超指数関数

超指数関数 (hyperexponential function) は Fernández-Duque–Joosten で与えられた順序数上の関数であり、ヴェブレン関数と部分的に一致する。

定義

指数関数 \(\mathrm{e}\colon\mathrm{On}\to\mathrm{On}\) を

• \(\begin{align}\mathrm{e}(\xi):= & -1+\omega^\xi\\ = & \begin{cases} 0 & \text{if \(\xi=0\)}\\ \omega^\xi & \text{otherwise} \end{cases}\end{align}\)

と定める。この定義の利点は \(\mathrm{e}\) は普通の \(\omega\)-冪と異なり、左随伴を持つことである。特に左対数関数と終対数関数が重要な例となる。

このとき超指数関数 \(\mathrm{e}^{-}({-})\colon\mathrm{On}^2\to\mathrm{On}\) は以下を満たす関数である。

1. \(\mathrm{e}^0=\mathrm{id}_{\mathrm{On}}\) 。
2. \(\mathrm{e}^1=\mathrm{e}\) 。
3. 任意の順序数 \(\alpha,\beta\) に対し \(\mathrm{e}^{\alpha+\beta}=\mathrm{e}^\alpha\circ\mathrm{e}^\beta\) 。
4. 2,3を満たす任意の関数列 \(\langle f^\xi\mid\xi\in\mathrm{On}\rangle\) 、任意の順序数 \(\alpha,\beta\) に対し \(\mathrm{e}^\alpha(\beta)\leq f^\alpha(\beta)\) となる。

この定義が well-defined 、すなわち、上記を満たす関数が一意に存在することを Fernández-Duque–Joosten は示した。

基本的性質

任意の順序数 \(\alpha,\beta\) に対して以下が成り立つ。ただし \(\varphi_{-}({-})\) をヴェブレン関数とする。

1. \(\mathrm{e}^\alpha(0)=0\) 。
2. \(\mathrm{e}^1(1+\beta)=\varphi_0(1+\beta)\) 。
3. \(\mathrm{e}^{\omega^{1+\alpha}}(1+\beta)=\varphi_{1+\alpha}(\beta)\) 。

また特に \(\xi\mapsto\mathrm{e}^{\xi}(1)\) は正規関数であり、最小不動点はフェファーマン・シュッテの順序数]] \(\Gamma_0\) となる。