順序数再帰的マーロ順序数 (recursively Mahlo ordinal) であるとは,許容順序数であり,任意の-再帰関数,すなわち構成可能階層に於いて-定義可能な関数であるならば,ある帰納的正則順序数が存在し,任意のに対してとなることである.

定義

は許容順序数であり,-再帰関数に対して,ある再帰的正則順序数が存在し,で閉じているとき,再帰的マーロ順序数 (recursively Mahlo ordinal) であるという.これは以下の弱マーロ基数の特徴付けとの類似による.

  • が弱マーロ基数であるとは,任意の関数に対して,ある正則基数が存在しで閉じていることである.

性質

が再帰的マーロであることと,再帰的正則順序数上で-反映的であることは同値である[1].またであることとも同値である[2]

また最小の再帰的マーロ順序数はスーパージャンプを神託に用いて計算可能な順序数の上限である[3]

ラティエンは最小の再帰的マーロ順序数を用いて,ラティエンの順序数崩壊関数に伴う順序数表記の整列性をマーロ基数を用いずに示した[4]

参考文献

  • P.G. Hinman. Recursion-theoretic hierarchies. Vol. 9. Cambridge University Press, 2017.
  • J. Barwise. Admissible sets and structures. Vol. 7. Cambridge University Press, 2017.
  1. W.H. Richter, P. Aczel, Inductive definitions and reflecting properties of admissible ordinals, in: J.E. Fenstad, P.G. Hinman (Eds.), Generalized Recursion Theory, North-Holland, Amsterdam, 1974, pp. 301–381
  2. M. Rathjen, Proof-theoretic analysis of KPM, Arch. Math. Logic 30 (1991) 377–403.
  3. Leo Harrington, The Superjump and the first Recursively Mahlo Ordinal, in: Jens Erik Fenstad & Peter G. Hinman (eds.), Generalized Recursion Theory (Oslo, 1972), North-Holland (1974), ISBN 0-7204-2276-0, 43–52.
  4. M. Rathjen. Collapsing functions based on recursively large ordinals: A well-ordering proof for KPM. Archive for Mathematical Logic 33.1 (1994): 35-55.

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