鋭敏基数 (shrewed caridnal) はラティエン[1]によって考えられた巨大基数であり、記述不可能基数の拡張となる。順序数解析に於いて主に順序数崩壊関数に対して用いられる。
定義
\(\mathcal{A}\) をクラスとし、\(\eta\) を非零な順序数とする。基数 \(\kappa\) が \(\mathcal{A}\)-\(\eta\)-鋭敏 (\(\mathcal{A}\)-\(\eta\)-shrewed) であるとは、任意の \(R\subseteq V_\kappa\) 、任意の \(R,\mathcal{A}\) を関係記号として含む集合論の一階述語論理に於ける論理式 \(\varphi(R,\mathcal{A},\kappa)\) に対し、 \(\left\langle V_{\kappa+\eta};\in\restriction V_{\kappa+\eta},R,\mathcal{A}\restriction V_{\kappa+\eta}\right\rangle\models\varphi(R,\mathcal{A},\kappa)\) ならば、ある順序数 \(\kappa_0,\eta_0\in (0,\kappa)\) が存在して \(\left\langle V_{\kappa_0+\eta_0};\in\restriction V_{\kappa_0+\eta_0},P\restriction V_{\kappa_0},\mathcal{A}\restriction V_{\kappa_0+\eta_0}\right\rangle\models\varphi(R,\mathcal{A},\kappa_0)\) となることである。
\(\mathcal{A}=V\)のとき単に \(\eta\)-鋭敏 であるといい、任意の \(\eta>0\) に対して \(\eta\)-鋭敏\) であるとき、単に鋭敏であるという。 また論理式のクラス \(\Gamma\) 制限して得られる基数を \(\mathcal{A}\)-\(\eta\)-\(\Gamma\)-鋭敏 (\(\mathcal{A}\)-\(\eta\)-\(\Gamma\)-shrewed) であるという。
出典
- ↑ M. Rathjen, The art of ordinal analysis, Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Vol. 2. 2006.