横ネスト段階配列表記

\(\newcommand{\a}{\alpha}\newcommand{\b}{\beta}\newcommand{\g}{\gamma}\newcommand{\d}{\delta}\newcommand{\e}{\varepsilon}\newcommand{\z}{\zeta}\)横ネスト段階配列表記はmrnaが2021年3月7日に公開した巨大数表記である。

横ネスト段階配列表記は同氏が作成した段階配列表記の拡張である。

横ネスト段階配列数は横ネスト段階配列表記を用いて定義された巨大数である。

定義

文字列集合\(S\)

0 ( ) , + のみから成る文字列の集合\(S\)を以下のように定義する。

• 0は\(S\)に属する。
• いかなる\(\a,\b \in S\setminus\{0\}\)に対しても、文字列"\(\a+\b\)"は\(S\)に属する。
• いかなる\(\a,\b \in S\)に対しても、文字列"\((\a,\b)\)"は\(S\)に属する。

文字列集合\(P\)

\(S\)の部分集合\(P\)を以下のように定義する。

• いかなる\(\a,\b \in S\)に対しても、文字列"\((\a,\b)\)"は\(P\)に属する。

文字列集合\(D\)

\(S\)の部分集合\(D\)を以下のように定義する。

• 文字列"\((0,0)\)"は\(D\)に属する。
• いかなる\(\a\in S\setminus\{0\} \)に対しても、文字列"\(\a+(0,0)\)"は\(D\)に属する。

写像\(d(\a)\)の定義

写像 \begin{aligned}d:D&\rightarrow S\\\a&\mapsto d(\a)\end{aligned} を以下のように定義する。

• \(\a = (0,0)\)と表せられるならば、 \(d(\a) = 0\)
• \(\a = \b + (0,0)~ (\b \in S\setminus\{0\})\)と表せられるならば、 \(d(\a) = \b\)

\(S\)上の大小関係\(\a \lt \b\)の定義

• \(\a = 0\)のとき、\(\a \lt \b\)は\(\b \neq 0\)と同値。
• \(\a \neq 0\)かつ\(\b = 0\)のとき、\(\a \lt \b\)は成り立たない。
• \(\a \neq 0\)かつ\(\b \neq 0\)のとき、
  • \(\a \in P\)かつ\(\b \in P\)のとき、\(\a = (\g,\d)\)かつ\(\b \in(\e,\z)~(\g,\d,\e,\z \in S)\)のとき、
    \(\a \lt \b\)は\(\g \lt \e\)または(\(\g = \e\)かつ\(\d \lt \zeta\))と同値。
  • \(\a \in P\)かつ\(\b \in S\setminus P\)のとき、\(\b =\g+\d~(\g\in P,\d\in S\setminus\{0\})\)のとき、
    \(\a \lt \b\)は\(\a \lt \g\)または\(\a = \g\)と同値。
  • \(\a \in S\setminus P\)かつ\(\b \in P\)のとき、\(\a =\g+\d~(\g\in P,\d\in S\setminus\{0\})\)のとき、
    \(\a \lt \b\)は\(\g \lt \b\)と同値。
  • \(\a \in S\setminus P\)かつ\(\b \in S\setminus P\)のとき、\(\a =\g+\d\)かつ\(\b = \e+\z~(\g,\e\in P,\d,\z\in S\setminus\{0\})\)のとき、
    \(\a \lt \b\)は\(\g \lt \e\)または(\(\g=\e\)かつ\(\d \lt \z\))と同値。

文字列集合\(TB_\a\)の定義

\(\a\in S\)としたとき、0 k ( ) , + のみから成る文字列の集合\(TB_\a\)を以下のように定義する。

• 文字kは\(TB_\a\)に属する。
• いかなる\(\b \in S\setminus \{0\}\)と\(\g \in S\setminus \{0\}\)に対しても、文字列の"\(\b+\g\)"は\(TB_\a\)に属する。
• いかなる\(\b \in TB_\a\)に対しても、文字列"\((\b,0)\)"は\(TB_\a\)に属する。
• いかなる\(\b \in TB_\a\)と\(\g \in ST\)に対しても、\(\g \lt \a\)でないなら文字列"\((\g,\b)\)"は\(TB_\a\)に属する。

\(TB_{\a,\b}(\g)\)を\(TB_\a\)の要素\(\b\)の文字\(k\)を文字列\(\g\)に置き換えた文字列とする。

文字列集合\(RB_{\a,\b}\)の定義

\(\a\in S,\b\in TB_\a\)としたとき、0 k ( ) , + のみから成る文字列の集合\(RB_{\a,\b}\)を以下のように定義する。

• \(TB_\a \subset RB_{\a,\b}\)である。
• いかなる\(\g \in RB_{\a,\b}\)と\(\d \in D\)と\(\e \in TB_\a\)に対しても、\(\d \lt \a\)かつ\(TB_{\a,\b}((\a,0)) \lt TB_{\a,\e}((\d,0))\)なら文字列"\(TB_{\a,\e}((d(\d),\g))\)"はRB_{\a,\b}に属する。

\(RB_{\a,\b,\g}(\d)\)を\(RB_{\a,\b}\)の要素\(\g\)の文字\(k\)を文字列\(\d\)に置き換えた文字列とする。

写像\(f(\a,n)\)の定義

正整数全体の集合を\(\mathbb N_+\)と置き、写像 \begin{aligned}f:S \times \mathbb N_+ &\rightarrow S\\(\a,n)&\mapsto f(\a,n)\end{aligned} を以下のように定義する。

• \(\a=0\)または\((\g,0)~(\g \in S)\)と表せられるとき、\(f(\a,n)=0\)
• \(\a = \b+(\g,0)~(\b\in S\setminus \{0\},\g \in S )\)と表せられるとき、\(f(\a,n)=\b\)
• \(\a = \b+\g~(\b\in S\setminus \{0\},\g \in P\setminus \{(\d,0)\mid\d\in S\} )\)と表せられるとき、\(f(\a,n)=\b+f(\g,n)\)
• \(\a = (\b,\g)~(\b\in S\setminus \{0\},\g \in S)\)と表せられるとき、\(f(\a,n)=(0,\g)\)
• \(\a = (0,a)~(a\in S\setminus \{0\},\g \in S)\)のとき
  • \(\a = TB_{0,\b}((\g,\d))~(\b\in TB_0,\g\in S,\d\in D) \)と表せられるとき、

\[f(\a,n) = TB_{0,\b}((\underbrace{\g,d(\d))+(\g,d(\d))+\cdots+(\g,d(\d)}_{(\g,d(\d))~n個}))\]

• • \(\a = TB_{0,c}((b,TB_{\d,\b}((\d.0)) ))~(c\in TB_0,b\in S,\b\in TB_\d ,\d\in D) \)と表せられるとき、
    • \(\a = (0,RB_{\d,\b,\g}((\d,0)))~(\g\in RB_{\d,\b},\d\in D)\)と表せられるとき

\[f(\a,n) = (0,\underbrace{RB_{\d,\b,\g}((d(\d),RB_{\d,\b,\g}((d(\d),\cdots RB_{\d,\b,\g}((d(\d),0))\cdots))))}_{RB_{\d,\b,\g}~n個}) \]

• • • \(\a=TB_{0,\eta}((\z,TB_{\d,\e}((Ι,RB_{\d,\b,\g}((\d,0))))))~(\e∈TB_\d,\g∈RB_{\d,\b},\d∈D,\z∈S,\z＜\d　TB_{\d,\e}(Ι+(0,0))＜TB_{\d,\b}((\d,0)),\eta∈TB_0,Ι∈S\setminus \{0\},Ι＜\a)\)と表せられるとき

\[f(\a,n)=TB_{0,\eta}((\z,TB_{\d,\e}\underbrace{((Ι,RB_{\a,\b,\g}((d(\d),RB_{\a,\b,\g}((d(\d),..RB_{\a,\b,\g}((d(\d),0))...))))))}_{RB_{\a,\b,\g}~n個}))\]

巨大数表記

• \(0[n] = n\times 2\)
• \(\a[n] = f(\a,n)[n\times 2]~(\a \neq 0)\)

写像\(g(n):\mathbb{N}_+\rightarrow S;n\mapsto g(n)\)の定義

• \(g(1)=(0,0)\)
• \(g(n+1)=(g(n),0)\)

巨大数

\(h(n)=(0,g(n))[n]\)としたとき\(h^{100}(100)\)を横ネスト段階配列数と名付ける。