鋭敏基数 (shrewed caridnal) はラティエン[1]によって考えられた巨大基数であり、記述不可能基数の拡張となる。巨大数論に於いて主に順序数崩壊関数に対して用いられる。
定義[]
\(\mathcal{A}\) をクラスとし、\(\eta\) を非零な順序数とする。基数 \(\kappa\) が \(\mathcal{A}\)-\(\eta\)-鋭敏 (\(\mathcal{A}\)-\(\eta\)-shrewed) であるとは、任意の \(R\subseteq V_\kappa\) に対し、\(\mathcal{R}_R,\mathcal{R}_\mathcal{A}\) を一変数関係記号として含む集合論の一階述語論理に於ける自由変数 \(u\) を持つ任意の明示された自由変数以外を含まない論理式 \(\varphi(\mathcal{R}_R,\mathcal{R}_\mathcal{A},u)\) に対し、 \(\left\langle V_{\kappa+\eta};\in\restriction V_{\kappa+\eta},R,\mathcal{A}\restriction V_{\kappa+\eta}\right\rangle\models\varphi(\mathcal{R}_R,\mathcal{R}_\mathcal{A},\kappa)\) ならば、ある順序数 \(\kappa_0,\eta_0\in (0,\kappa)\) が存在して \(\left\langle V_{\kappa_0+\eta_0};\in\restriction V_{\kappa_0+\eta_0},P\restriction V_{\kappa_0},\mathcal{A}\restriction V_{\kappa_0+\eta_0}\right\rangle\models\varphi(\mathcal{R}_R,\mathcal{R}_\mathcal{A},\kappa_0)\) となることである。 ここで構造 \(\mathcal{M}:=\left\langle M;\in\restriction M,X,Y\right\rangle\)に対して \(\mathcal{R}_R\)の \(\mathcal{M}\) による解釈を \(X\)、\(\mathcal{R}_\mathcal{A}\) の \(\mathcal{M}\) による解釈を \(Y\) とする。
\(\mathcal{A}=V\)のとき単に \(\eta\)-鋭敏 であるといい、任意の \(\eta>0\) に対して \(\eta\)-鋭敏 であるとき、単に鋭敏であるという。 また \(\varphi(R,\mathcal{A},\kappa)\) を論理式のクラス \(\Gamma\) に制限して得られる基数を \(\mathcal{A}\)-\(\eta\)-\(\Gamma\)-鋭敏 (\(\mathcal{A}\)-\(\eta\)-\(\Gamma\)-shrewed) であるという。
出典[]
- ↑ M. Rathjen, The art of ordinal analysis, Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Vol. 2. 2006.