亜原始数列

亜原始数列はYukitoが2018年4月に制作を開始し、2018年5月に完成させた数列表記である。

亜原始数列は原始数列システムの拡張にあたる。原始数列システムの極限である、\((0,1,2,3,...)\)を\((0,2)\)とすることで拡張をしている。

亜原始数列数は亜原始数列を用いて定義された巨大数である。

計算規則

非負整数nに対しての展開ルールが次の様に定められる。

\(()\)と表せるならば、\(()[n]=n\)である。

\((0,\omega)\)と表せるならば、\((0,\omega)[n]=(0,n)[n]\)である。

\(S_1=0　S_2,...,S_m,m\)が非負整数　\((S_1,S_2,...,S_{m-1},S_m)\)と表せる時、

　\(S_m=0\)ならば、\((S_1,S_2,...,S_{m-1},S_m)[n]=(S_1,S_2,...,S_{m-1})[n]\)である。

　\(S_m≠0\)ならば、\(S_m＞S_i\)を満たす最大の\(i\)が存在する。

　\(G=S_1,S_2,...,S_{i-1}\)　\(B=S_i,S_{i+1},...,S_m\)　\(\Delta=S_m-S_i\)　とする。

　ここで、数列\(A=a_1,a_2,...,a_n\)に対して.\(A+\Delta\)を各要素に\(\Delta\)を足すと定義する。

　\(B(0)=B\)　\(B(a+1)=B(a)+\Delta\)とした時、

　\((S_1,S_2,...,S_{m-1},S_m)[n]=(G,B(0),B(1),...,B(n))[n+1]\)である。

\(f(n)=(0,\omega)[n]\)としたとき、

\(f^{2000}(1)\)　を亜原始数列数とする。

亜原始数列の極限はヴェブレン関数で\(\phi(\omega,0)\)と表され、亜原始数列数は急増化関数で\(f^{2000}_{\phi(\omega,0)}(1)\)と近似されると予想されるが、亜原始数列の停止性は不明である。