-Ψ関数
  • 3 有限列
  • 4 表記全体


ω-Ψ関数を定義します。ω-Ψ関数はFNOCF Ver.ω-Mahloを基にした表記で、FNOCF Ver.ω-Mahloで複雑になる部分の挙動を単純な挙動にしています。

FNOCF Ver.ω-Mahloの順序数表記ではないことに注意してください。

  • ユーザーブログ:P進大好きbot/高階記述不可能性の崩壊

定義の書き方はこの記事を参考にしました。


有限列に関する記法をいくつか導入する。

各クラス\(X\)に対し、\(X^{< \omega}\)で\(X\)の元のみからなる有限列全体のクラス \begin{eqnarray*} \bigcup_{n \in \omega} X^n \end{eqnarray*} を表す。以下\(V\)で集合全体のクラスを表し、\(() \in V^{\omega}\)で空列を表す。

各\(a \in V^{< \omega}\)に対し\(\textrm{Lng}(a) \in \omega\)で\(a\)の長さを表し、各\(i \in \textrm{Lng}(a)\)に対し\(a[i]\)で\(a\)の第\(1+i\)成分を表す。

クラス関数 \begin{eqnarra…





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Freighter-number Freighter-number 2月5日 (月)
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n-MFPψ関数の解析


\( \newcommand\add{\textrm{add}} \newcommand\append{\textrm{append}} \newcommand\zero{\textrm{zero}} \newcommand\len{\textrm{len}} \newcommand\Trans{\textrm{Trans}} \newcommand\TransT{\textrm{TransT}} \newcommand\TransS{\textrm{TransS}} \newcommand\TransM{\textrm{TransM}} \)

n-MFPψ関数の解析です。
期待している対応を書いていきます。証明はありません。実際にはズレるかもしれませんので、おかしい部分があったら教えて下さい。

n-MFPψ関数で定義されている略記の記号\($\)は省略します。



計算可能全域写像 \begin{eqnarray} \add : T^2 &\to& T\\ (s,t) &\mapsto& \add(s,t) \\ \end{eqnarray} を以下のように同時に定める:

\(\add_T(s,t)\)の定義
  1. \(t = 0\)ならば、\(\add(s,t) := s\)である。
  2. \(t \neq 0\)かつ\(s = 0\)ならば、\(\add(s,t) := t\)である。
  3. \(t \neq 0\)かつ\(s \neq 0\)ならば、\(\add(s,t) := s+t\)である。



\(r \in \N\setminus\{0\}\)に対する\(T,PT\)をそれぞれ\(T_r,PT_r\)とし、\((r,r') \in (\N\setminus\{0\})^2 ~ (r < r')…







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Warlter545 Warlter545 2月5日 (月)
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T関数

T関数とは、Warlter545がなんか思いついた関数である。


  • をワルター数とする。


誰かこれの成長する速さを教えてください…

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KawamoYurase KawamoYurase 2月5日 (月)
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ローダー数を理解しよう(1): プログラムの書き直し編

ローダー数はくそむずい。loader.cはBignum Bakeoffのエントリーであるため、512文字に収めるために悪魔のような書き方がされている。今回はとにかくloader.cを人類が読める状態に持っていくことを目標とする。プログラムの動作の内容には深く立ち入らない。


今回解説するプログラムはローダーのプログラムのリポジトリにあるが、Gwikiに記載があるloader.cはリポジトリには陽に含まれていない。リポジトリをクローンし、makeすることで出力されるreduced.cがそれである。

pair.cとpure.cを連結しfull.cを得る。 そのfull.cをperlスクリプトpure.plで変換することで得られるreduced.cがloader.cとしてエントリーされている。 pure.plは変数名の置換を行い、極限まで文字列を圧縮する役割を担う。 本質的な難しさはfull.cにあるとみて良いだろう。

今回はpair.cおよびpure.cの解説を行うことでloader.cの解説の代わりとする。 その前にC言語に関する知識を整理することから始める。


Cに真偽値型(bool)はない。代わりに(少なくともloader.cが扱う範囲では)0のみが偽の役割をし、0以外の全てが真としてふるまう。 たとえばif(a - b) { A; } else { B; }はa-bが0でないときにAが、0の時にBが実行される。

関係演算子などは偽のとき0に、真のとき1に評価される。 たとえば3 < 0は偽なので0、-1 0 ? a : b;はy > 0のときにxがaに代入され、y

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Freighter-number Freighter-number 2月4日 (日)
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n-MFPψ関数


\( \newcommand\len{\textrm{len}} \newcommand\append{\textrm{append}} \newcommand\zero{\textrm{zero}} \newcommand\replace{\textrm{replace}} \newcommand\add{\textrm{add}} \)


  • 1 概要
  • 2 n-MFPψ関数
    • 2.1 最大成分数
    • 2.2 記法


n-MFPψ関数を定義します。n-MFPψ関数は1-MFPψ関数を多変数化した表記で、FNOCF Ver.n-Mahloで複雑になる部分の挙動を単純な挙動にしています。

FNOCF Ver.n-Mahloの順序数表記ではないことに注意してください。

  • ユーザーブログ:Freighter-number/1-MFPψ関数
  • 有限多変数ヴェブレン関数

定義の書き方はこれらの記事を参考にしました。



\(r \in \N\setminus\{0\}\)を、配列の最大成分数とする。



集合\(X\)に対し、\(X\)の要素のみを成分に持つ配列全体の集合を\(X^{

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Freighter-number Freighter-number 2月3日 (土)
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横ネストと基数の崩壊についての考察


横ネストと基数の崩壊についての考察です。\(\a\)段階の横ネストと基数の崩壊との対応を書いています。証明はありません。


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Nayuta Ito Nayuta Ito 2月3日 (土)
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FNOCFを分析する

加法と\( \omega \)の冪で\( \varepsilon_0 \)を作るためには、加法と\( \omega \)の冪で\( \varepsilon_0 \)を作らなければならない。 -- 存在しない名言


世界には2種類のOCFがある。\( \mathrm{mex}(C_{\nu}(\alpha)) \)を使うものと、\( \min\{\xi \mid (C(\alpha,\xi) \cap \kappa) \subseteq \xi \} \)を使うものである。

前者は「〇〇で到達できない最小の順序数」、後者は「〇〇で閉じている最小の順序数」のようなイメージである。前者には\( \omega \)回のステップで値を計算できるというメリットがあり、後者には\( = \)ではなく\( \subseteq \)を使うことでOCFで作りようがない\( \omega_1^{\mathrm{CK}} \)みたいなものをわざわざ明示的に追加する必要がないというメリットがある。

私は後者のOCFをあまり扱ったことがないので、勉強のためにFNOCFの構造を順に分析する。


  • Buchholzに似ているが、\( \Omega \)の添え字が1個ずれている。
  • \( \cap \kappa \)は、\( \psi_{\Omega_0} \)を計算しているのに\( \Omega_1 \)が入ってくるような、添え字を「オーバーキル」した要素を取り除いて考えるためである。
  • 一方、\( \psi_{\kappa} \)において、\( \kappa \)が作れるなら定義1.3.から\( C \)に入るので、逆に値が小さくなりすぎることもない。
  • OFPまではこれでできるが、OFPを作るためにはOFPを作る必要があるので…



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Freighter-number Freighter-number 2月3日 (土)
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1-MFPψ関数の解説を試みる


1-MFPψ関数と他の表記との対応もひと段落したので、より多くの人に使ってもらうために、なるべく分かりやすく解説するということに挑戦してみたいと思います。

ただし、

  1. 分かりやすく説明するために、順序数とかの用語を使うが、実際は文字列操作で定義されていること
  2. 不正確な部分が含まれる可能性があること

以上の点を踏まえた上で読んでいただけると助かります。

追記してほしいことや修正してほしいことがあれば、discordやメッセージウォールなどで遠慮なく私に相談してください。


  • 1 定義
  • 2 1-MFPψ関数とは
  • 3 1-MFPψ関数で使うもの
  • 4 大小比較
  • 5 基本的な展開規則
    • 5.1 1,2変数のとき
    • 5.2 3変数のとき
  • 6 1-MFPψ関数に出てくる崩壊対象(の役割を果たすもの)
  • 7 展開例
  • 8 解析


1-MFPψ関数の定義のリンク
厳密な定義は上記にあるため、分かりやすさを優先して解説します。


一文でいうと「最小の弱マーロ基数の不動点までを崩壊させるOCFを、本質的な挙動は抑えつつ、できるだけ簡潔かつ拡張可能にした表記」です。


1-MFPψ関数では、1~3変数のψ関数を使います。

  1. \(\p(a_1)\)
  2. \(\p(a_1)(a_2)\)
  3. \(\p(a_1)(a_2)(a_3)\)

この3つです。


\(\p\)関数同士の大小比較について、簡単に説明しておきます。

  1. \(a_1 < b_1\)に対して、\(\p(a_1) < \p(b_1)\)
  2. \(a_1 \le b_1\)と任意の\(a_2\)に対して、\(\p(a_1)(a_2) < \p(b_1)\)
  3. \(a_1 \le b_1\)と任意の\(a_2,a_3\)に対して、\(\p(a_1)(a_2)(a_3) < \p(b_1)\)
  4. \(a_1 < b_1\)と\(a_2 < b_2\)に対して、\…








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Freighter-number Freighter-number 1月30日 (火)
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1-MFPψ関数の解析


\( \newcommand\len{\textrm{len}} \newcommand\Trans{\textrm{Trans}} \newcommand\TransT{\textrm{TransT}} \newcommand\TransS{\textrm{TransS}} \newcommand\TransM{\textrm{TransM}} \newcommand\add{\textrm{add}} \)

1-MFPψ関数の解析です。
期待している対応を書いていきます。証明はありません。実際にはズレるかもしれませんので、おかしい部分があったら教えて下さい。

1-MFPψ関数で定義されている略記の記号\($\)は省略します。



計算可能全域写像 \begin{eqnarray} \add : T^2 &\to& T\\ (s,t) &\mapsto& \add(s,t) \\ \end{eqnarray} を以下のように同時に定める:

\(\add(s,t)\)の定義
  1. \(t = 0\)ならば、\(\add(s,t) := s\)である。
  2. \(t \neq 0\)かつ\(s = 0\)ならば、\(\add(s,t) := t\)である。
  3. \(t \neq 0\)かつ\(s \neq 0\)ならば、\(\add(s,t) := s+t\)である。



最小のオメガ不動点を\(\Lambda\)とおく。
\(b\)は拡張ブーフホルツのψ関数とする。
計算可能部分写像 \begin{eqnarray} o : T &\to & \Lambda \\ s &\mapsto & o(s) \end{eqnarray} を以下のように再帰的に定める:

  1. \(s = 0\)ならば、\(o(s) := 0\)である。…









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カフバン カフバン 1月27日 (土)
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ハイパー超限急増加関数

本記事では「ハイパー超限急増加関数」について定義します。(以降hyper-FGHと呼称します) 本記事ではp進大好きbot氏「超限急増加関数表記」を大いに参考にさせていただきました。

hyper-FGHでは後続基数を返す関数を超限急増加関数の表記として導入することで\(\Omega\)、\(\Omega_2\)が\(\omega\)の後者として導入されます。 更にはオメガ不動点、それ以上の基数に至るまで超限急増加関数表記の一部として導入できることを期待しています。(要検証)




先に本記事の概要を書きます。これは後で見直す時の備忘録の意味も込めています。 本記事での基本的な発想は後続基数\(\Omega > \omega\)を、\(F_{\Omega}(\alpha)=F_{\alpha}(\alpha)\{\omega \leq \alpha < \Omega\}\)として導入することです。 以降これを如何にして拡張するかを考えます。\(\Omega\)は\(\omega\)の後続基数です。そこで、後続基数を返す関数nach(仮)を導入すれば、 \(\Omega = \mathrm{nach}(\omega)\)と表現できるわけです。 これにより最初の発想は\(F_{\mathrm{nach}(\omega)}(\alpha)=F_{\alpha}(\alpha)\{\omega \leq \alpha < \mathrm{nach}(\omega)\}\)と書き換えられます。 観察するとFは順序数の後続関数、nachは基数上の後続関数であり、レベルアップしている感じがします。 となれば、Fをレベル0に、nachをレベル1にして、一般の自然数mをレベルにした後続関数を考える…




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DeltaEta2601 DeltaEta2601 1月22日 (月)
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素因数分解

磁気プラントル数表記を数列系巨大数に書き直したい!!!


任意の\(S \in \mathbb{N}^{

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Millillillillion Millillillillion 1月19日 (金)
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国際巨大数オリンピック予想問題

  • 1
  • 2 解答
  • 3 解法
  • 4 一般化


\((10^{100})!\)の末尾に0が何個並ぶか。\(\sum\)と\(log\)を使って表せ。ただし、\(\infty\)と分数を解答に使わないものとする。


\(\sum\limits_{n=1}^{floor(100\times log_{5}10)} (floor(2^n\times 10^{100-n}))\)個


\((10^a)!\)の末尾に並ぶ0の数は、右のように表せられる:\(\sum\limits_{n=1}^{floor(a\times log_{5}10)} (floor(2^n\times 10^{a-n}))\)個

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Hexirp Hexirp 1月18日 (木)
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2024-01-19 のメモ

2024-01-19 のメモです。


\( n \) 次代数方程式 \( \left\{ a_i \right\}_{ 0 \leq i \leq n } \) とは、 \( n + 1 \) 個の複素数の組 \( \left\{ a_i \right\}_{ 0 \leq i \leq n } \) であり、 \( a_n \neq 0 \) を満たすものである。これが表現する \( n \) 次代数方程式とは、 \( \Sigma_{ 0 \leq i \leq n } a_i x^i = 0 \) である。

\( n \) 次代数方程式 \( \left\{ a_i \right\}_{ 0 \leq i \leq n } \) の根 \( \left\{ \alpha_i \right\}_{ 0 \leq i < n } \) とは、 \( n \) 個の複素数の組 \( \left\{ \alpha_i \right\}_{ 0 \leq i < n } \) であり、 \( \Sigma_{ 0 \leq i \leq n } a_i x^i = a_n \Pi_{ 0 \leq i < n } \mathord{\left( x - \alpha_i \right)} \) を満たすものである。

代数学の基本定理とは、「任意の自然数 \( n \) を取る。任意の\( n \) 次代数方程式 \( \left\{ a_i \right\}_{ 0 \leq i \leq n } \) を取る。このとき、 \( n \) 次代数方程式 \( \left\{ a_i \right\}_{ 0 \leq i \leq n } \) の根 \( \left\{ \alpha…


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カフバン カフバン 1月16日 (火)
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試作品の展開例(hyper-pH型FGH)

一旦pH型FGHの展開をする。
\(F_{a}(c),F_{a}^b(c)\)は\((FGH,a,1,c),(FGH,a,b,c)\)の略記
\([a,b]\)は\((seq,a,b)\)の略記
\(a[b]\)は\(\mathrm{fund}(a,b)\)の略記


\(F_{\Omega}^2(\omega)[2]\)

\(F_{\Omega}(F_{\Omega}(\omega))[2]\)

\(F_{\Omega[F_{\Omega}(\omega)]}(F_{\Omega}(\omega))[2]\)

\(F_{F_{\Omega}(\omega)}(F_{\Omega}(\omega))[2]\)

\(F_{F_{\Omega}(\omega)[F_{\Omega}(\omega)]}(F_{\Omega}(\omega))[2]\)

\(F_{F_{\Omega[\omega]}(\omega)[F_{\Omega}(\omega)]}(F_{\Omega}(\omega))[2]\)

\(F_{F_{\omega}(\omega)[F_{\Omega}(\omega)]}(F_{\Omega}(\omega))[2]\)

\(F_{F_{[\omega,\omega]}(\omega)[F_{\Omega}(\omega)]}(F_{\Omega}(\omega))[2]\)

\(F_{F_{[\omega,\omega[F_{\Omega}(\omega)]]}(\omega)}(F_{\Omega}(\omega))[2]\)

\(F_{F_{[\omega,\omega,F_{\Omega}(\omega)]}(\omega)[F_{\Omega}(\omega)]}(F_{\Om…















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みずどら みずどら 1月8日 (月)
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順序数下書き

注意: 以下、証明のない文言は全て卍卍卍このように卍卍卍記号で囲み太字にする。以降、太字とこの記号の組み合わせは未証明の意味でしか用いないため、卍卍卍文章の意味は一意に定まる卍卍卍。この記号を見かけたらその部分は全て疑い、何らかの出典や根拠には用いないでもらいたい。


巨大数論では順序数を用いることが非常に多いが、その性質を厳密に精査している記述は巨大数研究wikiではあまり多くない印象を受ける。 巨大数研究wikiのフォーマットは一見厳密で正しそうな印象を受けるので、それらの記述に明確な出典や証明がついていないのは、数学的に議論する上で少々不便であろう。

そこで、本記事(及びそのシリーズ)では順序数の性質を証明も載せて紹介する。この記事が巨大数研究wikiの順序数に対する記述の信頼度に貢献することを目標に執筆を進めていく。

もし証明の抜けや誤字脱字、大きな誤りがあればコメントで伝えてほしい。その場で修正可能ならば修正するし、そうでなければ修正が完了するまで短剣符をつける。 とにかく情報の信頼度を高める方針で記事を書くので、初学者への配慮はあまりできないことをご了承願う。


この記事ではZFC公理系及び、対や順序対、部分集合、積集合、二項関係、関数(写像)などの公理的集合論の文脈での定義を理解している前提とさせていただく。 また、本記事では無限公理と冪集合公理、正則性公理、選択公理を除いたZFC集合論に基づいて議論するが、以降の記事では基本的に通常のZFC公理系を仮定して進める。



  • 1 整列順序
  • 2 整列集合に関する命題
  • 3 順序数
  • 4 順序数に関する命題


ここでは、重要な二項関係について述べる。特に、順序数について語る際に必要な『整列順序』の定義を説明し、深く掘り下げていく。

なお、数学では『順序』を広義…






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Freighter-number Freighter-number 1月2日 (火)
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1-MFPψ関数


\( \newcommand\len{\textrm{len}} \)


  • 1 概要
  • 2 解説
  • 3 1-MFPψ関数
    • 3.1 記法


1-MFPψ関数を定義します。1-MFPψ関数はを元にした表記で、FNOCF Ver.MFPで複雑になる部分の挙動を単純な挙動にしています。横ネスト段階配列表記や三関数と同じぐらいの強さになることを期待しています。

FNOCF Ver.MFPの順序数表記ではないことに注意してください。

  • ユーザーブログ:Kanrokoti/新しい標準形と基本列
  • ユーザーブログ:Freighter-number/ごちゃまぜ式弱マーロψ関数

定義の書き方はこれらの記事を参考にしました。

順序の不備を指摘してくださった不見氏に感謝します。


こちらをご覧ください。


集合\(X\)に対し、\(X\)の要素のみを成分に持つ配列全体の集合を\(X^{

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Okkuu Okkuu 1月1日 (月)
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グラハム問題の解の上界の改善

グラハム問題の解の現在知られている上界の中で最小の物は、英語版Wikipediaの記事やGoogology Wikiの記事などに書いてあり、テトレーションを使って\((2\uparrow\uparrow5138)\cdot((2\uparrow\uparrow5140)\uparrow\uparrow(2\cdot2\uparrow\uparrow5137))\)と表されます。
この記事では、グラハム問題の解が\(2\uparrow\uparrow2\uparrow\uparrow433\)以下である事を示します。これは英語版Wikipediaなどに書いてある物よりも小さいため、\(2\uparrow\uparrow2\uparrow\uparrow433\)はグラハム問題の解の最良の既知の上界になります。


現状最小の上界を与えている論文を参考にします。
この論文では\(\textrm{TTT}(n,c,d)\)、\(\textrm{Graham}(d)\)、\(\textrm{Cub}(n,c,l)\)、\(f(l,k)\)などの関数を定義し、それらを使ってグラハム問題の解である\(\textrm{Graham}(2)\)の上界を与えています。論文には

  • \(\textrm{Graham}(2)\leqq\textrm{TTT}(4,2,6)+1\)
  • \(\textrm{Cub}(n,c,l)\leqq l\cdot f\left(l,c^{n^l}\right)\)
  • \(\textrm{TTT}(2,2,6)\leqq428\)
  • \(n\geqq2\)ならば\(\textrm{TTT}(n+2,c,d)\leqq\textrm{Cub}(n+2,c,\textrm{Cub}(n+1,c…




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Gaoji Gaoji 2023年12月31日 (日)
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年末年始のブログ

こんにちは!Gaojiです!


2023年は絵を描く合間に巨大数のイベントにも参加できて楽しかったです!2024年にも息抜きでなにか巨大数を作っていきたいです。そして(これは来年の目標にするか迷ってますが)巨大数の同人誌作ってみたいです...!

本年はありがとうございました!

来年もよろしくお願いいたします!

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九矛乃 九矛乃 2023年12月22日 (金)
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ヒドヒド草案2

  • 1 初期状態
  • 2 用語
  • 3 中身同士の比較
  • 4 操作


初期ステップ数を9、根付き木はラベルの数値が9のノード1つだけの状態から始める。


この関数は根つき木の形で表される。 以下「ノードA」「ノードB」と言ったときは、木の中の任意のノードを指す。

  1. 「ノードAの中身」とは、「ノードAとその子孫からなる部分木」から「ノードA以外のラベルの数値がノードAのラベルの数値以上であるノードと、その子孫からなる部分木」を全て取り去ったものである。
  1. 以下、条件を満たしたノードに名前を付ける。
    1. 名前を付けるノードは全て、操作前の右端の葉の位置とラベルを基準にして探す。
    2. 見つけたら、名前を付けたノードを根から見た位置関係で記憶する。
    3. 「展開1回」が完了するまで、名前を付けるノードの根から見た位置関係は変更しない。
    4. 該当する位置のノードが存在しないなら、その名前のノードは存在しない。
  2. hydra rootは右端の葉の親の親である。
  3. hydra nodeは右端の葉の親である。
  4. Sは「右端の葉の直系先祖、右端の葉よりラベルの数値が大きい」を全て満たすノードの中で、最も根から遠いノードである。
  5. Sad rootは、「『Sの直系先祖、ラベルがSと同じ数値のノードの中身の要素である、Sよりも中身が小さいノードの中身の要素である』を全て満たすノードの中で、最も根から遠いノード」である。
    1. Sad rootがあれば、Sad nodeはSad rootの子である。
    2. Sad rootがなく、右端の葉のラベルが0でなければ、Sad nodeは根である。
  6. Lは「右端の葉の直系先祖の中で最もラベルの数値が大きい、右端の葉よりラベルの数値が大きい」を全て満たすノードの中で、最も根から遠いノードである。
  7. Lad rootは、「『Lの直系先祖、ラベルがLと同じ数値のノードの…



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Namekabl Namekabl 2023年12月21日 (木)
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n探索数列

東方巨大数5の時に作って見事凡ミスで定義が破綻したとり数列をリメイクします。というか定義は全然別の形になってます。

コンセプトは変わらず「数列のnを0,1,1,...,1(1がn個)」にする操作を繰り返したものになっています。このコンセプト自体は三関数の添え字の挙動を見て思いついたものです。

ここで定義する2探索数列が三関数との添え字と大体同じ挙動をすること(言い換えれば2探索数列をψの添え字に組み込んだ表記を作ったらそれが三関数と似た強さになること)を期待しています。すこし定義はアバウトなところがあるので問題があればおいおい修正します。


今回自然数の配列の配列の...などにも写像を適用したりするので定義域となる階層を定義する。

\(\begin{eqnarray*}\mathbb{A}_{0} & := & \prod_{0

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九矛乃 九矛乃 2023年12月21日 (木)
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テスト

「Aより~」は、Aを含まない 「Aから~」は、Aを含む

以下における頂点Aは、木の中の任意の頂点を指す。 「頂点Aの距離がxである」とは、「根から頂点Aに辿り着くまでに最低x本の辺を通る必要がある」という意味である。 根の距離は0である。 「頂点Aより先」とは、「根からその頂点までの最短経路の中に頂点Aが含まれる頂点かつ、距離が頂点Aより大きい全ての頂点」という意味である。 「頂点Aから先」とは、「『頂点Aより先』に頂点Aを加えたもの」という意味である。 「頂点Aの中身」とは、「『頂点Aから先』から『"頂点A以上の数値がラベルに書かれた頂点"から先』を取り去ったもの」という意味である。

「頂点Aの中身」と「頂点Bの中身」を比べる場合、ヒドラAとヒドラBを比較する。 ヒドラAは「“根に『頂点Aの中身』だけを繋げたもの”を繋げたヒドラ」を初期状態として与えた場合の計算結果である。 ヒドラBは「“根に『頂点Bの中身』だけを繋げたもの”を繋げたヒドラ」を初期状態として与えた場合の計算結果である。 どちらも初期状態のステップ数は「現在のステップ数」を初期値として与える。 ヒドラAの数が小さければ「頂点Aの中身の方が小さい」とする。 ヒドラBの数が小さければ「頂点Bの中身の方が小さい」とする。 同じであれば「同じ」とする。


<初期状態>

初期状態として初期ステップ数を9、ヒドラは根と根に繋がる頂点に9がラベルに書かれた頂点1つ。

<『切断する頂点』の探索法> 最初の『現在の頂点』は根である。 『現在の頂点』に繋がっていて、現在の頂点より距離が大きく、その中で最も中身が小さく、その中で最も右にある頂点を次の『現在の頂点』とする。 条件を満たす頂点が1つもないなら、『現在の頂点』が『切断する頂点』で…


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