二重メルセンヌ素数 (Double Mersenne prime number) とは、素数である二重メルセンヌ数、即ち素数\(p\)に対して\(M_{M_{p}}=2^{2^p-1}-1\)が素数であるような数である[1]。定義上これはメルセンヌ素数の特別な場合である。既知で最大の二重メルセンヌ素数は\(M_{M_{7}}=2^{2^7-1}-1=170141183460469231731687303715884105727\)である。

一覧

二重メルセンヌ数の内、二重メルセンヌ素数である事が確認されているのは4つのみである[1][2][3]

\(p\) \(M_{p}=2^p-1\) \(M_{M_{p}}=2^{2^p-1}-1\)
2 3 7
3 7 127
5 31 2147483647
7 127 170141183460469231731687303715884105727
11 素数ではない 素数ではない
13 8191 素数ではない
17 131071 素数ではない
19 524287 素数ではない
23 素数ではない 素数ではない
29 素数ではない 素数ではない
31 2147483647 素数ではない
37 素数ではない 素数ではない
41 素数ではない 素数ではない
43 素数ではない 素数ではない
47 素数ではない 素数ではない
53 素数ではない 素数ではない
59 素数ではない 素数ではない
61 2305843009213693951 不明 (4×1033より小さな素因数はない)

次の二重メルセンヌ数候補は\(M_{M_{61}}=2^{2^{61}-1}-1=2^{2305843009213693951}-1\)である。大きさはおよそ\(1.695\times10^{694127911065419641}\)であり、現代の素数判定法の能力を上回る。現時点で\(204204000000\times(10019+1)\times(2^{61}-1)\approx4\times10^{33}\)より小さな素因数は見つかっていない[4]。これは十分に大きく、自身が素数である\(M_{M_{7}}\)を除くと、次に大きな最小素因数は\(M_{M_{31}}\)の\(295257526626031\)である[3]。最初の4つ以外に二重メルセンヌ素数は存在しないという予想もあるが、現時点では肯定否定双方の証明は存在しない[2]

出典

関連項目

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