第三クロちゃん数とは、クロちゃんが考案した巨大数である[1]。
定義
\(f(x)=x!^x\)(ネスト階乗表記)
\(f(x)↑^2 2= f^{f(x)}(x)\)
\(f(x)↑^{n+1} 2= f(x)↑^nf(x)\)
\(f(x)↑^{n+1} m+1= f(x)↑^n (f(x)↑^{n+1} m)\)
\(f(x) \rightarrow b \rightarrow c = f(x)\underbrace{↑\ldots↑}_cb\)
\(f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow 1 = f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b\)
\(f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow 1 \rightarrow c = f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b\)
\(f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow (c + 1) \rightarrow (d + 1) = f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow (f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow c \rightarrow (d + 1) ) \rightarrow d\)
\(f(x)\rightarrow^2 n=\underbrace{f(x)\rightarrow f(x)\ldots\rightarrow f(x)}_n\)
\(f(x)\rightarrow^{n+1} 2= f(x)\rightarrow^nf(x)\)
\(f(x)\rightarrow^{n+1} m+1= f(x)\rightarrow^n (f(x)\rightarrow^{n+1} m)\)
\(KK(x) = f(3)\underbrace{\rightarrow\ldots\rightarrow}_xf(3)\)
- X : 0個以上の0以上の整数
- Y : 0個以上の0
- a, b : 0以上の整数
\begin{eqnarray*} k(Y, a) & = & KK(a) \\ k(X, b+1, 0) & = & k(X, b, 1) \\ k(X, b+1, a+1) & = & k( X, b, k(X, b+1, a) ) \\ k(X, b+1, 0, Y, a ) & = & k(X, b, a, Y, a) \end{eqnarray*}
\(K_3(x)=k(\underbrace{1,\ldots,1}_x )\)
とすると、第三クロちゃん数は\(K_3^{63}(4)\)である。
近似
\begin{eqnarray*} k(n) & = & KK(n) \approx f_{\omega^2+\omega}(n)\\ k(1, n) & \approx & f_{\omega^2+\omega + 1}(n)\\ k(1, 1, n) & \approx & f_{\omega^2+\omega 2 + 1}(n)\\ k(1, 1, 1, n) & \approx & f_{\omega^2 2 +\omega + 1}(n)\\ k(1, 1, 1, 1, n) & \approx & f_{\omega^3 + \omega^2 +\omega + 1}(n)\\ K_3(n) & = & k(\underbrace{1,\ldots,1}_n ) \approx f_{\omega^\omega}(n) \\ K_3^{63}(4) &\approx& f_{\omega^\omega}^{64}(4) \\ \end{eqnarray*}
