変更：過剰数

2015年1月26日 (月) 17:35時点における最新版

過剰数 (abundant number) は、正の約数の総和が元の数の2倍よりも大きい数である^[1]。すなわち、その数を除く正の約数の総和が元の数よりも大きい数である。たとえば、36は 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 の和が 55 となり、\(55 > 36\) となるため過剰数である。その逆に、その数を除く約数の和が元の数よりも小さい数を不足数と言う。そして、両者が一致する数を完全数と言う。

最初の過剰数は 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, ... である。ここで、ほとんどの過剰数は偶数となるように見える。最初の奇数の過剰数は 945 である。これは、自然に出現する大きな数として面白い。945 の後は、奇数の過剰数 (odd abundant number) は 1575, 2205, 2835, 3465, ... と続く^[2]。

さらに、その数を除く正の約数の和が元の数の2倍以上に大きい数があり、そのような数は 180 が最小で、次は 1018976683725 である。

例

2と3で割り切れない最小の過剰数は 5391411025 = \(5^2*7*11*13*17*19*23*29\) である。
正の約数の和が元の数の4倍以上となる最小の奇数は 20821017304425168561312837502762890375 = 3^5 x 5^3 x 7^2 x 11^2 x 13 x 17 x 19 x 23 x 29 x 31 x 37 x 41 x 43 x 47 x 53 x 59 x 61 x 67 x 71 x 73 x 79 x 83 である。
正の約数の和が元の数の3倍以上となり、2と3で割れない最小の数は 48870871124826570463953805139878697155358000962012333290725030523875 = 5³ x 7³ x 11² x 13² x 17² x 19² x 23² x 29 x 31 x 37 x 41 x 43 x 47 x 53 x 59 x 61 x 67 x 71 x 73 x 79 x 83 x 89 x 97 x 101 x 103 x 107 x 109 x 113 x 127 x 131 x 137 x 139 x 149 x 151 である。
11以下の数で割り切れない最小の過剰数は 7970466327524571538225709545434506255970026969710012787303278390616918473506860039424701 = 13^2 x 17^2 x 19 x 23 x 29 x 31 x 37 x 41 x 43 x 47 x 53 x 59 x 61 x 67 x 71 x 73 x 79 x 83 x 89 x 97 x 101 x 103 x 107 x 109 x 113 x 127 x 131 x 137 x 139 x 149 x 151 x 157 x 163 x 167 x 173 x 179 x 181 x 191 x 193 x 197 x 199 x 211 x 223 x 227 である。

出典

↑ Abundant Number (MathWorld)
↑ Odd abundant numbers (OEIS wiki)

外部リンク

過剰数 (ウィキペディア)

[1] Abundant Number (MathWorld)

[2] Odd abundant numbers (OEIS wiki)

[1]

[2]

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 * 2と3で割り切れない最小の過剰数は 5391411025 = \(5^2*7*11*13*17*19*23*29\) である。
-* 正の約数の和が元の数の4倍以上となる最小の数は 20821017304425168561312837502762890375 = 3^5 x 5^3 x 7^2 x 11^2 x 13 x 17 x 19 x 23 x 29 x 31 x 37 x 41 x 43 x 47 x 53 x 59 x 61 x 67 x 71 x 73 x 79 x 83 である。
+* 正の約数の和が元の数の4倍以上となる最小の奇数は 20821017304425168561312837502762890375 = 3^5 x 5^3 x 7^2 x 11^2 x 13 x 17 x 19 x 23 x 29 x 31 x 37 x 41 x 43 x 47 x 53 x 59 x 61 x 67 x 71 x 73 x 79 x 83 である。
 * 正の約数の和が元の数の3倍以上となり、2と3で割れない最小の数は 48870871124826570463953805139878697155358000962012333290725030523875 = 5<sup>3</sup> x 7<sup>3</sup> x 11<sup>2</sup> x 13<sup>2</sup> x 17<sup>2</sup> x 19<sup>2</sup> x 23<sup>2</sup> x 29 x 31 x 37 x 41 x 43 x 47 x 53 x 59 x 61 x 67 x 71 x 73 x 79 x 83 x 89 x 97 x 101 x 103 x 107 x 109 x 113 x 127 x 131 x 137 x 139 x 149 x 151 である。
 * 11以下の数で割り切れない最小の過剰数は 7970466327524571538225709545434506255970026969710012787303278390616918473506860039424701 = 13^2 x 17^2 x 19 x 23 x 29 x 31 x 37 x 41 x 43 x 47 x 53 x 59 x 61 x 67 x 71 x 73 x 79 x 83 x 89 x 97 x 101 x 103 x 107 x 109 x 113 x 127 x 131 x 137 x 139 x 149 x 151 x 157 x 163 x 167 x 173 x 179 x 181 x 191 x 193 x 197 x 199 x 211 x 223 x 227 である。