極限順序数の一覧

ここでは急増加関数によく使用する超限順序数について、簡単な解説を含めて並べます。ちんげみたいなののどれがどれより大きいんだっけみたいなのすぐ忘れてしまう人用にそういうものがあったらいいなというあれです。

順序数	解説	基本列
\(\omega\)	最小の超限順序数かつ最小の極限順序数	\(0, 1, 2, 3, \cdots\)
\(\omega \times 2 = \omega + \omega\)		\(\omega, \omega+1, \omega+2, \omega+3, \cdots\)
\(\omega \times 3 = \omega \times 2 + \omega\)		\(\omega \times 2, \omega \times 2 +1, \omega \times 2 +2, \omega \times 2 +3, \cdots\)
\(\omega^2 = \omega \times \omega\)		\(0, \omega, \omega \times 2, \omega \times 3, \omega \times 4, \cdots\)
\(\omega^3 = \omega^2 \times \omega\)		\(0, \omega^2, \omega^2 \times 2, \omega^2 \times 3, \omega^2 \times 4, \cdots\)
\({^{2}\omega} = \omega^\omega = \omega \uparrow \uparrow 2\)		\(1, \omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4, \cdots\)
\(\omega^{\omega+1} = \omega^{\omega} \cdot \omega\)		\(0, \omega^{\omega}, \omega^{\omega} \cdot 2, \omega^{\omega} \cdot 3, \omega^{\omega} \cdot 4, \cdots\)
\({^{3}\omega} = \omega^{\omega^\omega} = \omega \uparrow \uparrow 3\)		\(\omega, \omega^\omega, \omega^{\omega^2}, \omega^{\omega^3}, \omega^{\omega^4}, \cdots\)
\(\varepsilon_0\)\( = \omega \uparrow \uparrow \omega\)	\(\alpha = \omega^\alpha\) が成り立つ最小の順序数	\(1, \omega, \omega^\omega, \omega^{\omega^\omega}, \omega^{\omega^{\omega^\omega}}, \cdots\)
\(\varepsilon_1 = {^{\omega}\varepsilon_0}\)	\(\alpha = \omega^\alpha\) が成り立つ 2 番目の順序数（最初を0番目と数えて、1番目と書かれることも多い）	\(1, \varepsilon_0, \varepsilon_0^{\varepsilon_0}, \varepsilon_0^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}, \varepsilon_0^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}}, \cdots\) または \(\varepsilon_0+1, \omega^{\varepsilon_0+1}, \omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}}, \omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}}}, \cdots\)
\(\varepsilon_2 = {^{\omega}\varepsilon_1}\)	\(\alpha = \omega^\alpha\) が成り立つ 3 番目の順序数	\(1, \varepsilon_1, \varepsilon_1^{\varepsilon_1}, \varepsilon_1^{\varepsilon_1^{\varepsilon_1}}, \varepsilon_1^{\varepsilon_1^{\varepsilon_1^{\varepsilon_1}}}, \cdots\)
\(\varepsilon_\omega\)	\(\alpha = \omega^\alpha\) が成り立つ \(\omega\) 番目の順序数	\(\varepsilon_0, \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \cdots\)
\(\varepsilon_{\omega+1} = {^{\omega}\varepsilon_\omega}\)	\(\alpha = \omega^\alpha\) が成り立つ \(\omega+1\) 番目の順序数	\(1, \varepsilon_\omega, \varepsilon_\omega^{\varepsilon_\omega}, \varepsilon_\omega^{\varepsilon_\omega^{\varepsilon_\omega}}, \varepsilon_\omega^{\varepsilon_\omega^{\varepsilon_\omega^{\varepsilon_\omega}}}, \cdots\) または \(\varepsilon_\omega+1, \omega^{\varepsilon_\omega+1}, \omega^{\omega^{\varepsilon_\omega+1}}, \omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_\omega+1}}}, \cdots\)
\(\varepsilon_{\varepsilon_0}\)	\(\alpha = \omega^\alpha\) が成り立つ \(\varepsilon_0\) 番目の順序数	\(\varepsilon_1, \varepsilon_\omega, \varepsilon_{\omega^{\omega}}, \varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega}}}, \varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}}, \cdots\)
\(\phi(2,0) = \eta_0\) (GWiki では \(\zeta_0\))	\(\alpha = \varepsilon_\alpha\) が成り立つ最小の順序数	\(0, \varepsilon_0, \varepsilon_{\varepsilon_0}, \varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}, \varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}}, \cdots\)
\(\phi(2,1) = \eta_1\) (\(\zeta_1\))	\(\alpha = \varepsilon_\alpha\) が成り立つ2番目の順序数	\(\phi(2,0)+1, \varepsilon_{\phi(2,0)+1}, \varepsilon_{\varepsilon_{\phi(2,0)+1}}, \cdots\)

\begin{eqnarray*} \omega\\ \omega+1\\ \omega+2&=&\omega+1+1\\ \omega2&=&\omega+\omega&=&\omega+1+1+1+…\\ \omega3&=&\omega+\omega+\omega\\ \omega^2&=&\omega×\omega&=&\omega+\omega+\omega+…\\ \omega^3&=&\omega×\omega×\omega&=&\omega×\omega+\omega+\omega+\omega+…\\ \omega^\omega&=&^2\omega&=&\omega×\omega×\omega×…\\ ^3\omega&=&\omega^{\omega^\omega}\\ \varepsilon_0&=&^\omega\omega&=&\omega^{\omega^{\omega^{\omega^…}}}\\ \varepsilon_1&=&(\omega\uparrow)^\omega (\varepsilon_0+1)&=&^\omega \varepsilon_0&=&\varepsilon_0^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0^…}}}\\ \varepsilon_2&=&(\omega\uparrow)^\omega (\varepsilon_1+1)&=&^\omega \varepsilon_1&=&\varepsilon_1^{\varepsilon_1^{\varepsilon_1^{\varepsilon_1^…}}}\\ \varepsilon_{\varepsilon_0}&=&\varepsilon_{^\omega\omega}&=&\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^…}}}}\\ \end{eqnarray*} 続く