第四クロちゃん数とは、クロちゃんが考案した巨大数である[1]

定義

\(f(x)=x!^x\)(ネスト階乗表記) 

\(f(x)↑^2 2= f^{f(x)}(x)\)

\(f(x)↑^{n+1} 2= f(x)↑^nf(x)\)

\(f(x)↑^{n+1} m+1= f(x)↑^n (f(x)↑^{n+1} m)\) 


\(f(x) \rightarrow b \rightarrow c = f(x)\underbrace{↑\ldots↑}_cb\)

\(f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow 1 = f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b\)

\(f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow 1 \rightarrow c = f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b\)

\(f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow (c + 1) \rightarrow (d + 1) = f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow (f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow c \rightarrow (d + 1) ) \rightarrow d\)


\(f(x)\rightarrow^2 n=\underbrace{f(x)\rightarrow f(x)\ldots\rightarrow f(x)}_n\)

\(f(x)\rightarrow^{n+1} 2= f(x)\rightarrow^nf(x)\)

\(f(x)\rightarrow^{n+1} m+1= f(x)\rightarrow^n (f(x)\rightarrow^{n+1} m)\)

\(KK(x) = f(3)\underbrace{\rightarrow\ldots\rightarrow}_xf(3)\)


  • X : 0個以上の0以上の整数
  • Y : 0個以上の0
  • a, b : 0以上の整数

\begin{eqnarray*} k_1(Y, a) & = & KK(a) \\k_{n+1}(Y, a) & = & k_n(\underbrace{1,\ldots,1}_a ) \\ k_n(X, b+1, 0) & = & k_n(X, b, 1) \\ k_n(X, b+1, a+1) & = & k_n( X, b, k_n(X, b+1, a) ) \\ k_n(X, b+1, 0, Y, a ) & = & k_n(X, b, a, Y, a) \end{eqnarray*}

\(K_4(x)=k_x(\underbrace{1,\ldots,1}_x )\)

とすると、第四クロちゃん数は\(K_4^{63}(4)\)である。

近似

\begin{eqnarray*} k_1(n) & = & KK(n) \approx f_{\omega^2+\omega}(n)\\ k_1(1, n) & \approx & f_{\omega^2+\omega+1}(n)\\ k_n(1, 1, n) & \approx & f_{\omega^\omega+ \omega2 + 1}(n)\\ k_n(1, 1, 1, n) & \approx & f_{\omega^\omega+ \omega^2 + \omega + 1}(n)\\ k_n(1, 1, 1, 1, n) & \approx & f_{\omega^\omega+ \omega^3 + \omega^2 +\omega + 1}(n)\\ k_2(n) & = & k(\underbrace{1,\ldots,1}_n ) \approx f_{\omega^\omega 2}(n) \\ k_3(n) & \approx & f_{\omega^\omega 2 + \omega^\omega}(n) = f_{\omega^\omega 3}(n) \\ k_4(n) & \approx & f_{\omega^\omega 4}(n) \approx f_{\omega^{\omega+1}}(4) \\ K_4(n) &\approx& f_{\omega^{\omega+1}}(n) \\  K_4^{63}(4) &\approx& f_{\omega^{\omega+1}}^{63}(4) \\ \end{eqnarray*}

出典

関連項目

日本の巨大数論

ふぃっしゅ数: バージョン1バージョン2バージョン3バージョン4バージョン5バージョン6バージョン7
写像: S変換SS変換s(n)変換m(n)変換m(m,n)変換
Aeton: おこじょ数N成長階層
バシク: 原始数列数ペア数列数バシク行列システム
mrna: 段階配列表記
p進大好きbot: 巨大数庭園数
ゆきと: ハイパー原始数列Y数列
たろう: 多変数2重リスト多重リスト
クロちゃん数: 第一クロちゃん数第二クロちゃん数第三クロちゃん数第四クロちゃん数
マシモ: マシモ関数マシモスケール
本: 巨大数論寿司虚空編
大会: 東方巨大数幻想巨大数即席巨大数式神巨大数
掲示板: 巨大数探索スレッド
外部リンク: 日本語の巨大数関連サイト

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