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以下の項目と混同しないように注意してください:階乗配列表記


超階乗配列表記
多次元
基本関数 階乗

超階乗配列表記 (Hyperfactorial Array Notation) は、Lawrence Hollomが考案した階乗を原型とする巨大数の表記法である。これは階乗配列表記 (Factorial Array Notation) の原型となる表記法である[1]

概要[]

階乗は\(n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots3\times2\times1\)である。Hollomは掛け算が矢印表記の\(\uparrow^{0}\)に等しいことに着目し、\(n!m=n\uparrow^{m}(n-1)\uparrow^{m}(n-2)\uparrow^{m}\cdots3\uparrow^{m}2\uparrow^{m}1\)となる表記法を考案した。これが超階乗配列表記である。なお、\(n!(-1)\)は足し算となる。これは矢印表記の定義にはなく、ハイパー演算子の概念によるものである。

この表記を更に拡張し\(n![k]\)を定義した。これは\(((\cdots((n\underbrace{![k-1])![k-1])![k-1]\cdots![k-1])![k-1])![k-1]}_{n}\)と展開される。なお、\(n![1]=n!n\)である。\([k]\)は拡張され、\(n![1,k]=n![[1,1],k-1]=n![[1],k-1]=n![n,k-1]\)となる。この時\(n![j,1]=n![j]\)である。

計算例[]

  • \(4!(-1)=4+3+2+1=10\)
  • \(4!0=4!=4\uparrow^{0}3\uparrow^{0}2\uparrow^{0}1=4\times3\times2\times1=24\)
  • \(4!1=4\uparrow^{1}3\uparrow^{1}2\uparrow^{1}1=4^{3^{2^{1}}}=262144\)
  • \(4!2=4\uparrow^{2}3\uparrow^{2}2\uparrow^{2}1=4\uparrow^{2}3^{3}=4\uparrow^{2}{27}\)
  • \(4!3=4\uparrow^{3}3\uparrow^{3}2\uparrow^{3}1=4\uparrow^{3}(3\uparrow^{2}3)=4\uparrow^{3}7625597484987\)
  • \(3![1]=3!3=3\uparrow^{3}2\uparrow^{3}1=3\uparrow^{2}3=3^{3^{3}}=7625597484987\)
  • \(2![2]=(2![1])![1]=(2!2)![1]=(2\uparrow^{2}1)![1]=2![1]=2!2=2\)
  • \(\begin{eqnarray} 3![2]&=&((3![1])![1])![1]=((3!3)![1])![1]=((3\uparrow^{3}2\uparrow^{3}1)![1])![1]=((3\uparrow^{2}3)![1])![1]\\ &=&(7625597484987![1])![1]=(7625597484987!7625597484987)![1]\\ &=&(7625597484987\uparrow^{7625597484987}7625597484986\uparrow^{7625597484987}7625597484985\cdots2\uparrow^{7625597484987}1)![1] \end{eqnarray}\)
  • \(3![1,2]=3![[1,1],2-1]=3![[1],1]=3![3]=((3![2])![2])![2]\)
  • \(\begin{eqnarray} 4![1,[4],1,2]&=&4![[1,[1],1,2],[4-1],1,2]=4![[1,4,1,2],[3],1,2]\\ &=&4![[[1,1,1,2],4-1,1,2],[3],1,2]=4![[[[1,1,1,1],1,1,2-1],3,1,2],[3],1,2]\\ &=&4![[[[1],1,1,1],3,1,2],[3],1,2]=4![[[4,1,1,1],3,1,2],[3],1,2]=4![[[4],3,1,2],[3],1,2]\\ &=&(((4![[[3],3,1,2],[3],1,2])![[[3],3,1,2],[3],1,2])![[[3],3,1,2],[3],1,2])![[[3],3,1,2],[3],1,2] \end{eqnarray}\)

出典[]

  1. Lawrence Hollom. "Factorial Array Notation". Extremely big numbers.

関連項目[]

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