倍積完全数 (Multiply perfect number[1], Multiperfect Number[2]) とは、その約数の総和が元の数の整数倍になるような自然数の事である。約数関数において\(\sigma(n)=kn\)を満たすようなnをk倍完全数と呼ぶ。なお、通常2倍完全数は単に完全数と呼ばれる。

最小のk倍完全数の一覧

以下の表の内、7倍完全数まではこれが真に最小値である事が確定している[3]。また、11倍完全数までが発見されている[1]

\(k\) 最小のk倍完全数
\(1\) \(1\)
\(2\) \(6\)
\(3\) \(120\)
\(4\) \(30240\)
\(5\) \(14182439040\)
\(6\) \(154345556085770649600\)
\(7\) \(141310897947438348259849402738485523264343544818565120000\)
\(8\) \(\approx8.2681\times10^{132}\)
\(9\) \(\approx5.6131\times10^{286}\)
\(10\) \(\approx4.4856\times10^{638}\)
\(11\) \(\approx2.5185\times10^{1906}\)

未解決問題

  • 奇数の完全数についての議論と同じく、奇数の3倍完全数が存在するか否かは未解決問題である。そのような数がある場合、その大きさは少なくとも\(10^{70}\)以上であり、少なくとも12個の異なる素因数を持ち、最大の素因数は100000を超える[4]。1以外の奇数の倍積完全数は存在しないという予想もあるが、これも未解決問題である[1]
  • 2倍完全数は無限に存在するが、それ以外の倍積完全数は有限個しか存在しない予想がある[1]
  • 整数n=abについて、aとbが互いに素であるとき、aおよびbはnの基準約数[5] (unitary divisor[6]) という。整数nの基準約数のnを除いた総和がnに一致する数を基準完全数[7] (unitary perfect number)という。基準完全数は有限個しかないと思われているが、未解決問題である[5]。単約数の総和が元の数のk倍となるものを基準k倍完全数 (unitary k-multiperfect number) という。基準k倍完全数はk=2のみ、即ち通常の基準完全数のみ知られており、3以上の例は知られていない。また、奇数の基準k倍完全数は存在しない[8][5]

出典

  1. 1.0 1.1 1.2 1.3 "The Multiply Perfect Numbers Page." Universität Bielefeld.
  2. "Multiperfect Number."
  3. "A007539 a(n) = first n-fold perfect (or n-multiperfect) number." On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
  4. József Sándor, Dragoslav S. Mitrinović, Borislav Crstici, eds. (2006) "Handbook of number theory I." Dordrecht: Springer-Verlag. ISBN 1-4020-4215-9.
  5. 5.0 5.1 5.2 基準完全数 INTEGERS
  6. Unitary Divisor Wolfram MathWorld.'
  7. Unitary super perfect numbers が基準超完全数と訳されていることに従う
  8. "Unitary Multiperfect Number." Wolfram MathWorld.

関連項目

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