知られている最大の完全数は、以下で表される4972万4095桁の数である[1]

\[\frac{M_{51}+1}{2}\times M_{51}=2^{82589932}\times(2^{82589933}-1)\approx1.1\times10^{49724095}\]

ここで、\(M_{51}\)は知られている最大のメルセンヌ素数である。

\(M_{p}=2^{p}-1\)が素数ならば、\(2^{p-1}(2^{p}-1)\)は完全数であるという性質がある為[2] (逆に、偶数の完全数はこの形に限られる) 、完全数の探索はメルセンヌ素数の探索に帰結し、より大きなメルセンヌ素数が知られた時点で、知られている完全数の大きさも更新される。

完全数は無数に存在するのか、あるいは真に最大の完全数が存在するかどうかについては未解決である。また、奇数の完全数が存在するのかについても未解決である。

出典

関連項目

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