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矢印表記改
3変数
基本関数 乗算
急増加関数 \(f_{\omega^\omega}(n)\)

矢印表記改は、じぇいそんが初心者向けの矢印表記の拡張の一例として考えた表記であり、多変数アッカーマン関数配列表記とほぼ同じ強さである。

定義

以下矢印と言ったら\(\uparrow^3\)のように右上に正整数の添字に持つ\(\uparrow\)記号を指す。\(a,b,c\)は正整数、\(X\)は\(0\)本以上の任意の矢印の束とする。

複数の規則が適用できる場合は、より上にある規則を優先的に適用する。

  • \(ab=a\times b\)
  • \(a X 1 = a\)
  • \(aX\uparrow^1 b = aXaX…Xa\) (\(a\)が\(b\)個)
  • \(aX\uparrow^{c+1} b = aX\uparrow^c\uparrow^c…\uparrow^c b\) (\(\uparrow^c\)が\(b\)個)

この表記は右結合であり、\(a \uparrow ^d b \uparrow ^e c\)は常に\(a \uparrow ^d (b \uparrow ^e c)\)を意味する。

計算例

  • \(2 \uparrow^1 3 = 2^3 = 8\)
  • \(5 \uparrow^1 6 = 5^6 = 15625\)
  • \(3 \uparrow^1\uparrow^1 4 = 3 \uparrow^1 3 \uparrow^1 3 \uparrow^1 3 = 3 \uparrow^1 3 \uparrow^1 27 = 3^{7625597484987}\)
  • \(5 \uparrow^1\uparrow^1 3 = 5 \uparrow^1 5 \uparrow^1 5 = 5^{5^5}\)
  • \(2 \uparrow^1\uparrow^1\uparrow^1 2 = 2 \uparrow^1\uparrow^1 2 = 2 \uparrow^1 2 = 2^2 = 4\)
  • \(3 \uparrow^1\uparrow^1\uparrow^1 2 = 3 \uparrow^1\uparrow^1 3 = 3 \uparrow^1 3 \uparrow^1 3 = 3^{3^3} = 3^{27} = 7625597484987\)
  • \(2 \uparrow^1\uparrow^1\uparrow^1 3 = 2 \uparrow^1\uparrow^1 2 \uparrow^1\uparrow^1 2 = 2 \uparrow^1\uparrow^1 4 = 2 \uparrow^1 2 \uparrow^1 2 \uparrow^1 2 = 2 \uparrow^1 2 \uparrow^1 4 = 2 \uparrow^1 16 = 65536\)
  • \(2 \uparrow^2 3 = 2 \uparrow^1\uparrow^1\uparrow^1 3 = 65536\)
  • \(2 \uparrow^2\uparrow^1 3 = 2 \uparrow^2 2 \uparrow^2 2 = 2 \uparrow^2 4 = 2 \uparrow^1\uparrow^1\uparrow^1\uparrow^1 4\)
  • \(2 \uparrow^2\uparrow^2 3 = 2 \uparrow^2\uparrow^1\uparrow^1\uparrow^1 3 = 2 \uparrow^2\uparrow^1\uparrow^1 2 \uparrow^2\uparrow^1\uparrow^1 2 = 2 \uparrow^2\uparrow^1\uparrow^1 4 = 2 \uparrow^2\uparrow^1 2 \uparrow^2\uparrow^1 2 \uparrow^2\uparrow^1 2 \\ = 2 \uparrow^2\uparrow^1 2 \uparrow^2\uparrow^1 4 = 2 \uparrow^2\uparrow^1 2 \uparrow^2 2 \uparrow^2 2 \uparrow^2 2 = 2 \uparrow^2\uparrow^1 2 \uparrow^2 2 \uparrow^2 4 = 2 \uparrow^2\uparrow^1 2 \uparrow^2 2 \uparrow^1\uparrow^1\uparrow^1\uparrow^1 4\)
  • \(2 \uparrow^2\uparrow^2\uparrow^2 3 = 2 \uparrow^2\uparrow^2\uparrow^1\uparrow^1\uparrow^1 3 = 2 \uparrow^2\uparrow^2\uparrow^1\uparrow^1 2 \uparrow^2\uparrow^2\uparrow^1\uparrow^1 2 = 2 \uparrow^2\uparrow^2\uparrow^1\uparrow^1 4\)
  • \(2 \uparrow^3 3 = 2 \uparrow^2\uparrow^2\uparrow^2 3 = 2 \uparrow^2\uparrow^2\uparrow^1\uparrow^1\uparrow^1 3 = 2 \uparrow^2\uparrow^2\uparrow^1\uparrow^1 2 \uparrow^2\uparrow^2\uparrow^1\uparrow^1 2 \)
  • \(2 \uparrow^3\uparrow^3 3 = 2 \uparrow^3\uparrow^2\uparrow^2\uparrow^2 3 = 2 \uparrow^3\uparrow^2\uparrow^2\uparrow^1\uparrow^1\uparrow^1 3\)
  • \(2 \uparrow^3\uparrow^3\uparrow^3 3 = 2 \uparrow^3\uparrow^3\uparrow^2\uparrow^2\uparrow^2 3 =2 \uparrow^3\uparrow^3\uparrow^2\uparrow^2\uparrow^1\uparrow^1\uparrow^1 3\)

\(\uparrow ^1 = \uparrow\)とおけば \(a \uparrow b\)は冪乗、\(a \uparrow\uparrow b\)はテトレーション、\(a \uparrow\uparrow\uparrow b\)はペンテーション、となり、矢印表記と同じになる。

急増加関数との比較

\(\uparrow^1\)については矢印表記と同値であるため省略する。

  • \(3 \uparrow^2 a = 3 \uparrow^1\uparrow^1...\uparrow^1 a \sim f_\omega (a+1)\)
  • \(3 \uparrow^2\uparrow^1 a = 3 \uparrow^2 3 \uparrow^2 ... \uparrow^2 3 \sim f_{\omega+1} (a)\)
  • \(3 \uparrow^2\uparrow^1\uparrow^1 a \sim f_{\omega+2} (a)\)
  • \(3 \uparrow^2\uparrow^2 a = 3 \uparrow^2\uparrow^1\uparrow^1...\uparrow^1 a \sim f_{\omega\times 2} (a)\)
  • \(3 \uparrow^2\uparrow^2\uparrow^2 a = 3 \uparrow^2\uparrow^2\uparrow^1\uparrow^1...\uparrow^1 a \sim f_{\omega\times 3} (a)\)
  • \(3 \uparrow^3 a = 3 \uparrow^2\uparrow^2...\uparrow^2 a \sim f_{\omega^2} (a)\)
  • \(3 \uparrow^3\uparrow^1 a \sim f_{\omega^2+1} (a)\)
  • \(3 \uparrow^3\uparrow^2 a \sim f_{\omega^2+\omega} (a)\)
  • \(3 \uparrow^3\uparrow^3 a \sim f_{\omega^2 \times 2} (a)\)
  • \(3 \uparrow^4 a = 3 \uparrow^3\uparrow^3...\uparrow^3 a \sim f_{\omega^3} (a)\)
  • \(3 \uparrow^5 a \sim f_{\omega^4} (a)\)
  • \(3 \uparrow^c a \sim f_{\omega^{c-1}} (a) \sim f_{\omega^{\omega}} (c-1) \)

出典

矢印表記改

関連項目

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