を論理式の集合とする.順序数-反映順序数 (-reflecting ordinal) であるとは,任意のに対して,ならばあるが存在して,となることである[1]

定義

を集合論の論理式の集合,を順序数のクラスとする.順序数上で-反映順序数 (-reflecting ordinal on ) であるとは,任意のに対して,ならばあるが存在して,となることである.特にとしては高階集合論の論理式の集合が考えられることが多く,その場合は標準意味論を用いる.

性質

命題2.1[1]

以下は互いに同値である.

  1. 順序数上で-反映的である.
  2. 順序数上で-反映的である.
  3. である.
命題2.2[1]

以下は同値である.

命題2.3[1]

以下は同値である.

  • 順序数上で-反映的である.
  • 順序数上で-反映的である.
命題2.4[1]

またはに対して以下は同値である.

  • 順序数上で-反映的である.
  • 順序数上で-反映的である.

またまたはに対して以下は同値である.

  • 順序数上で-反映的である.
  • 順序数上で-反映的である.

ただし許容順序数からなるクラスとする.

命題2.5[1]

以下は同値である.

  1. 順序数-反映的である.
  2. 順序数-許容的(-許容的であることとは異なることに注意すべきである.)である.

弱コンパクト基数-正則基数であることを命題2.5に合わせて,-反映的順序数は,弱コンパクト基数の再帰的類似と言われる.また-反映的順序数は一般に-記述不能基数の再帰的類似と言われる。

参考文献

  1. 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 W. Richter and P. Aczel. Inductive definitions and reflecting properties of admissible ordinals. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Vol. 79. Elsevier, 1974. 301-381.

関連記事

特に記載のない限り、コミュニティのコンテンツはCC-BY-SAライセンスの下で利用可能です。