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許容順序数 (admissible ordinal) は構成可能階層KP集合論のモデルとなるようなである.

定義

推移的集合許容可能 (admissible) であるとは,となることである.とくにが許容可能になるとき,許容順序数 (admissible ordinal) である.またより大きい許容順序数は再帰的正則順序数 (recursively regular ordinal) と呼ばれる.また一般に-許容的であるとはとなることである.

性質

最小の許容順序数はである.また許容順序数の全体の位相閉包の数え上げをと表す.が後続順序数であるとき,許容順序数である.例えばチャーチ・クリーネ順序数は最小のより大きいの許容可能順序数である.しかしが極限順序数の場合,許容順序数であるとは限らない.例えばは許容順序数ではない.が極限順序数でかつ許容可能であるとき再帰的到達不能順序数 (recursively inaccessible ordinal) であるという.

-再帰理論に於ける-再帰関数,すなわちに於いて-定義可能な関数を考えよう.が許容順序数であることは以下のように特徴づけることができる.

  • 任意の,任意の-再帰的関数に対して,となる.

基数が正則であるということは以下のように定義された.

  • 任意の,任意の関数に対して,となる.

このことから,許容順序数が再帰的正則と言われうる所以が分かるであろう.またより大きい許容順序数が-反映順序数となることもこれから分かる.

またとなり,かつそのような順序数で最小である.また全ての極限順序数に対しであり,はそのようなもので最小のものとなる.またとなる最小のである[1]

参考文献

  • P.G. Hinman. Recursion-theoretic hierarchies. Vol. 9. Cambridge University Press, 2017.
  • J. Barwise. Admissible sets and structures. Vol. 7. Cambridge University Press, 2017.
  1. S.G. Simpson, Subsystems of Second-Order Arithmetic (second edition), Perspectives in Logic, ASL (2009), ISBN 978-0-521-88439-6

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