ここでは急増加関数によく使用する超限順序数について、簡単な解説を含めて並べます。
どれがどれより大きいのか、というのをすぐ忘れてしまう人の為に、そういうものがあったらいいな、ということで作ってあります。
\(\varphi\) 関数の定義はこちらで、\(\vartheta\) 関数の定義はこちらで、 \(\psi\) 関数の定義はこちらです。この他にも \(\psi\) 関数としてよく知られている拡張ブーフホルツのψ関数やラティエンのψ関数やその亜種がありますが、特に海外コミュニティにおける巨大数研究ではしばしばそれらと混同される未定義な関数が存在するのでご注意下さい。どの \(\psi\) 関数であるかを明記せずに \(\psi\) という記号が使われている場合は、基本的に未定義な関数である可能性が高いです。
| 順序数 | 解説 | 代表的な基本列 |
|---|---|---|
| \(\omega\) | 最小の超限順序数かつ最小の極限順序数かつ最小の許容順序数 | \(0, 1, 2, 3, \cdots\) |
| \(\omega \times 2 = \omega + \omega\) | \(\omega, \omega+1, \omega+2, \omega+3, \cdots\) | |
| \(\omega \times 3 = \omega \times 2 + \omega\) | \(\omega \times 2, \omega \times 2 +1, \omega \times 2 +2, \omega \times 2 +3, \cdots\) | |
| \(\omega^2 = \omega \times \omega\) | \(0, \omega, \omega \times 2, \omega \times 3, \omega \times 4, \cdots\) | |
| \(\omega^2+\omega\) | \(\omega^2,\omega^2+1,\omega^2+2,\omega^2+3,\cdots\) | |
| \(\omega^2\times2\) | \(\omega^2,\omega^2+\omega,\omega^2+\omega\times2,\omega^2+\omega\times3,\cdots\) | |
| \(\omega^3 = \omega^2 \times \omega\) | \(0, \omega^2, \omega^2 \times 2, \omega^2 \times 3, \omega^2 \times 4, \cdots\) | |
| \(\omega^\omega\) | \(1, \omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4, \cdots\) | |
| \(\omega^{\omega+1} = \omega^{\omega} \cdot \omega\) | \(0, \omega^{\omega}, \omega^{\omega} \cdot 2, \omega^{\omega} \cdot 3, \omega^{\omega} \cdot 4, \cdots\) | |
| \(\omega^{\omega+2}\) | \(0,\omega^{\omega+1},\omega^{\omega+1}\times2,\omega^{\omega+1}\times3,\cdots\) | |
| \(\omega^{\omega\times2}\) | \(\omega^\omega,\omega^{\omega+1},\omega^{\omega+2},\omega^{\omega+3},\cdots\) | |
| \(\omega^{\omega^2}\) | \(1,\omega^\omega,\omega^{\omega\times2},\omega^{\omega\times3},\cdots\) | |
| \(\omega^{\omega^\omega}\) | \(\omega, \omega^\omega, \omega^{\omega^2}, \omega^{\omega^3}, \omega^{\omega^4}, \cdots\) | |
| \(\varepsilon_0\) | \(\alpha = \omega^\alpha\) が成り立つ最小の順序数 | \(1, \omega, \omega^\omega, \omega^{\omega^\omega}, \omega^{\omega^{\omega^\omega}}, \cdots\) |
| \(\varepsilon_0\times2\) | \(\varepsilon_0+1,\varepsilon_0+\omega,\varepsilon_0+\omega^\omega,\varepsilon_0+\omega^{\omega^\omega},\cdots\) | |
| \(\varepsilon_0\times\omega\) | \(0,\varepsilon_0,\varepsilon_0\times2,\varepsilon_0\times3,\cdots\) | |
| \(\varepsilon_0^2\) | \(\varepsilon_0,\varepsilon_0\times\omega,\varepsilon_0\times\omega^\omega,\varepsilon_0\times\omega^{\omega^\omega},\cdots\) | |
| \(\varepsilon_0^\omega\) | \(1,\varepsilon_0,\varepsilon_0^2,\varepsilon_0^3,\cdots\) | |
| \(\varepsilon_0^{\varepsilon_0}\) | \(\varepsilon_0,\varepsilon_0^\omega,\varepsilon_0^{\omega^\omega},\varepsilon_0^{\omega^{\omega^\omega}},\cdots\) | |
| \(\varepsilon_1\) | \(\alpha = \omega^\alpha\) が成り立つ 2 番目の順序数（最初を0番目と数えて、1番目と書かれることも多い） | \(1, \varepsilon_0, \varepsilon_0^{\varepsilon_0}, \varepsilon_0^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}, \varepsilon_0^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}}, \cdots\)
または \(\varepsilon_0+1, \omega^{\varepsilon_0+1}, \omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}}, \omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}}}, \cdots\) |
| \(\varepsilon_2\) | \(\alpha = \omega^\alpha\) が成り立つ 3 番目の順序数 | \(1, \varepsilon_1, \varepsilon_1^{\varepsilon_1}, \varepsilon_1^{\varepsilon_1^{\varepsilon_1}}, \varepsilon_1^{\varepsilon_1^{\varepsilon_1^{\varepsilon_1}}}, \cdots\) |
| \(\varepsilon_\omega\) | \(\alpha = \omega^\alpha\) が成り立つ \(\omega\) 番目の順序数 | \(\varepsilon_0, \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \cdots\) |
| \(\varepsilon_{\omega+1}\) | \(\alpha = \omega^\alpha\) が成り立つ \(\omega+1\) 番目の順序数 | \(1, \varepsilon_\omega, \varepsilon_\omega^{\varepsilon_\omega}, \varepsilon_\omega^{\varepsilon_\omega^{\varepsilon_\omega}}, \varepsilon_\omega^{\varepsilon_\omega^{\varepsilon_\omega^{\varepsilon_\omega}}}, \cdots\)
または \(\varepsilon_\omega+1, \omega^{\varepsilon_\omega+1}, \omega^{\omega^{\varepsilon_\omega+1}}, \omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_\omega+1}}}, \cdots\) |
| \(\varepsilon_{\omega\times2}\) | \(\alpha = \omega^\alpha\) が成り立つ \(\omega\times2\) 番目の順序数 | \(\varepsilon_{\omega},\varepsilon_{\omega+1},\varepsilon_{\omega+2},\varepsilon_{\omega+3},\cdots\) |
| \(\varepsilon_{\omega^2}\) | \(\varepsilon_0,\varepsilon_\omega,\varepsilon_{\omega\times2},\varepsilon_{\omega\times3},\cdots\) | |
| \(\varepsilon_{\omega^\omega}\) | \(\varepsilon_1,\varepsilon_\omega,\varepsilon_{\omega^2},\varepsilon_{\omega^3},\cdots\) | |
| \(\varepsilon_{\varepsilon_0}\) | \(\alpha = \omega^\alpha\) が成り立つ \(\varepsilon_0\) 番目の順序数 | \(\varepsilon_1, \varepsilon_\omega, \varepsilon_{\omega^{\omega}}, \varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega}}}, \varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}}, \cdots\) |
| \(\phi\)\((2,0) = \eta_0\) (GWiki では \(\zeta_0\)) | \(\alpha = \varepsilon_\alpha\) が成り立つ最小の順序数 | \(0, \varepsilon_0, \varepsilon_{\varepsilon_0}, \varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}, \varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}}, \cdots\) |
| \(\phi(2,0)^2\) | \(0,\phi(2,0)\times\varepsilon_0,\phi(2,0)\times\varepsilon_{\varepsilon_0},\phi(2,0)\times\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}},\cdots\) | |
| \(\phi(2,0)^\omega\) | \(1,\phi(2,0),\phi(2,0)^2,\phi(2,0)^3,\cdots\) | |
| \(\phi(2,0)^{\varepsilon_0}\) | \(\phi(2,0),\phi(2,0)^\omega,\phi(2,0)^{\omega^\omega},\phi(2,0)^{\omega^{\omega^\omega}},\cdots\) | |
| \(\phi(2,0)^{\phi(2,0)}\) | \(1,\phi(2,0)^{\varepsilon_0},\phi(2,0)^{\varepsilon_{\varepsilon_0}},\phi(2,0)^{\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}},\cdots\) | |
| \(\varepsilon_{\phi(2,0)+1}\) | \(1,\phi(2,0),\phi(2,0)^{\phi(2,0)},\phi(2,0)^{\phi(2,0)^{\phi(2,0)}},\cdots\) | |
| \(\varepsilon_{\phi(2,0)+2}\) | \(1,\varepsilon_{\phi(2,0)+1},\varepsilon_{\phi(2,0)+1}^{\varepsilon_{\phi(2,0)+1}},\varepsilon_{\phi(2,0)+1}^{\varepsilon_{\phi(2,0)+1}^{\varepsilon_{\phi(2,0)+1}}},\cdots\) | |
| \(\varepsilon_{\phi(2,0)+\omega}\) | \(\phi(2,0),\varepsilon_{\phi(2,0)+1},\varepsilon_{\phi(2,0)+2},\varepsilon_{\phi(2,0)+3},\cdots\) | |
| \(\varepsilon_{\phi(2,0)+\omega\times2}\) | \(\varepsilon_{\phi(2,0)+\omega},\varepsilon_{\phi(2,0)+\omega+1},\varepsilon_{\phi(2,0)+\omega+2},\varepsilon_{\phi(2,0)+\omega+3},\cdots\) | |
| \(\varepsilon_{\phi(2,0)\times2}\) | \(\varepsilon_{\phi(2,0)},\varepsilon_{\phi(2,0)+\varepsilon_0},\varepsilon_{\phi(2,0)+\varepsilon_{\varepsilon_0}},\varepsilon_{\phi(2,0)+\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}},\cdots\) | |
| \(\varepsilon_{\phi(2,0)\times\omega}\) | \(\varepsilon_0,\phi(2,0),\varepsilon_{\phi(2,0)\times2},\varepsilon_{\phi(2,0)\times3},\cdots\) | |
| \(\varepsilon_{\phi(2,0)^2}\) | \(\varepsilon_1,\varepsilon_{\phi(2,0)\times\varepsilon_0},\varepsilon_{\phi(2,0)\times\varepsilon_{\varepsilon_0}},\varepsilon_{\phi(2,0)\times\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}},\cdots\) | |
| \(\varepsilon_{\phi(2,0)^{\phi(2,0)}}\) | \(\varepsilon_1,\varepsilon_{\phi(2,0)^{\varepsilon_0}},\varepsilon_{\phi(2,0)^{\varepsilon_{\varepsilon_0}}}\varepsilon_{\phi(2,0)^{\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}}},\cdots\) | |
| \(\varepsilon_{\varepsilon_{\phi(2,0)+1}}\) | \(\varepsilon_1,\phi(2,0),\varepsilon_{\phi(2,0)^{\phi(2,0)}},\varepsilon_{\phi(2,0)^{\phi(2,0)^{\phi(2,0)}}},\cdots\) | |
| \(\phi(2,1) = \eta_1\) (\(\zeta_1\)) | \(\alpha = \varepsilon_\alpha\) が成り立つ2番目の順序数 | \(\phi(2,0)+1, \varepsilon_{\phi(2,0)+1}, \varepsilon_{\varepsilon_{\phi(2,0)+1}}, \cdots\) |
| \(\varepsilon_{\phi(2,1)+1}\) | \(1,\phi(2,1),\phi(2,1)^{\phi(2,1)},\phi(2,1)^{\phi(2,1)^{\phi(2,1)}},\cdots\) | |
| \(\phi(2,2) = \eta_2\) (\(\zeta_2\)) | \(\alpha = \varepsilon_\alpha\) が成り立つ3番目の順序数 | \(\phi(2,1)+1, \varepsilon_{\phi(2,1)+1}, \varepsilon_{\varepsilon_{\phi(2,1)+1}}, \cdots\) |
| \(\phi(2,\omega) = \eta_\omega\) (\(\zeta_\omega\)) | \(\alpha = \varepsilon_\alpha\) が成り立つ\(\omega\)番目の順序数 | \(\phi(2,0), \phi(2,1), \phi(2,2), \phi(2,3), \cdots\) |
| \(\varepsilon_{\phi(2,\omega)+1}\) | \(1,\phi(2,\omega),\phi(2,\omega)^{\phi(2,\omega)},\phi(2,\omega)^{\phi(2,\omega)^{\phi(2,\omega)}},\cdots\) | |
| \(\phi(2,\omega+1)\) | \(\phi(2,\omega)+1,\varepsilon_{\phi(2,\omega)+1},\varepsilon_{\varepsilon_{\phi(2,\omega)+1}},\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_{\phi(2,\omega)+1}}},\cdots\) | |
| \(\phi(2,\phi(2,0))\) | \(\phi(2,0),\phi(2,\varepsilon_0),\phi(2,\varepsilon_{\varepsilon_0}),\phi(2,\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}),\cdots\) | |
| \(\phi(3,0)\) | \(\alpha = \phi(2,\alpha)\) が成り立つ最小の順序数 | \(0,\phi(2,0), \phi(2,\phi(2,0)), \phi(2,\phi(2,\phi(2,0)), \cdots\) |
| \(\varepsilon_{\phi(3,0)+1}\) | \(1,\phi(3,0),\phi(3,0)^{\phi(3,0)},\phi(3,0)^{\phi(3,0)^{\phi(3,0)}},\cdots\) | |
| \(\phi(2,\phi(3,0)+1)\) | \(\phi(3,0)+1,\varepsilon_{\phi(3,0)+1}.\varepsilon_{\varepsilon_{\phi(3,0)+1}},\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_{\phi(3,0)+1}}},\cdots\) | |
| \(\phi(3,1)\) | \(\alpha = \phi(2,\alpha)\) が成り立つ2番目の順序数 | \(\phi(3,0)+1,\phi(2,\phi(3,0)+1),\phi(2,\phi(2,\phi(3,0)+1)),\phi(2,\phi(2,\phi(2,\phi(3,0)+1))),\cdots\) |
| \(\phi(3,\omega)\) | \(\alpha = \phi(2,\alpha)\) が成り立つ\(\omega\)番目の順序数 | \(\phi(3,0),\phi(3,1),\phi(3,2),\phi(3,3),\cdots\) |
| \(\phi(3,\phi(3,0))\) | \(\alpha = \phi(2,\alpha)\) が成り立つ\(\phi(3,0)\)番目の順序数 | \(\phi(3,0),\phi(3,\phi(2,0)),\phi(3,\phi(2,\phi(2,0))),\phi(3,\phi(2,\phi(2,\phi(2,0)))),\cdots\) |
| \(\phi(4,0)\) | \(\alpha = \phi(3,\alpha)\) が成り立つ最小の順序数 | \(0,\phi(3,0),\phi(3,\phi(3,0)),\phi(3,\phi(3,\phi(3,0))),\cdots\) |
| \(\phi(\omega,0)\) | 任意の非負整数mに対して\(\alpha = \phi(m,\alpha)\) が成り立つ最小の順序数 | \(\phi(0,0), \phi(1,0), \phi(2,0), \phi(3,0), \cdots\) |
| \(\phi(\omega,1)\) | 任意の非負整数mに対して\(\alpha = \phi(m,\alpha)\) が成り立つ2番目の順序数 | \(\phi(\omega,0)+1, \phi(0,\phi(\omega,0)+1), \phi(1,\phi(\omega,0)+1), \phi(2,\phi(\omega,0)+1), \cdots\) |
| \(\phi(1,0,0)=\vartheta(\Omega)=\Gamma_0\) | フェファーマン・シュッテの順序数。
\(\alpha=\phi(\alpha,0)\)が成り立つ最小の順序数。\(\Omega\)は通常\(\omega_1\)とする。 |
\(1, \varepsilon_0, \phi(\varepsilon_0,0), \phi(\phi(\varepsilon_0,0),0), \cdots\)
または \(\phi(0,0),\phi(\phi(0,0),0),\phi(\phi(\phi(0,0),0),0),\cdots\) |
| \(\phi(1,0,1)=\Gamma_1\) | \(\alpha=\phi(\alpha,0)\)が成り立つ2番目の順序数 | \(\Gamma_0+1, \phi(\Gamma_0+1,0), \phi(\phi(\Gamma_0+1,0),0), \cdots\) |
| \(\phi(1,1,0)\) | \(\alpha=\Gamma_\alpha\)が成り立つ最小の順序数 | \(\Gamma_0, \Gamma_{\Gamma_0}, \Gamma_{\Gamma_{\Gamma_0}}, \cdots\)
または \(\phi(1,0,0),\phi(1,0,\phi(1,0,0)), \phi(1,0,\phi(1,0,\phi(1,0,0))), \cdots\) |
| \(\phi(1,2,0)\) | \(\alpha=\phi(1,1,\alpha)\)が成り立つ最初の順序数 | \(\phi(1,1,0) , \phi(1,1,\phi(1,1,0)), \phi(1,1,\phi(1,1,\phi(1,1,0))) , \cdots\) |
| \(\phi(2,0,0)\) | \(\alpha=\phi(1,\alpha,0)\)が成り立つ最初の順序数 |
\(\Gamma_0, \phi(1,\Gamma_0,0), \phi(1,\phi(1,\Gamma_0,0),0),\cdots\) |
| \(\phi(1,0,0,0)=\vartheta(\Omega^2)\) | アッカーマン順序数。
\(\alpha=\phi(\alpha,0,0)\)が成り立つ最小の順序数 |
\(1, \Gamma_0, \phi(\Gamma_0,0,0), \phi(\phi(\Gamma_0,0,0),0,0), \cdots\) |
| \(\phi(1,0,0,1)\) | \(\alpha=\phi(\alpha,0,0)\)が成り立つ2番目の順序数 | |
| \(\phi(1,0,1,0)\) | \(\alpha=\phi(1,0,0,\alpha)\)が成り立つ最小の順序数 | \(\phi(1,0,0,0), \phi(1,0,0,\phi(1,0,0,0)), \cdots\) |
| \(\phi(1,1,0,0)\) | \(\alpha=\phi(1,0,\alpha,0)\)が成り立つ最小の順序数 | \(\phi(1,0,0,0), \phi(1,0,\phi(1,0,0,0),0), \cdots\) |
| \(\phi(2,0,0,0)\) | \(\alpha=\phi(1,\alpha,0,0)\)が成り立つ最初の順序数 | \(\phi(1,0,0,0), \phi(1,\phi(1,0,0,0),0,0), \cdots\) |
| \(\phi(1,0,0,0,0)=\vartheta(\Omega^3)\) | \(1, \phi(1,0,0,0), \phi(\phi(1,0,0,0),0,0,0), \cdots\) | |
| \(\vartheta(\Omega^\omega)\) | 小ヴェブレン順序数 (多変数ヴェブレン関数で表せない最小の順序数) | \(\Gamma_0, \vartheta(\Omega^2), \vartheta(\Omega^3), \cdots\) |
| \(\vartheta(\Omega^{\vartheta(\Omega^\omega)})\) | \(\vartheta(\Omega^\omega), \vartheta(\Omega^{\varepsilon_0}), \vartheta(\Omega^{\varGamma_0}), \cdots\) | |
| \(\vartheta(\Omega^\Omega)\) | 大ヴェブレン順序数 (\(\alpha=\vartheta(\Omega^{\alpha})\)が成り立つ最小の順序数) | \(\varepsilon_0, \vartheta(\Omega^{\varepsilon_0}), \vartheta(\Omega^{\vartheta(\Omega^{\varepsilon_0})}), \cdots\) |
| \(\vartheta(\varepsilon_{\Omega+1})=\psi(\varepsilon_{\Omega+1})\) | バッハマン・ハワード順序数 | \(\vartheta(0), \vartheta(1), \vartheta(\Omega), \vartheta(\Omega^\Omega), \vartheta(\Omega^{\Omega^\Omega}), \cdots\) |
| \(\vartheta(\varepsilon_{\Omega+\omega})\) | \(\vartheta(\Omega), \vartheta(\varepsilon_{\Omega+1}), \vartheta(\varepsilon_{\Omega+2}), \vartheta(\varepsilon_{\Omega+3}), \cdots\) | |
| \(\vartheta(\varepsilon_{\Omega×2})\) | \(\alpha = \vartheta(\varepsilon_{\Omega+\alpha})\)が成り立つ最小の順序数 | \(\vartheta(\varepsilon_{\Omega+1}), \vartheta(\varepsilon_{\Omega+\vartheta(\varepsilon_{\Omega+1})}), \vartheta(\varepsilon_{\Omega+\vartheta(\varepsilon_{\Omega+\vartheta(\varepsilon_{\Omega+1})})}), \cdots\) |
| \(\vartheta(\zeta_{\Omega+1})\) | \(\vartheta(\varepsilon_{\Omega+1}),\vartheta(\varepsilon_{\varepsilon_{\Omega+1}}),\vartheta(\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_{\Omega+1}}}) \cdots\) | |
| \(\vartheta(\phi(\Omega,1))\) | \(\alpha = \vartheta(\phi(\alpha, \Omega+1))\)が成り立つ最小の順序数 | \(\vartheta(\varepsilon_{\Omega+1}), \vartheta(\phi(\vartheta(\varepsilon_{\Omega+1}), \Omega+1)), \cdots\) |
| \(\vartheta(\Omega_2) = \vartheta(\Gamma_{\Omega+1})\) | \(\vartheta(\phi(\Omega,1)), \vartheta(\phi(\phi(\Omega,1),0)), \vartheta(\phi(\phi(\phi(\Omega,1),0),0)), \cdots\) | |
| \({\vartheta({\Omega_{\omega}})}={\psi_0({\Omega_{\omega}})}\) | \({\vartheta({\Omega})}, {\vartheta({\Omega_2})}, {\vartheta({\Omega_3})}, \cdots\) | |
| \({\psi_0({\varepsilon_{\Omega_{\omega}+1}})}\) | 竹内・フェファーマン・ブーフホルツ順序数 | \({\psi_0({\Omega_{\omega}})},{\psi_0({\Omega_{\omega}^{\Omega_{\omega}}})},{\psi_0({\Omega_{\omega}^{\Omega_{\omega}^{\Omega_{\omega}}}})}, \cdots\) |
| \(\omega^\text{CK}_1\) | チャーチ・クリーネ順序数（2 番目の許容順序数）、基本列は存在するが計算可能な表記には翻訳できない。 | |
| \(\omega_1=\aleph_1\) | 最小の非可算な順序数。可算な基本列は存在しない。 | |
| \(\beth_1\) | ZFC から、\(\beth_1=\aleph_1\) は連続体仮説と同値 | |
| \(\Phi_1(0)\) | 最小のΩ不動点（\(\alpha = \Omega_\alpha\)が成り立つ最小の順序数） | \(\Omega, \Omega_\Omega, \Omega_{\Omega_\Omega} ,\cdots\) |
| \(I\) | 最小の弱到達不能基数 | |
| \(M\) | 最小の弱マーロ基数 | |
| \(I0\) | 最小の階層内階層基数 |