白アスター表記はasterが2017年9月17日に動画内で公開した巨大数表記である[1][2]

白アスター表記は、巨大数の表記法の一つであり、モーザーの多角形表記 の拡張にあたる。通常の多角形の他に、星形(☆)とレベルの概念を追加することによって拡張している。

白アスター数は白アスター表記を用いて定義された巨大数である。


歴史

白アスター表記はモーザーの多角形表記と同様に図形と正整数の組み合わせで表される図を用いた巨大数の表記法であり、そのアイデアは図による説明で与えられている。一方でaster本人による\(\textrm{Ast}\)を用いた数式的な解釈も与えられていたが、数式的な解釈は図を用いた本来の意図と整合的でなく、計算規則も不完全であったために白アスター数を計算することが出来ない。

更に現在は「白アスター表記」と呼ばれる表記として、整数\(a \geq 3\)と\(b \geq 1\)と\(c \geq 2\)に対する文字列\(a[b][c]\)を用いたものが知られており wikipedia などで解説されているが、これはaster本人によるものではなく、aster本人も誰が作ったものなのか分からないと述べている。

ここでは白アスター表記を、aster本人による\(\textrm{Ast}\)を用いた数式的な解釈や製作者不明の文字列\(a[b][c]\)を用いた数式的解釈ではなく、aster本人による図を用いた説明を\(\textrm{Ast}\)を用いて数式的に正確に解釈し直したものを用いて解説する。


計算規則

まずは白アスター表記を説明するために用語を導入する。

  1. 定義を簡便に書き下すために、\(3\)以上の整数または\(\textrm{Ast}\)である文字列をここだけの用語として図形の型と呼び、星形のことを形式的に正\(\textrm{Ast}\)角形と呼ぶ。
  2. 図形の型\(p\)と整数\(n \geq 1\)に対し、正\(p\)角形の右肩に\(\langle n \rangle\)を乗せた図をレベル\(n\)の正\(p\)角形と呼ぶ。例えばレベル\(4\)の正\(3\)角形は\(\triangle^{\langle 4 \rangle}\)であり、レベル\(5\)の星形は\(\textrm{☆}^{\langle 5 \rangle}\)である。
  3. \(a\)を図または\(3\)以上の整数とする。レベル\(n\)の正\(p\)角形の内部に\(a\)を入れた図を\(p[a,\langle n \rangle]\)と表し、レベル\(n\)の正\(p\)角形の中の\(a\)と呼ぶ。例えばレベル\(4\)の正\(3\)角形の中の\(5\)である\(3[5,\langle 4 \rangle]\)は\(\triangle^{\langle 4 \rangle}\)の内部に\(5\)を入れた図であり、レベル\(5\)の正\(4\)角形の中のレベル\(6\)の星形の中の\(7\)である\(4[\textrm{Ast}[7,\langle 6 \rangle],\langle 5 \rangle]\)は\(\textrm{□}^{\langle 5 \rangle}\)の内部に「\(\textrm{☆}^{\langle 6 \rangle}\)の内部に\(7\)を入れた図」を入れた図である。


白アスター表記で用いる図全体の集合\(D\)は以下のように再帰的に定義される:

  1. いかなる整数\(a \geq 3\)に対しても、\(a \in D\)である。
  2. いかなる図形の型\(p\)と整数\(n \geq 1\)と図\(d \in D\)に対しても、\(p[d,\langle n \rangle] \in D\)である。


白アスター表記において図\(d \in D\)の表す整数\(f(d)\)は以下のように再帰的に定義される:

  1. \(d\)が整数であるならば、\(f(d) = d\)である。
  2. \(d = p[a,\langle n \rangle]\)を満たす図形の型\(p\)と整数\(n \geq 1\)と図\(a \in D\)が存在するとする。
    1. \(p = 3\)かつ\(n = 1\)であるならば、\(f(d) = f(a)^{f(a)}\)である。
    2. \(p = 3\)かつ\(n \neq 1\)であるならば、\(f(d) = f(\textrm{Ast}[ \cdots \textrm{Ast}[f(a),\langle n-1 \rangle] \cdots, \langle n-1 \rangle])\)(\(\textrm{Ast}\)が\(f(a)\)個、すなわち\(f(a)\)重のレベル\(n-1\)の星型の中の\(f(a)\)の表す整数)である。
    3. \(p \neq 3, \textrm{Ast}\)であるならば、\(f(d) = f(p-1[ \cdots p-1[f(a),\langle n \rangle] \cdots, \langle n \rangle])\)(\(p-1\)が\(f(a)\)個、すなわち\(f(a)\)重のレベル\(n\)の正\(p-1\)角形の中の\(f(a)\)の表す整数)である。
    4. \(p = \textrm{Ast}\)であるならば、\(f(d) = f(f(a)[f(a),\langle n \rangle])\)である。

大雑把には、\(f\)の計算は図の最も内側から評価していく。従って(\(d\)の表す整数の定義そのもので\(f\)を省略してしまうと曖昧になるが)結果的に\(f(d)\)の計算においては\(f\)を完全に省略して内側から順に評価しても曖昧でない。

白アスター表記は全域かつ計算可能である。すなわち写像 \begin{eqnarray*} f \colon D & \to & \mathbb{N} \\ d & \mapsto & f(d) \end{eqnarray*} は全域計算可能関数である。また巨大数研究 Wikiユーザーのみずどらによって白アスター表記のjavaによる実装が公開され[3]、巨大数研究 WikiユーザーのOkkuuによってそのコードの検証が行われた[4]

白アスター数はレベル\(64\)の星形の中の\(5\)の表す整数\(f(\textrm{Ast}[5,\langle 64 \rangle])\)として定義される。


近似

白アスター数は チェーン表記 を用いて\(\underbrace{5→5→\cdots→5→4}_{66~{\rm 個}}\)と近似される。


計算例

白アスター数の計算過程を\(f\)を省略して書き下す。

\begin{eqnarray*} & & \textrm{Ast}[5,\langle 64 \rangle]) = 5[5,\langle 64 \rangle] = 4[4[4[4[4[5,\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle] \\ & = & 4[4[4[4[3[3[3[3[3[5,\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle] \\ & = & 4[4[4[4[3[3[3[3[\textrm{Ast}[\textrm{Ast}[\textrm{Ast}[\textrm{Ast}[\textrm{Ast}[5,\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle] \\ & = & 4[4[4[4[3[3[3[3[\textrm{Ast}[\textrm{Ast}[\textrm{Ast}[\textrm{Ast}[5[5,\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle] \\ & = & 4[4[4[4[3[3[3[3[\textrm{Ast}[\textrm{Ast}[\textrm{Ast}[\textrm{Ast}[4[4[4[4[4[5,\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle] \\ & = & 4[4[4[4[3[3[3[3[\textrm{Ast}[\textrm{Ast}[\textrm{Ast}[\textrm{Ast}[4[4[4[4[3[3[3[3[3[5,\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle] \\ & \vdots & \\ & = & 4[4[4[4[3[3[3[3[\textrm{Ast}[\textrm{Ast}[\textrm{Ast}[\textrm{Ast}[4[\cdots 4[3[3[3[3[5,\langle 1 \rangle],\langle 1 \rangle],\langle 1 \rangle],\langle 1 \rangle],\langle 1 \rangle]\cdots,\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle] \\ & = & 4[4[4[4[3[3[3[3[\textrm{Ast}[\textrm{Ast}[\textrm{Ast}[\textrm{Ast}[4[\cdots 4[3[3[3[5^5,\langle 1 \rangle],\langle 1 \rangle],\langle 1 \rangle],\langle 1 \rangle]\cdots,\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle] \\ & = & 4[4[4[4[3[3[3[3[\textrm{Ast}[\textrm{Ast}[\textrm{Ast}[\textrm{Ast}[4[\cdots 4[3[3[(5^5)^{5^5},\langle 1 \rangle],\langle 1 \rangle],\langle 1 \rangle]\cdots,\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle] \\ & = & 4[4[4[4[3[3[3[3[\textrm{Ast}[\textrm{Ast}[\textrm{Ast}[\textrm{Ast}[4[\cdots 4[3[((5^5)^{5^5})^{(5^5)^{5^5}},\langle 1 \rangle],\langle 1 \rangle]\cdots,\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle] \\ & = & 4[4[4[4[3[3[3[3[\textrm{Ast}[\textrm{Ast}[\textrm{Ast}[\textrm{Ast}[4[\cdots 4[(((5^5)^{5^5})^{(5^5)^{5^5}})^{((5^5)^{5^5})^{(5^5)^{5^5}}},\langle 1 \rangle]\cdots,\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 63 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle],\langle 64 \rangle] & \vdots & \end{eqnarray*}

ここまでの計算過程では星形、正\(5\)角形、正\(4\)角形、正\(3\)角形しか現れないが、この後一番内側の図\(4[4[4[4[(((5^5)^{5^5})^{(5^5)^{5^5}})^{((5^5)^{5^5})^{(5^5)^{5^5}}},\langle 1 \rangle]]\)が展開され\(3\)重のレベル\(1\)の正\(4\)角形の内部に\((((5^5)^{5^5})^{(5^5)^{5^5}})^{((5^5)^{5^5})^{(5^5)^{5^5}}}\)重のレベル\(1\)の正\(3\)角形が描画され、更にそれを評価して得られる整数を\(N\)と置くと、1つ外側の\(\textrm{Ast}[N,\langle 1 \rangle]\)が評価され正\(N\)角形が現れる。\(N > (((5^5)^{5^5})^{(5^5)^{5^5}})^{((5^5)^{5^5})^{(5^5)^{5^5}}}\)であるので、この図はほとんど円である。

出典

  1. ニコニコ動画におけるasterのユーザーページ.
  2. aster, ゆっくり巨大数講座 Part(3)[後編], ニコニコ動画.
  3. みずどら, 式神巨大数エントリー 編集中, 巨大数研究 Wikiユーザーブログ.
  4. Hexirp, (2020-08-28) 式神巨大数の近況報告#11, 巨大数研究 Wikiユーザーブログ.
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