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拡張ブーフホルツのψ関数に伴う順序数表記(あるいは拡張Buchholz OCFに伴う順序数表記)[1]は p進大好きbot[2] が2018年6月9日に公開した表記である。

拡張ブーフホルツのψ関数に伴う順序数表記は、拡張ブーフホルツのψ関数に付随する順序数表記である。この表記から自然な順序数への対応\(o\)で表せない最小の可算順序数は拡張ブーフホルツ順序数である。

定義

記法

\((\)と\()\)と \(\langle\)と \(\rangle\)とコンマのみからなる文字列の集合\(T\)と\(PT\)を以下のように再帰的に定める:

  1. \(() \in T\)である。
  2. いかなる\(X_1,X_2 \in T\)に対しても、\(\langle X_1, X_2 \rangle \in T\)かつ\(\langle X_1, X_2 \rangle \in PT\)である。
  3. いかなる\(X_1, \ldots, X_m \in PT\) (\(2 \leq m < \infty\))に対しても、\((X_1, \ldots, X_m) \in T\)である。

後で\(T\)の上の再帰的強全順序と\(T\)の再帰的部分集合\(OT\)であって\((OT,<)\)が順序数表記になるもの、すなわち\(<\)の\(OT\)への制限が強整列順序になるものを定義する。\((OT,<)\)において、\(()\)は\(0\)の役割を持ち、\(\langle \ , \ \rangle\)は拡張Buchholz OCFの役割を持ち、\(( \ , \ldots, \ )\)は加法の役割を持つ。そのためカッコとコンマのみの表記が嫌いな人は\(()\)を\(0\)と置き換え、\(\langle X , Y \rangle\)を\(D_X Y\)なり\(\psi_X(Y)\)なりと置き換え、\((X_1, \ldots, X_m)\)を\(X_1 + \cdots + X_m\)と置き換えても良い。またカッコ以外が嫌いな人は\(\langle X , Y \rangle\)を\(\langle Y \rangle_X\)なり\((Y)_X\)なりと置き換え、\((X_1, \ldots, X_m)\)を\((X_1 \cdots X_m)\)なり\(X_1 \cdots X_m\)なりと置き換えても良い。

\(() \in T\)を\(\underline{0}\)と略記し、\(\langle \underline{0}, \underline{0} \rangle \in T\)を\(\underline{1}\)と略記し、\(1\)より大きい各\(n \in \mathbb{N}\)に対し\((\underbrace{\underline{1}, \ldots, \underline{1}}_{n}) \in T\)を\(\underline{n}\)と略記し、\(\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle \in T\)を\(\underline{\omega}\)と略記する。


順序

\((X,Y) \in T^2\)に対し、\(2\)項関係\(X<Y\)を以下のように再帰的に定める:

  1. もし\(X=\underline{0}\)ならば、\(X<Y\)は\(Y \neq \underline{0}\)と同値である。
  2. ここで\(X = \langle X_1, X_2 \rangle \)を満たす\(X_1,X_2 \in T\)が存在するとする。
    1. もし\(Y=\underline{0}\)ならば、\(X<Y\)は偽である。
    2. ここで\(Y = \langle Y_1, Y_2 \rangle \)を満たす\(Y_1,Y_2 \in T\)が存在するとする。
      1. もし\(X_1=Y_1\)ならば、\(X<Y\)は\(X_2<Y_2\)と同値である。
      2. もし\(X_1 \neq Y_1\)ならば、\(X<Y\)は\(X_1<Y_1\)と同値である。
    3. もし\(Y=(Y_1, \ldots, Y_{m'})\)を満たす\(Y_1,\ldots,Y_{m'} \in PT\) (\(2 \leq m' < \infty\))が存在するならば、\(X<Y\)は\(X=Y_1\)または\(X<Y_1\)と同値である。
  3. ここで\(X=(X_1, \ldots, X_m)\)を満たす\(X_1,\ldots,X_m \in PT\) (\(2 \leq m < \infty\))が存在するとする。
    1. もし\(Y=\underline{0}\)ならば、\(X<Y\)は偽である。
    2. もし\(Y = \langle Y_1, Y_2 \rangle \)を満たす\(Y_1,Y_2 \in T\)が存在するならば、\(X<Y\)は\(X_1<Y\)と同値である。
    3. ここで\(Y=(Y_1, \ldots, Y_{m'})\)を満たす\(Y_1,\ldots,Y_{m'} \in PT\) (\(2 \leq m' < \infty\))が存在するとする。
      1. ここで\(X_1=Y_1\)とする。
        1. もし\(m = 2\)かつ\(m' = 2\)ならば、\(X<Y\)は\(X_2<Y_2\)と同値である。
        2. もし\(m = 2\)かつ\(m' > 2\)ならば、\(X<Y\)は\(X_2<(Y_2,\ldots,Y_{m'})\)と同値である。
        3. もし\(m > 2\)かつ\(m' = 2\)ならば、\(X<Y\)は\((X_2,\ldots,X_m)<Y_2\)と同値である。
        4. もし\(m > 2\)かつ\(m' > 2\)ならば、\(X<Y\)は\((X_2, \ldots, X_m)<(Y_2, \ldots, Y_{m'})\)と同値である。
      2. もし\(X_1 \neq Y_1\)ならば、\(X<Y\)は\(X_1<Y_1\)と同値である。

ただし\(<\)自身は強整列順序でなく、単なる強全順序である。「\(X<Y\)または\(X=Y\)」を「\(X \leq Y\)」と略記する。


基本列

全域再帰的写像 \begin{eqnarray*} \textrm{dom} \colon T & \to & T \\ X & \mapsto & \textrm{dom}(X) \\ & & \\ [ \ ] \colon T \times T & \to & T \\ (X,Y) & \mapsto & X[Y] \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める:

  1. もし\(X = \underline{0}\)ならば、\(\textrm{dom}(X) = \underline{0}\)かつ\(X[Y] = \underline{0}\)である。
  2. ここで\(X = \langle X_1, X_2 \rangle \)を満たす\(X_1,X_2 \in T\)が存在するとする。
    1. ここで\(\textrm{dom}(X_2) = \underline{0}\)とする。
      1. もし\(\textrm{dom}(X_1) = \underline{0}\)ならば、\(\textrm{dom}(X) = X\)かつ\(X[Y] = \underline{0}\)である。
      2. もし\(\textrm{dom}(X_1) = \underline{1}\)ならば、\(\textrm{dom}(X) = X\)かつ\(X[Y]=Y\)である。
      3. もし\(\textrm{dom}(X_1) \notin \{\underline{0},\underline{1}\}\)ならば、\(\textrm{dom}(X) = \textrm{dom}(X_1)\)かつ\(X[Y] = \langle X_1[Y] , \underline{0} \rangle\)である。
    2. もし\(\textrm{dom}(X_2) = \underline{1}\)ならば、\(\textrm{dom}(X) = \underline{\omega}\)である。
      1. もし\(Y = \underline{1}\)ならば、\(X[Y] = \langle X_1, X_2[\underline{0}] \rangle\)である。
      2. もし\(Y = \underline{k}\) (\(2 \leq k < \infty\))ならば、\(X[Y]=(\underbrace{\langle X_1, X_2[\underline{0}] \rangle, \ldots, \langle X_1, X_2[\underline{0}] \rangle}_{k})\)である。
      3. そうでないならば、\(X[Y] = \underline{0}\)である。
    3. もし\(\textrm{dom}(X_2) = \underline{\omega}\)ならば、\(\textrm{dom}(X) = \underline{\omega}\)かつ\(X[Y] = \langle X_1 , X_2[Y] \rangle \)である。
    4. ここで\(\textrm{dom}(X_2) \notin \{\underline{0},\underline{1},\underline{\omega}\}\)とする。
      1. もし\(\textrm{dom}(X_2) < X\)ならば、\(\textrm{dom}(X) = \textrm{dom}(X_2) \)かつ\(X[Y] = \langle X_1 , X_2[Y] \rangle \)である。
      2. そうでないならば、\(\textrm{dom}(X) = \underline{\omega}\)である。
        1. \(\textrm{dom}(X_2) = \langle Z, \underline{0} \rangle\)と置く。
        2. もし\(Y = \underline{h}\) (\(1 \leq h < \infty\))かつ\(X[Y[\underline{0}]] = \langle X_1, \Gamma \rangle\)を満たす\(\Gamma \in T\)が存在するならば、\(X[Y]= \langle X_1, X_2[\langle Z[\underline{0}], \Gamma \rangle] \rangle\)である。
        3. そうでないならば、\(X[Y] = \langle X_1, X_2[\langle Z[\underline{0}], \underline{0} \rangle] \rangle\)である。
  3. もし\(X = (X_1, \ldots,X_m)\)を満たす\(X_1,\ldots,X_m \in PT\) (\(2 \leq m < \infty\))が存在するならば、\(\textrm{dom}(X)=\textrm{dom}(X_m)\)である。
    1. もし\(X_m[Y] = \underline{0}\)かつ\(m = 2\)ならば、\(X[Y]=X_1\)である。
    2. もし\(X_m[Y] = \underline{0}\)かつ\(m > 2\)ならば、\(X[Y]=(X_1, \ldots, X_{m-1})\)である。
    3. もし\(X_m[Y] \in PT\)ならば、\(X[Y]=(X_1, \ldots, X_{m-1},X_m[Y])\)である。
    4. \(X_m[Y] = (Z_1, \ldots, Z_{m'})\)を満たす\(Z_1, \ldots, Z_{m'} \in PT\) (\(2 \leq m' < \infty\))が存在するならば、\(X[Y]=(X_1, \ldots, X_{m-1}, Z_1, \ldots, Z_{m'})\)である。

次の章で再帰的部分集合\(OT \subset T\)を\(\{[\underline{n}] \mid n \in \mathbb{N}\}\)で閉じかつ\([ \ ]\)の\(\{X \in OT \mid X < \langle \underline{1}, \underline{0} \rangle\} \times \{\underline{n} \mid n \in \mathbb{N}\}\)への制限が\(<\)の制限に関する基本列系をなすように定義する。


標準形

\((X,Y,Z) \in T^3\)に対し、再帰的\(3\)項関係\(G(X,Y) \triangleleft Z\)を以下のように再帰的に定める:

  1. もし\(Y = \underline{0}\)ならば、\(G(X,Y) \triangleleft Z\)は真である。
  2. ここで\(Y = \langle W_1, W_2 \rangle\)を満たす\(W_1,W_2 \in T\)が存在するとする。
    1. もし\(X \leq W_1\)ならば、\(G(X,Y) \triangleleft Z\)は\(W_2 < Z\)かつ\(G(X,W_1) \triangleleft Z\)かつ\(G(X,W_2) \triangleleft Z\)と同値である。
    2. もし\(W_1 < X\)ならば、\(G(X,Y) \triangleleft Z\)は真である。
  3. もし\(Y = (W_1,\ldots,W_{m'})\)を満たす\(W_1,\ldots,W_{m'} \in PT\) (\(2 \leq m' < \infty\))が存在するならば、\(G(X,Y) \triangleleft Z\)は\(m'\)未満のいかなる\(i \in \mathbb{N}\)に対しても\(G(X,W_{i+1}) \triangleleft Z\)となることと同値である。

部分集合\(OT \subset T\)を以下のように再帰的に定める:

  1. \(\underline{0} \in OT\)である。
  2. いかなる\(X_1,X_2 \in T\), \(\langle X_1, X_2 \rangle \in OT\)は\(X_1 \in OT\)かつ\(X_2 \in OT\)かつ\(G(X_1,X_2) \triangleleft X_2\)と同値である。
  3. いかなる\(X_1, \ldots, X_m \in PT\) (\(2 \leq m < \infty\))に対しても、\((X_1, \ldots, X_m) \in OT\)は\(m\)未満のいかなる\(i \in \mathbb{N}\)に対しても\(X_{i+1} \in OT\)となりかつ\(m-1\)未満のいかなる\(i \in \mathbb{N}\)に対しても\(X_{i+2} \leq X_{i+1}\)となることと同値である。

最小の\(\Omega\)不動点を\(\Omega_{\Omega_{\cdot_{\cdot_{\cdot}}}}\)と置く。写像 \begin{eqnarray*} o \colon T & \to & \Omega_{\Omega_{\cdot_{\cdot_{\cdot}}}} \\ X & \mapsto & o(X) \end{eqnarray*} を以下のように帰納的に定める:

  1. もし\(X = \underline{0}\)ならば、\(o(X) = 0\)である。
  2. もし\(X = \langle Y_1, Y_2 \rangle\)を満たす\(Y_1,Y_2 \in T\)が存在するならば、\(o(X) = \psi_{o(Y_1)}(o(Y_2))\)である。ただし\(\psi\)は拡張Buchholz OCFである。
  3. もし\(X = (Y_1,\ldots,Y_m)\)を満たす\(Y_1,\ldots,Y_m \in PT\) (\(2 \leq m < \infty\))が存在するならば、\(o(X) = o(Y_1) + \cdots + o(Y_m)\)である。

構成から、\((OT,<)\)は順序数表記をなし、\(o\)の制限は順序集合の同型 \begin{eqnarray*} (OT,<) & \to & (C_0(\Omega_{\Omega_{\cdot_{\cdot_{\cdot}}}}),\in) \\ (\{X \in OT \mid X < \langle \underline{1}, \underline{0} \rangle\},<) & \to & (C_0(\Omega_{\Omega_{\cdot_{\cdot_{\cdot}}}}) \cap \Omega,\in) \end{eqnarray*} を与える。


FGH

全域再帰的写像 \begin{eqnarray*} f \colon OT \times \mathbb{N} & \to & \mathbb{N} \\ (X,n) & \mapsto & f_X(n) \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める:

  1. もし\(\textrm{dom}(X) = \underline{0}\)ならば、\(f_X(n) = n+1\)である。
  2. もし\(\textrm{dom}(X) = \underline{1}\)ならば、\(f_X(n) = f_{X[\underline{0}]}^n(n)\)である。
  3. そのいずれでもないならば、\(f_X(n) = f_{X[\underline{n}]}(n)\)である。

\(n \in \mathbb{N}\)に対し、\(X_n \in OT\)を以下のように再帰的に定める:

  1. もし\(n = 0\)ならば、\(X_n = \underline{0}\)である。
  2. もし\(n > 0\)ならば、\(X_n = \langle X_{n-1} , \underline{0} \rangle\)である。

\(f\)の全域性は\((OT,<)\)の整礎性と\([ \ ]\)の\(OT \times \{\underline{n} \mid n \in \mathbb{N}\}\)への制限が基本列系をなすことからただちに従う。構成から、全域計算可能関数 \begin{eqnarray*} F \colon \mathbb{N} & \to & \mathbb{N} \\ n & \mapsto & f_{\langle \underline{0}, X_n \rangle}(n) \end{eqnarray*} は拡張Buchholz OCFの標準的な基本列系に関する\(f_{\psi_0(\Omega_{\Omega_{\cdot_{\cdot_{\cdot}}}})}(n)\)と厳密に一致する。


計算例

以下\(f_X\)を\(X\)と略記する。\(F(0),F(1),F(2),\ldots,F(10^{100})\)までを順に計算してみる。

\begin{eqnarray*} F(0) & = & \langle \underline{0}, X_0 \rangle(0) \\ & = & \langle \underline{0}, \underline{0} \rangle(0) \\ & = & \underline{1}(0) \\ & = & \underline{0}^0(0) \\ & = & 0 \\ & & \\ F(1) & = & \langle \underline{0}, X_1 \rangle(1) \\ & = & \langle \underline{0}, \langle X_0 , \underline{0} \rangle \rangle(1) \\ & = & \langle \underline{0}, \langle \underline{0} , \underline{0} \rangle \rangle(1) \\ & = & \langle \underline{0}, \underline{1} \rangle(1) \\ & = & [\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle|\underline{1}](1) \\ & = & (\langle \underline{0}, \underline{0} \rangle)(1) \\ & = & (\underline{1})(1) \\ & = & \underline{0}^1(1) \\ & = & 1+1 \\ & = & 2 \\ & & \\ F(2) & = & \langle \underline{0}, X_2 \rangle(2) \\ & = & \langle \underline{0}, \langle X_1, \underline{0} \rangle \rangle(2) \\ & = & \langle \underline{0}, \langle \underline{1}, \underline{0} \rangle \rangle(2) \\ & = & [\langle \underline{0}, \langle \underline{1}, \underline{0} \rangle \rangle|\underline{2}](2) \\ & = & \langle \underline{0}, [\langle \underline{1}, \underline{0} \rangle|\langle \underline{0}, [\langle \underline{1}, \underline{0} \rangle|\langle \underline{0}, \langle \underline{0}, \underline{0} \rangle \rangle] \rangle] \rangle(2) \\ & = & \langle \underline{0}, [\langle \underline{1}, \underline{0} \rangle|\langle \underline{0}, [\langle \underline{1}, \underline{0} \rangle|\langle \underline{0}, [\langle \underline{1}, \underline{0} \rangle|\langle \underline{0}, \underline{0} \rangle] \rangle] \rangle] \rangle(2) \\ & = & \langle \underline{0}, [\langle \underline{1}, \underline{0} \rangle|\langle \underline{0}, [\langle \underline{1}, \underline{0} \rangle|\langle \underline{0}, [\langle \underline{1}, \underline{0} \rangle|\underline{1}] \rangle] \rangle] \rangle(2) \\ & = & \langle \underline{0}, [\langle \underline{1}, \underline{0} \rangle|\langle \underline{0}, [\langle \underline{1}, \underline{0} \rangle|\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle] \rangle] \rangle(2) \\ & = & \langle \underline{0}, [\langle \underline{1}, \underline{0} \rangle|\langle \underline{0}, \langle \underline{0}, \underline{1} \rangle \rangle] \rangle(2) \\ & = & \langle \underline{0}, \langle \underline{0}, \langle \underline{0}, \underline{1} \rangle \rangle \rangle(2) \\ & = & [\langle \underline{0}, \langle \underline{0}, \langle \underline{0}, \underline{1} \rangle \rangle \rangle|\underline{2}](2) \\ & = & \langle \underline{0}, [\langle \underline{0}, \langle \underline{0}, \underline{1} \rangle \rangle|\underline{2}] \rangle(2) \\ & = & \langle \underline{0}, \langle \underline{0}, [\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle|\underline{2}] \rangle \rangle(2) \\ & = & \langle \underline{0}, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{0} \rangle, \langle \underline{0}, \underline{0} \rangle) \rangle \rangle(2) \\ & = & \langle \underline{0}, \langle \underline{0}, (\underline{1},\underline{1}) \rangle \rangle(2) \\ & = & \langle \underline{0}, \langle \underline{0}, \underline{2} \rangle \rangle(2) \\ & = & [\langle \underline{0}, \langle \underline{0}, \underline{2} \rangle \rangle|\underline{2}](2) \\ & = & \langle \underline{0}, [\langle \underline{0}, \underline{2} \rangle|\underline{2}] \rangle(2) \\ & = & \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle(2) \\ & = & [\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle|\underline{2}](2) \\ & = & \langle \underline{0}, [(\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \langle \underline{0}, \underline{1} \rangle)|\underline{2}] \rangle(2) \\ & = & \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \langle \underline{0}, \underline{0} \rangle, \langle \underline{0}, \underline{0} \rangle) \rangle(2) \\ & = & \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}, \underline{1}) \rangle(2) \\ & = & [\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}, \underline{1}) \rangle|\underline{2}](2) \\ & = & (\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle)(2) \\ & = & [(\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle)|\underline{2}](2) \\ & = & (\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle)(2) \\ & = & [(\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle)|\underline{2}](2) \\ & = & (\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, [\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle|\underline{2}])(2) \\ & = & (\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, \langle \underline{0}, [(\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle)|\underline{2}] \rangle)(2) \\ & = & (\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{0} \rangle, \langle \underline{0}, \underline{0} \rangle) \rangle)(2) \\ & = & (\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, \langle \underline{0}, (\underline{1},\underline{1}) \rangle)(2) \\ & = & [(\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, \langle \underline{0}, (\underline{1},\underline{1}) \rangle)|\underline{2}](2) \\ & = & (\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, [\langle \underline{0}, (\underline{1},\underline{1}) \rangle|\underline{2}])(2) \\ & = & (\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, \langle \underline{0}, (\underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\underline{1}) \rangle)(2) \\ & = & [(\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, \langle \underline{0}, (\underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\underline{1}) \rangle)|\underline{2}](2) \\ & = & (\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, \langle \underline{0}, (\underline{1}) \rangle, [\langle \underline{0}, (\underline{1}) \rangle|\underline{2}])(2) \\ & = & (\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, \langle \underline{0}, (\underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, \underline{0} \rangle, \langle \underline{0}, \underline{0} \rangle)(2) \\ & = & (\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, \langle \underline{0}, (\underline{1}) \rangle, \underline{1}, \underline{1})(2) \\ & = & (\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, \langle \underline{0}, (\underline{1}) \rangle, \underline{1})^2(2) \\ & = & (\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, \langle \underline{0}, (\underline{1}) \rangle, \underline{1})(\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, \langle \underline{0}, (\underline{1}) \rangle)^2(2) \\ & = & (\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, \langle \underline{0}, (\underline{1}) \rangle, \underline{1})(\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, \langle \underline{0}, (\underline{1}) \rangle)[(\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, \langle \underline{0}, (\underline{1}) \rangle)|\underline{2}](2) \\ & = & (\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, \langle \underline{0}, (\underline{1}) \rangle, \underline{1})(\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, \langle \underline{0}, (\underline{1}) \rangle)(\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, [\langle \underline{0}, (\underline{1}) \rangle|\underline{2}])(2) \\ & = & (\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, \langle \underline{0}, (\underline{1}) \rangle, \underline{1})(\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, \langle \underline{0}, (\underline{1}) \rangle)(\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, \langle \underline{0}, \underline{0} \rangle, \langle \underline{0}, \underline{0} \rangle)(2) \\ & = & (\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, \langle \underline{0}, (\underline{1}) \rangle, \underline{1})(\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, \langle \underline{0}, (\underline{1}) \rangle)(\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, \underline{1}, \underline{1})(2) \\ & = & (\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, \langle \underline{0}, (\underline{1}) \rangle, \underline{1})(\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, \langle \underline{0}, (\underline{1}) \rangle)(\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, \underline{1})^2(2) \\ & = & (\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, \langle \underline{0}, (\underline{1}) \rangle, \underline{1})(\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, \langle \underline{0}, (\underline{1}) \rangle)(\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle, \underline{1})(\langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle, \underline{1}) \rangle, \langle \underline{0}, (\langle \underline{0}, \underline{1} \rangle) \rangle)^2(2) \\ & = & \cdots \end{eqnarray*}


文献


関連項目

日本の巨大数論

Aeton: おこじょ数N成長階層
mrna: 段階配列表記降下段階配列表記多変数段階配列表記横ネスト段階配列表記
Kanrokoti: くまくまψ関数亜原始ψ関数ハイパー原始ψ関数TSS-ψ関数
クロちゃん: 第一クロちゃん数第二クロちゃん数第三クロちゃん数第四クロちゃん数
たろう: 多変数アッカーマン関数2重リストアッカーマン関数多重リストアッカーマン関数
Nayuta Ito: フラン数N原始東方巨大数4の規則の境界を突いた巨大数
バシク: 原始数列数ペア数列数バシク行列システム
長谷川由紀路: 紅魔館のメイドナンバー恋符マスタースパーク数みくみく順序数
108Hassium: E2:B-01-HsE3:B-02-Hs
公太郎: 弱亜ペア数列肉ヒドラ数列弱ハイパーペア数列
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ふぃっしゅ: ふぃっしゅ数バージョン1バージョン2バージョン3バージョン4バージョン5バージョン6バージョン7マシモ関数マシモスケールTR関数I0関数
ゆきと: 亜原始数列ハイパー原始数列Y数列
本: 巨大数論寿司虚空編
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掲示板: 巨大数探索スレッド名もなき巨大数研究
外部リンク: 日本語の巨大数関連サイト

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