(新規作成) |
(カテゴリを追加) |
||
55行目: | 55行目: | ||
* [[奇数の完全数]] |
* [[奇数の完全数]] |
||
* [[知られている最大の完全数]] |
* [[知られている最大の完全数]] |
||
+ | [[カテゴリ:数]] |
||
+ | [[カテゴリ:クラス2]] |
2020年6月17日 (水) 13:38時点における版
倍積完全数 (Multiply perfect number[1], Multiperfect Number[2]) とは、その約数の総和が元の数の整数倍になるような自然数の事である。約数関数において\(\sigma(n)=kn\)を満たすようなnをk倍完全数と呼ぶ。なお、通常2倍完全数は単に完全数と呼ばれる。
最小のk倍完全数の一覧
以下の表の内、7倍完全数まではこれが真に最小値である事が確定している[3]。また、11倍完全数までが発見されている[1]。
\(k\) | 最小のk倍完全数 |
---|---|
\(1\) | \(1\) |
\(2\) | \(6\) |
\(3\) | \(120\) |
\(4\) | \(30240\) |
\(5\) | \(14182439040\) |
\(6\) | \(154345556085770649600\) |
\(7\) | \(141310897947438348259849402738485523264343544818565120000\) |
\(8\) | \(\approx8.2681\times10^{132}\) |
\(9\) | \(\approx5.6131\times10^{286}\) |
\(10\) | \(\approx4.4856\times10^{638}\) |
\(11\) | \(\approx2.5185\times10^{1906}\) |
未解決問題
奇数の完全数についての議論と同じく、奇数の3倍完全数が存在するか否かは未解決問題である。そのような数がある場合、その大きさは少なくとも\(10^{70}\)以上であり、少なくとも12個の異なる素因数を持ち、最大の素因数は100000を超える[4]。1以外の奇数の倍積完全数は存在しないという予想もあるが、これも未解決問題である[1]。
2倍完全数は無限に存在するが、それ以外の倍積完全数は有限個しか存在しない予想がある[1]。
単一倍積完全数はk=2のみ、即ち通常の単一完全数のみ知られており、3以上の単一k倍完全数は知られていない。また、奇数の単一倍積完全数も知られていない[5]。
出典
- ↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 "The Multiply Perfect Numbers Page." Universität Bielefeld.
- ↑ "Multiperfect Number."
- ↑ "A007539 a(n) = first n-fold perfect (or n-multiperfect) number." On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ József Sándor, Dragoslav S. Mitrinović, Borislav Crstici, eds. (2006) "Handbook of number theory I." Dordrecht: Springer-Verlag. ISBN 1-4020-4215-9.
- ↑ "Unitary Multiperfect Number." Wolfram MathWorld.