巨大数研究 Wiki
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第四クロちゃん数とは、クロちゃんが考案した巨大数である[1]

定義

\(f(x)=x!^x\)(ネスト階乗表記) 

\(f(x)↑^2 2= f^{f(x)}(x)\)

\(f(x)↑^{n+1} 2= f(x)↑^nf(x)\)

\(f(x)↑^{n+1} m+1= f(x)↑^n (f(x)↑^{n+1} m)\) 


\(f(x) \rightarrow b \rightarrow c = f(x)\underbrace{↑\ldots↑}_cb\)

\(f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow 1 = f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b\)

\(f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow 1 \rightarrow c = f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b\)

\(f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow (c + 1) \rightarrow (d + 1) = f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow (f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow c \rightarrow (d + 1) ) \rightarrow d\)


\(f(x)\rightarrow^2 n=\underbrace{f(x)\rightarrow f(x)\ldots\rightarrow f(x)}_n\)

\(f(x)\rightarrow^{n+1} 2= f(x)\rightarrow^nf(x)\)

\(f(x)\rightarrow^{n+1} m+1= f(x)\rightarrow^n (f(x)\rightarrow^{n+1} m)\)

\(KK(x) = f(3)\underbrace{\rightarrow\ldots\rightarrow}_xf(3)\)


  • X : 0個以上の0以上の整数
  • Y : 0個以上の0
  • a, b : 0以上の整数

\begin{eqnarray*} k_1(Y, a) & = & KK(a) \\k_{n+1}(Y, a) & = & k_n(\underbrace{1,\ldots,1}_a ) \\ k_n(X, b+1, 0) & = & k_n(X, b, 1) \\ k_n(X, b+1, a+1) & = & k_n( X, b, k_n(X, b+1, a) ) \\ k_n(X, b+1, 0, Y, a ) & = & k_n(X, b, a, Y, a) \end{eqnarray*}

\(K_4(x)=k_x(\underbrace{1,\ldots,1}_x )\)

とすると、第四クロちゃん数は\(K_4^{63}(4)\)である。

近似

\begin{eqnarray*} k_1(n) & = & KK(n) \approx f_{\omega^2+\omega}(n)\\ k_1(1, n) & \approx & f_{\omega^2+\omega+1}(n)\\ k_n(1, 1, n) & \approx & f_{\omega^\omega+ \omega2 + 1}(n)\\ k_n(1, 1, 1, n) & \approx & f_{\omega^\omega+ \omega^2 + \omega + 1}(n)\\ k_n(1, 1, 1, 1, n) & \approx & f_{\omega^\omega+ \omega^3 + \omega^2 +\omega + 1}(n)\\ k_2(n) & = & k(\underbrace{1,\ldots,1}_n ) \approx f_{\omega^\omega 2}(n) \\ k_3(n) & \approx & f_{\omega^\omega 2 + \omega^\omega}(n) = f_{\omega^\omega 3}(n) \\ k_4(n) & \approx & f_{\omega^\omega 4}(n) \approx f_{\omega^{\omega+1}}(4) \\ K_4(n) &\approx& f_{\omega^{\omega+1}}(n) \\  K_4^{63}(4) &\approx& f_{\omega^{\omega+1}}^{63}(4) \\ \end{eqnarray*}

出典

関連項目

日本の巨大数論

Aeton: おこじょ数N成長階層
mrna: 段階配列表記降下段階配列表記多変数段階配列表記横ネスト段階配列表記
Kanrokoti: くまくまψ関数亜原始ψ関数ハイパー原始ψ関数TSS-ψ関数
クロちゃん: 第一クロちゃん数第二クロちゃん数第三クロちゃん数第四クロちゃん数
たろう: 多変数アッカーマン関数2重リストアッカーマン関数多重リストアッカーマン関数
Nayuta Ito: フラン数N原始東方巨大数4の規則の境界を突いた巨大数
バシク: 原始数列数ペア数列数バシク行列システム
長谷川由紀路: 紅魔館のメイドナンバー恋符マスタースパーク数みくみく順序数
108Hassium: E2:B-01-HsE3:B-02-Hs
公太郎: 弱亜ペア数列肉ヒドラ数列弱ハイパーペア数列
p進大好きbot: 超限急増加関数表記拡張ブーフホルツのψ関数に伴う順序数表記四関数三関数巨大数庭園数
ふぃっしゅ: ふぃっしゅ数バージョン1バージョン2バージョン3バージョン4バージョン5バージョン6バージョン7マシモ関数マシモスケールTR関数I0関数
ゆきと: 亜原始数列ハイパー原始数列Y数列
本: 巨大数論寿司虚空編
大会: 東方巨大数幻想巨大数即席巨大数式神巨大数
掲示板: 巨大数探索スレッド名もなき巨大数研究
外部リンク: 日本語の巨大数関連サイト

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