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3変数

## 定義

• $$ab=a\times b$$
• $$a X 1 = a$$
• $$aX\uparrow^1 b = aXaX…Xa$$ ($$a$$が$$b$$個)
• $$aX\uparrow^{c+1} b = aX\uparrow^c\uparrow^c…\uparrow^c b$$ ($$\uparrow^c$$が$$b$$個)

この表記は右結合であり、$$a \uparrow ^d b \uparrow ^e c$$は常に$$a \uparrow ^d (b \uparrow ^e c)$$を意味する。

## 計算例

• $$2 \uparrow^1 3 = 2^3 = 8$$
• $$5 \uparrow^1 6 = 5^6 = 15625$$
• $$3 \uparrow^1\uparrow^1 4 = 3 \uparrow^1 3 \uparrow^1 3 \uparrow^1 3 = 3 \uparrow^1 3 \uparrow^1 27 = 3^{7625597484987}$$
• $$5 \uparrow^1\uparrow^1 3 = 5 \uparrow^1 5 \uparrow^1 5 = 5^{5^5}$$
• $$2 \uparrow^1\uparrow^1\uparrow^1 2 = 2 \uparrow^1\uparrow^1 2 = 2 \uparrow^1 2 = 2^2 = 4$$
• $$3 \uparrow^1\uparrow^1\uparrow^1 2 = 3 \uparrow^1\uparrow^1 3 = 3 \uparrow^1 3 \uparrow^1 3 = 3^{3^3} = 3^{27} = 7625597484987$$
• $$2 \uparrow^1\uparrow^1\uparrow^1 3 = 2 \uparrow^1\uparrow^1 2 \uparrow^1\uparrow^1 2 = 2 \uparrow^1\uparrow^1 4 = 2 \uparrow^1 2 \uparrow^1 2 \uparrow^1 2 = 2 \uparrow^1 2 \uparrow^1 4 = 2 \uparrow^1 16 = 65536$$
• $$2 \uparrow^2 3 = 2 \uparrow^1\uparrow^1\uparrow^1 3 = 65536$$
• $$2 \uparrow^2\uparrow^1 3 = 2 \uparrow^2 2 \uparrow^2 2 = 2 \uparrow^2 4 = 2 \uparrow^1\uparrow^1\uparrow^1\uparrow^1 4$$
• $$2 \uparrow^2\uparrow^2 3 = 2 \uparrow^2\uparrow^1\uparrow^1\uparrow^1 3 = 2 \uparrow^2\uparrow^1\uparrow^1 2 \uparrow^2\uparrow^1\uparrow^1 2 = 2 \uparrow^2\uparrow^1\uparrow^1 4 = 2 \uparrow^2\uparrow^1 2 \uparrow^2\uparrow^1 2 \uparrow^2\uparrow^1 2 \\ = 2 \uparrow^2\uparrow^1 2 \uparrow^2\uparrow^1 4 = 2 \uparrow^2\uparrow^1 2 \uparrow^2 2 \uparrow^2 2 \uparrow^2 2 = 2 \uparrow^2\uparrow^1 2 \uparrow^2 2 \uparrow^2 4 = 2 \uparrow^2\uparrow^1 2 \uparrow^2 2 \uparrow^1\uparrow^1\uparrow^1\uparrow^1 4$$
• $$2 \uparrow^2\uparrow^2\uparrow^2 3 = 2 \uparrow^2\uparrow^2\uparrow^1\uparrow^1\uparrow^1 3 = 2 \uparrow^2\uparrow^2\uparrow^1\uparrow^1 2 \uparrow^2\uparrow^2\uparrow^1\uparrow^1 2 = 2 \uparrow^2\uparrow^2\uparrow^1\uparrow^1 4$$
• $$2 \uparrow^3 3 = 2 \uparrow^2\uparrow^2\uparrow^2 3 = 2 \uparrow^2\uparrow^2\uparrow^1\uparrow^1\uparrow^1 3 = 2 \uparrow^2\uparrow^2\uparrow^1\uparrow^1 2 \uparrow^2\uparrow^2\uparrow^1\uparrow^1 2$$
• $$2 \uparrow^3\uparrow^3 3 = 2 \uparrow^3\uparrow^2\uparrow^2\uparrow^2 3 = 2 \uparrow^3\uparrow^2\uparrow^2\uparrow^1\uparrow^1\uparrow^1 3$$
• $$2 \uparrow^3\uparrow^3\uparrow^3 3 = 2 \uparrow^3\uparrow^3\uparrow^2\uparrow^2\uparrow^2 3 =2 \uparrow^3\uparrow^3\uparrow^2\uparrow^2\uparrow^1\uparrow^1\uparrow^1 3$$

$$\uparrow ^1 = \uparrow$$とおけば $$a \uparrow b$$は冪乗、$$a \uparrow\uparrow b$$はテトレーション、$$a \uparrow\uparrow\uparrow b$$はペンテーション、となり、矢印表記と同じになる。

## 急増加関数との比較

$$\uparrow^1$$については矢印表記と同値であるため省略する。

• $$3 \uparrow^2 a = 3 \uparrow^1\uparrow^1...\uparrow^1 a \sim f_\omega (a+1)$$
• $$3 \uparrow^2\uparrow^1 a = 3 \uparrow^2 3 \uparrow^2 ... \uparrow^2 3 \sim f_{\omega+1} (a)$$
• $$3 \uparrow^2\uparrow^1\uparrow^1 a \sim f_{\omega+2} (a)$$
• $$3 \uparrow^2\uparrow^2 a = 3 \uparrow^2\uparrow^1\uparrow^1...\uparrow^1 a \sim f_{\omega\times 2} (a)$$
• $$3 \uparrow^2\uparrow^2\uparrow^2 a = 3 \uparrow^2\uparrow^2\uparrow^1\uparrow^1...\uparrow^1 a \sim f_{\omega\times 3} (a)$$
• $$3 \uparrow^3 a = 3 \uparrow^2\uparrow^2...\uparrow^2 a \sim f_{\omega^2} (a)$$
• $$3 \uparrow^3\uparrow^1 a \sim f_{\omega^2+1} (a)$$
• $$3 \uparrow^3\uparrow^2 a \sim f_{\omega^2+\omega} (a)$$
• $$3 \uparrow^3\uparrow^3 a \sim f_{\omega^2 \times 2} (a)$$
• $$3 \uparrow^4 a = 3 \uparrow^3\uparrow^3...\uparrow^3 a \sim f_{\omega^3} (a)$$
• $$3 \uparrow^5 a \sim f_{\omega^4} (a)$$
• $$3 \uparrow^c a \sim f_{\omega^{c-1}} (a) \sim f_{\omega^{\omega}} (c-1)$$