混成階乗 (mixed factorization)は、次のように再帰的に定義される:

\[1^* = 1\]

\[(n + 1)^* = n^* +^n (n + 1)\]

ここで\(+^n\)は\(n\)番目のハイパー演算子で、加算から始まる。 例えば、 \(4^* = ((1 + 2) \cdot 3) \uparrow 4\)。この列は次のように視覚化される、1から始まり、2を加え、3を掛け、4でべき乗し、5でテトレーションし、...

Googology WikiユーザーのSpongeTechXにより命名された。

\(n\) \(n^{*}\)
\(1\) \(1\)
\(2\) \(1+2=3\)
\(3\) \((1+2)\times3=9\)
\(4\) \(((1+2)\times3)^{4}=6561\)
\(5\) \(((1+2)\times3)^{4}\uparrow\uparrow5=6561^{6561^{6561^{6561^{6561}}}}\)
\(6\) \((((1+2)\times3)^{4}\uparrow\uparrow5)\uparrow\uparrow\uparrow6=6561^{6561^{6561^{6561^{6561}}}}\uparrow\uparrow\uparrow6\)

拡張

このプロセスを繰り返すことで、 (n*)*, ((n*)*)* や n**, n***, n****...が作られる。n*2, n*3とも書かれる。

もっと拡張して、 n*x*...x(xはk個を)n*(x,k)とも書ける。見ればわかるが、xは混成階乗の変数で、kはその回数である。

出典

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