指数階乗又は階冪 (Exponential factorial, Expofactorial) とは、階乗の指数バージョンで、\(n^{(n-1)^{(n-2)^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{2^{1}}}}}}}\)で表される。これは再帰的に\(\left\{ \begin{array}{l} a_{0}=1 \\ a_{n}=n^{a_{n-1}} \end{array} \right.\)である事を意味する。[1][2]

名称と記号

日本語の名称については、「指数階乗」は "Exponential factorial" の直訳と推定される。日本語版Wikipediaは指数階乗の出典を当記事としているが、当記事において具体的な指数階乗の出典は存在せず、他所で触れられる場合、当記事のオリジナルの訳がそのまま定着した可能性がある[3]。「階冪」は "Exponential factorial" の中国語名称「階冪 (阶幂)」に由来すると推定される[4]。この記事では名称を指数階乗に統一する。

指数階乗の記号は\(n$\)とするものと[4][5]\(n^{!}\)とするものがある[3][6]。前者は超階乗と同じ表記法である事に注しなければならない[7]。後者は幾つかの言語におけるWikipediaにおける表記である。どちらも明確な出典は存在しない。以下、指数階乗の記号は\(n$\)とする。

指数階乗の最初の7つの値は以下の通りである。[1]

\(\begin{align*} 0$&=1\\ 1$&=1\\ 2$&=2^{1$}=2^{1}=2\\ 3$&=3^{2$}=3^{2^{1}}=9\\ 4$&=4^{3$}=4^{3^{2^{1}}}=262144\\ 5$&=5^{4$}=5^{4^{3^{2^{1}}}}=5^{262144}\approx6.20607\times10^{183230}\\ 6$&=6^{5$}=6^{5^{4^{3^{2^{1}}}}}\approx6^{6.20607\times10^{183230}}\approx10^{4.8\times10^{183230}} \end{align*}\)

全ての指数階乗の逆数の総和は以下の通りとなる。途中で1が18万3213桁並ぶ箇所が出るこの数は超越数かつリウヴィル数である。[2][8]

\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{1}{n$} =1.611114925808376736\underbrace{111\cdots111}_{183213\text{ digits}}272243\cdots\)

拡張表記

中国語版Wikipediaには、指数階乗における通常の階乗と同じような拡張表記が表記されている。[4]

二重指数階乗 (Double expofactorial)

\(n$$=n^{(n-2)^{(n-4)^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{5^{3^{1}}}}}}}}, \text{if n=odd} \\ n$$=n^{(n-2)^{(n-4)^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{6^{4^{2}}}}}}}}, \text{if n=even} \)

多重指数階乗 (Multiple expofactorial)

\(n$_{(m)}=\left\{ \begin{array}{l} 1&\text{, if }0\leqq n<m \\ n^{(n-m)$_{(m)}}&\text{, if }n\geqq m \end{array} \right.\)

例えば\(7$_{(3)}=7^{4^{1}}=2401\)である。

超指数階乗 (Superexpofactorial)

\(\begin{align*} &\text{se}(n)=n$^{(n-1)$^{(n-2)$^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3$^{2$^{1$}}}}}}}}\\ &\text{se}(1)=1$=1\\ &\text{se}(2)=2$^{1$}=\left(2^{1}\right)^{1}=2\\ &\text{se}(3)=3$^{2$^{1$}}=\left(3^{2^{1}}\right)^{\left(2^{1}\right)^{1}}=9^{2^{1}}=81\\ &\text{se}(4)=4$^{3$^{2$^{1$}}}=\left(4^{3^{2^{1}}}\right)^{\left(3^{2^{1}}\right)^{\left(2^{1}\right)^{1}}}\approx7.975\times10^{438} \end{align*}\)

ハイパー指数階乗 (Hyperexpofactorial)

\(\begin{align*} &\text{he}(n)={}^{n}{n}^{{}^{(n-1)}{(n-1)}^{{}^{(n-2)}{(n-2)}^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{{}^{3}{3}^{{}^{2}{2}^{{}^{1}{1}}}}}}}}}\\ &\text{he}(1)={}^{1}1=1\\ &\text{he}(2)={}^{2}2^{{}^{1}1}=\left(2^{2}\right)^{1}=4\\ &\text{he}(3)={}^{3}3^{{}^{2}2^{{}^{1}1}}=\left(3^{3^{3}}\right)^{\left(2^{2}\right)^{1}}=3381391913522726342930221472392241170198527451848561\\ &\text{he}(4)={}^{4}4^{{}^{3}3^{{}^{2}2^{{}^{1}1}}}=\left(4^{4^{4^{4}}}\right)^{\left(3^{3^{3}}\right)^{\left(2^{2}\right)^{1}}}\approx10^{10^{205.43}} \end{align*}\)

なお、\({}^{n}{n}=n\uparrow\uparrow n\)であり、テトレーションの別表記である。

逆指数階乗 (Reciprocal expofactorial)

\(\left(\cfrac{1}{n}\right)^{\left(\frac{1}{n-1}\right)^{\left(\frac{1}{n-2}\right)^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\left(\frac{1}{3}\right)^{\left(\frac{1}{2}\right)^{\left(\frac{1}{1}\right)}}}}}}}}\)

出典

  1. 1.0 1.1 A049384 a(0)=1, a(n+1) = (n+1)^a(n). On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
  2. 2.0 2.1 Exponential Factorial. Mathworld.
  3. 3.0 3.1 階乗. 日本語版Wikipedia.
  4. 4.0 4.1 4.2 階冪. 中国語版Wikipedia.
  5. https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_factorial Exponential factorial.] 英語版Wikipedia.
  6. Factorial exponencial. スペイン語版Wikipedia.
  7. Clifford A. Pickover. (1999) "Keys to Infinity." The College Mathematics Journal. 30 (3), 244-247.
  8. A080219 Decimal expansion of exponential factorial constant Sum_{n>=1} 1/A049384(n). On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.

関連項目

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