集合論において正規関数 (normal function) とは、狭義単調増加かつスコット連続な(定義可能な)関数 \(f \colon \text{On} \to \text{On}\) である。ここで \(\text{On}\) は順序数のクラスである。順序数 \(\alpha\) に対して \(f \colon \alpha \to \alpha\) を満たす関数を正規関数とする場合もある。定義域と値域を明確にするときには、前者を \(\text{On}\) における正規関数、後者を \(\alpha\) の上の正規関数と呼ぶ[1]

説明

\(f\) が狭義単調増加であるとは、いかなる順序数 \(\alpha, \beta\) に対しても \(\alpha < \beta\) ならば \(f(\alpha) < f(\beta)\) が成り立つことである。\(f\)がスコット連続(あるいは単に連続)であるとは、いかなる極限順序数 \(\alpha \neq 0\) に対しても \(f(\alpha) = \sup\{f(\beta) \mid \beta < \alpha\}\) が成り立つことである。

恒等関数 \(f(\alpha)=\alpha\) が正規関数であることは自明である。\(f(\alpha)=1+\alpha\) や \(f(\alpha)=\omega^\alpha\) も正規関数である。後者関数 \(f(\alpha)=\alpha+1\) は正規関数ではない。

関連項目

参考文献

  1. O. Veblen, Continuous Increasing Functions of Finite and Transfinite Ordinals, Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 9, No. 3 (1908), pp.280--292.
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