第三クロちゃん数とは、クロちゃんが考案した巨大数である[1]。
定義
\(f(x)=x!^x\)(ネスト階乗表記)
\(f(x)↑^2 2= f^{f(x)}(x)\)
\(f(x)↑^{n+1} 2= f(x)↑^nf(x)\)
\(f(x)↑^{n+1} m+1= f(x)↑^n (f(x)↑^{n+1} m)\)
\(f(x) \rightarrow b \rightarrow c = f(x)\underbrace{↑\ldots↑}_cb\)
\(f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow 1 = f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b\)
\(f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow 1 \rightarrow c = f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b\)
\(f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow (c + 1) \rightarrow (d + 1) = f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow (f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow c \rightarrow (d + 1) ) \rightarrow d\)
\(f(x)\rightarrow^2 n=\underbrace{f(x)\rightarrow f(x)\ldots\rightarrow f(x)}_n\)
\(f(x)\rightarrow^{n+1} 2= f(x)\rightarrow^nf(x)\)
\(f(x)\rightarrow^{n+1} m+1= f(x)\rightarrow^n (f(x)\rightarrow^{n+1} m)\)
\(KK(x) = f(3)\underbrace{\rightarrow\ldots\rightarrow}_xf(3)\)
- X : 0個以上の0以上の整数
- Y : 0個以上の0
- a, b : 0以上の整数
\begin{eqnarray*} k(Y, a) & = & KK(a) \\ k(X, b+1, 0) & = & k(X, b, 1) \\ k(X, b+1, a+1) & = & k( X, b, k(X, b+1, a) ) \\ k(X, b+1, 0, Y, a ) & = & k(X, b, a, Y, a) \end{eqnarray*}
\(K_3(x)=k(\underbrace{1,\ldots,1}_x )\)
とすると、第三クロちゃん数は\(K_3^{63}(4)\)である。
近似
\begin{eqnarray*} k(n) & = & KK(n) \approx f_{\omega^2+\omega}(n)\\ k(1, n) & \approx & f_{\omega^2+\omega + 1}(n)\\ k(1, 1, n) & \approx & f_{\omega^2+\omega 2 + 1}(n)\\ k(1, 1, 1, n) & \approx & f_{\omega^2 2 +\omega + 1}(n)\\ k(1, 1, 1, 1, n) & \approx & f_{\omega^3 + \omega^2 +\omega + 1}(n)\\ K_3(n) & = & k(\underbrace{1,\ldots,1}_n ) \approx f_{\omega^\omega}(n) \\ K_3^{63}(4) &\approx& f_{\omega^\omega}^{64}(4) \\ \end{eqnarray*}
出典
関連項目
Aeton: おこじょ数・N成長階層
mrna: 段階配列表記・降下段階配列表記・多変数段階配列表記・横ネスト段階配列表記
Kanrokoti: くまくまψ関数・亜原始ψ関数・ハイパー原始ψ関数・TSS-ψ関数
クロちゃん: 第一クロちゃん数・第二クロちゃん数・第三クロちゃん数・第四クロちゃん数
たろう: 多変数アッカーマン関数・2重リストアッカーマン関数・多重リストアッカーマン関数
Nayuta Ito: フラン数・N原始・東方巨大数4の規則の境界を突いた巨大数
バシク: 原始数列数・ペア数列数・バシク行列システム
長谷川由紀路: 紅魔館のメイドナンバー・恋符マスタースパーク数・みくみく順序数
108Hassium: E2:B-01-Hs・E3:B-02-Hs
公太郎: 弱亜ペア数列・肉ヒドラ数列・弱ハイパーペア数列
p進大好きbot: 超限急増加関数表記・拡張ブーフホルツのψ関数に伴う順序数表記・四関数・三関数・巨大数庭園数
ふぃっしゅ: ふぃっしゅ数バージョン1・バージョン2・バージョン3・バージョン4・バージョン5・バージョン6・バージョン7・ マシモ関数・マシモスケール・TR関数（I0関数）
ゆきと: 亜原始数列･ハイパー原始数列・Y数列
本: 巨大数論・寿司虚空編
大会: 東方巨大数・幻想巨大数・即席巨大数・式神巨大数
掲示板: 巨大数探索スレッド・名もなき巨大数研究
外部リンク: 日本語の巨大数関連サイト
