ヴェブレン関数 (Veblen function; ヴェブレン関数; ヴェブレン階層; ファイ関数; φ関数) は、オズワルド・ヴェブレンが1908年の論文.[1] に書いた正規関数 \(\varphi_\alpha: \textrm{On} \rightarrow \textrm{On}\) の階層である。この関数によってイプシロン数による表記の限界 \(\zeta_0\) を超える順序数を得ることができる。以下には、現代バージョンのヴェブレン関数を記す。

ヴェブレン階層

階層は以下のように定義される。

1) \(\varphi_0(\gamma)=\omega^\gamma\)

2) \(\alpha>0\) に対して \(\varphi_\alpha(\gamma)\) は、すべての \(\beta<\alpha\) で不動点 \(\varphi_\beta(\xi)=\xi\) となるような\(\xi\)を0番目から数え上げる関数。

ここから、\(\varphi_1(\gamma)=\varepsilon_\gamma\)、\(\varphi_2(\gamma)=\zeta_\gamma\) 等と求められる (\(\varepsilon_\gamma\) は \(\xi\mapsto \omega^\xi\) である \(\xi\) を、 \(\zeta_\gamma\) は \(\xi\mapsto \varepsilon_\xi\) である \(\xi\) を数え上げる関数である)。

例: \(\varphi_2(2)=\zeta_2\) は \(\varphi_0(\xi)=\xi\) と \(\varphi_1(\xi)=\xi\) の共通の不動点、つまり \(\zeta_2=\omega^{\zeta_2}\) かつ \(\zeta_2=\varepsilon_{\zeta_2}\) の共通の不動点であり、特に \(\zeta_0\) と \(\zeta_1\) に続く三番目の不動点である。

すべての順序数 \(\alpha<\Gamma_0\) はヴェブレン階層を使い次のように表記することができる:

\(\alpha=\varphi_{\beta_1}(\gamma_1) + \varphi_{\beta_2}(\gamma_2) + \cdots + \varphi_{\beta_k}(\gamma_k)\),

このとき、各\(\beta_m,\gamma_m\)は以下の条件を満たすように取ることが出来、その条件下では上の表示は一意となる。

  • \(\varphi_{\beta_1}(\gamma_1) \ge \varphi_{\beta_2}(\gamma_2) \ge \cdots \ge \varphi_{\beta_k}(\gamma_k)\)
  • \(\beta_m,\gamma_m < \varphi_{\beta_m}(\gamma_m)\) for \(m \in \{1,...,k\}\)

ここで\(\Gamma_0\) は \(\varphi_\alpha(0)=\alpha\) である最小の \(\alpha\) を表す。


ヴェブレン階層の基本列

極限順序数\(\alpha\)に対する基本列とは、\(\alpha\)を極限に持つ狭義単調増加\(\omega\)-列、すなわち、自然数を添え字に持つ順序数列\(\{\xi_n\}_{n<\omega}\)で、その極限\(\lim_{n\to\omega}\xi_n\)が\(\alpha\)であるもののことである。以下では、\(\alpha\)に対する基本列のn番目の数を\(\alpha[n]\)と表すこととする。

ヴェブレン階層に対する基本列を以下で定義する:
0でない極限順序数\(\alpha<\Gamma_0\)の正規形表記に対して、

1.1) \((\varphi_{\beta_1}(\gamma_1) + \varphi_{\beta_2}(\gamma_2) + \cdots + \varphi_{\beta_k}(\gamma_k))[n]=\varphi_{\beta_1}(\gamma_1) + \cdots + \varphi_{\beta_{k-1}}(\gamma_{k-1}) + \varphi_{\beta_k}(\gamma_k) [n]\),

1.2) \(\varphi_0(\gamma)=\omega^{\gamma}\), \(\varphi_0(\gamma+1) [n] = \omega^{\gamma} \cdot n\),

1.3) \(\varphi_{\beta+1}(0)[n]=\varphi_{\beta}^n(0)\),

1.4) \(\varphi_{\beta+1}(\gamma+1)[n]=\varphi_{\beta}^n(\varphi_{\beta+1}(\gamma)+1)\),

1.5) 0でない極限順序数\(\gamma<\varphi_\beta(\gamma)\)に対して、\(\varphi_{\beta}(\gamma) [n] = \varphi_{\beta}(\gamma [n])\),

1.6) 0でない極限順序数\(\beta<\varphi_\beta(0)\)に対して、\(\varphi_{\beta}(0) [n] = \varphi_{\beta [n]}(0)\),

1.7) 0でない極限順序数\(\beta\)に対して、\(\varphi_{\beta}(\gamma+1) [n] = \varphi_{\beta [n]}(\varphi_{\beta}(\gamma)+1)\).

ルール1.3と1.4について、\(\varphi^n\)とは関数の反復を表している:\(\varphi_{\beta}^0(\gamma)=\gamma\)であり、また任意の\(m<\omega\)に対して\(\varphi_{\beta}^{m+1}(\gamma)=\varphi_{\beta}(\varphi_{\beta}^{m}(\gamma))\)である。


ヴェブレン関数の値

  • \(\varphi(0,0)=1\)
  • \(\varphi(0,1)=\omega\)
  • \(\varphi(0,2)=\omega^2\)
  • \(\varphi(0,\varphi(0,1))=\varphi(0,\omega)=\omega^\omega\)
  • \(\varphi(0,\varphi(0,1)+1)=\omega^{\omega+1}\)
  • \(\varphi(0,\varphi(0,1)+2)=\omega^{\omega+2}\)
  • \(\varphi(0,\varphi(0,1)+\varphi(0,1))=\varphi(0,\varphi(0,1)\times 2)=\omega^{\omega \times 2}\)
  • \(\varphi(0,\varphi(0,2))=\varphi(0,\varphi(0,1)\times \omega)=\omega^{\omega^2}\)
  • \(\varphi(0,\varphi(0,\varphi(0,1)))=\varphi(0,\varphi(0,\omega))=\omega^{\omega^{\omega}}\)
  • \(\varphi(0,\varphi(0,\varphi(0,2)))=\omega^{\omega^{\omega^2}}\)
  • \(\varphi(0,\varphi(0,\varphi(0,\varphi(0,1))))=\omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}\)
  • \(\varphi(1,0)=\varepsilon_0\)
  • \(\varphi(0,\varphi(1,0)+1)=\varphi(1,0) \times \omega = \omega^{\varepsilon_0+1}\)
  • \(\varphi(0,\varphi(1,0)+2)=\omega^{\varepsilon_0+2}\)
  • \(\varphi(0,\varphi(1,0)+\varphi(0,1))=\omega^{\varepsilon_0+\omega}\)
  • \(\varphi(0,\varphi(1,0)+\varphi(0,2))=\omega^{\varepsilon_0+\omega^2}\)
  • \(\varphi(0,\varphi(1,0)+\varphi(0,\varphi(0,1)))=\omega^{\varepsilon_0+\omega^\omega}\)
  • \(\varphi(0,\varphi(1,0)+\varphi(1,0))=\omega^{\varepsilon_0 \times 2}\)
  • \(\varphi(0,\varphi(0,\varphi(1,0)+1))=\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}}\)
  • \(\varphi(0,\varphi(0,\varphi(0,\varphi(1,0)+1)))=\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}}}\)
  • \(\varphi(1,1)=\varepsilon_1\)
  • \(\varphi(1,2)=\varepsilon_2\)
  • \(\varphi(1,\varphi(0,1))=\varepsilon_\omega\)
  • \(\varphi(1,\varphi(0,1)+1)=\varepsilon_{\omega+1}\)
  • \(\varphi(1,\varphi(0,1)+\varphi(0,1))=\varepsilon_{\omega \times 2}\)
  • \(\varphi(1,\varphi(0,2))=\varepsilon_{\omega^2}\)
  • \(\varphi(1,\varphi(0,\varphi(0,1)))=\varepsilon_{\omega^\omega}\)
  • \(\varphi(1,\varphi(1,0))=\varepsilon_{\varepsilon_0}\)
  • \(\varphi(1,\varphi(1,\varphi(1,0)))=\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}\)
  • \(\varphi(1,\varphi(1,\varphi(1,\varphi(1,0))))=\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}}\)
  • \(\varphi(2,0)=\zeta_0\)


(有限)多変数に拡張されたヴェブレン関数

有限個の引数を取るようにヴェブレン関数を拡張する。そのためにまず、今までのヴェブレン関数\(\varphi_\alpha(\gamma)\)を2変数関数\(\varphi(\alpha,\gamma)\)として考える。

\(z\)を空列または1個以上の0の列 \(0,0,...,0\)、\(s\)を空列または順序数の列で先頭が非零のもの \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n\;(\alpha_1>0)\)とする。
\(\varphi(s,\alpha,z,\gamma)\)と書かれているとき、\(s\)と\(z\)がともに空列ならばそれは2変数関数\(\varphi(\alpha,\gamma)\)を表していることに注意する。

拡張されたヴェブレン関数は以下のように定義される[2]

  • \(\varphi(\gamma)=\omega^\gamma\),
  • \(\varphi(z,s,\gamma)=\varphi(s,\gamma)\),
  • \(\alpha_{n+1}>0\)のとき、\(\varphi(s,\alpha_{n+1}, z, \gamma)\) は\(\beta<\alpha_{n+1}\)について共通の不動点 \(\xi = \varphi(s, \beta, \xi,z)\)となる\(\xi\)を0番目から数え上げる関数。

小ヴェブレン順序数(SVO)より小さなすべての非零順序数\(\alpha\)は、以下のような条件を満たす正規形に書き表すことができる:

\( \alpha=\varphi(s_1)+\varphi(s_2)+\cdots+\varphi(s_k)\)

ただし

  • \(\varphi(s_1)\geq\varphi(s_2)\geq\cdots\geq\varphi(s_k)\),
  • \(s_m\) は順序数の有限列 \(\alpha_{m,1}, \alpha_{m,2},...,\alpha_{m,n_m}\),
  • \(m \in \{1,...,k\}\)および\(i \in \{1,..,n_m\}\)について、\(\alpha_{m,1}>0\) かつ \(\alpha_{m,i} <\varphi(s_m)\),
  • \(k\)は非負整数、\(n_1,...,n_k\)は正の整数(\(k=0\)の場合とは\(\alpha=0\)の場合である).


多変数ヴェブレン関数の極限順序数に対する基本列

有限変数ヴェブレン関数で正規形表記された極限順序数\(\alpha<SVO\)に対して、基本列を以下で定める:

2.1) \((\varphi(s_1)+\varphi(s_2)+\cdots+\varphi(s_k))[n]=\varphi(s_1)+\varphi(s_2)+\cdots+\varphi(s_k)[n]\),

2.2) \(\gamma\geq1\)に対して、

  • \(\gamma\)が後続順序数\(\gamma=\gamma'+1\)のとき、\(\varphi(\gamma'+1)[n]=\varphi(\gamma')\cdot n\)
  • \(\gamma\)が極限順序数のとき、\(\varphi(\gamma)[n]=\varphi(\gamma[n])\)

2.3) \(\beta\)が後続順序数\(\beta=\beta'+1\)かつ\(\gamma=0\)のとき、\(\varphi(s,\beta,z,\gamma)\)に対して、

  • \(\varphi(s,\beta'+1,z,0)[0]=0\)
  • \(\varphi(s,\beta'+1,z,0)[n+1]=\varphi(s,\beta',\varphi(s,\beta'+1,z,\gamma)[n],z)\)

2.4) \(\beta,\gamma\)がいずれも後続順序数\(\beta=\beta'+1,\gamma=\gamma'+1\)のとき、\(\varphi(s,\beta,z,\gamma)\)に対して、

  • \(\varphi(s,\beta'+1,z,\gamma'+1)[0]=\varphi(s,\beta'+1,z,\gamma')+1\)
  • \(\varphi(s,\beta'+1,z,\gamma'+1)[n+1]=\varphi(s,\beta',\varphi(s,\beta'+1,z,\gamma'+1)[n],z)\)

2.5) \(\gamma\)が0でない極限順序数のとき、\(\varphi(s,\beta,z,\gamma)[n]=\varphi(s,\beta,z,\gamma[n])\)

2.6) \(\beta\)が0でない極限順序数で\(\gamma=0\)のとき、\(\varphi(s,\beta,z,0)[n]=\varphi(s,\beta[n],z,0)\)

2.7) \(\beta\)が0でない極限順序数で\(\gamma\)が後続順序数\(\gamma'+1\)のとき、\(\varphi(s,\beta,z,\gamma'+1)[n]=\varphi(s,\beta[n],\varphi(s,\beta,z,\gamma')+1,z)\)

\(\varphi(1,0)[n]=\underbrace{\varphi(0, \varphi (0, ... \varphi}_{n \quad \varphi's}(0,0)...))=\underbrace{\varphi(\varphi(...\varphi}_{n \quad \varphi's}(0)...))=\underbrace{\omega^{\omega^{\cdots^{\omega^0}}}}_{n\;\omega's}\),

\(\varphi(1,0,0)[n]=\underbrace{\varphi(0, \varphi (0, ... \varphi}_{n \quad \varphi's}(0,0,0)...,0),0)=\underbrace{\varphi( \varphi ( ... \varphi}_{n \quad \varphi's}(0,0)...,0),0)\),

\(\varphi(1,1,1,0,0,0)[n]=\underbrace{\varphi(1,1,0,\varphi(1,1,0 ... \varphi}_{n \quad \varphi's}(1,1,0,0,0,0)...,0,0),0,0)\).

Γ関数

Γ関数は、\(\varphi(\alpha,0)=\alpha\)を満たすような\(\alpha\)を数え上げる関数である。言い換えると\(\Gamma_\beta=\varphi(1,0,\beta)\)であり、順序数のクラス\(\{\alpha\ |\ \varphi(\alpha,0)=\alpha\}\)を0番目から数えて\(\beta\)番目の順序数であるともいえる。
上記基本列の定義を用いて、\(\Gamma_\beta[n]=\varphi(1,0,\beta)[n]\)と定義できる。


超限変数ヴェブレン関数

多変数ヴェブレン関数の定義をさらに拡張して、「α-番目の引数」を導入することを考える。もちろんただ引数を並べただけでは(有限)多変数と区別がつけられないため、ここでシュッテの括弧表記(Schutte Klammersymbolen)と呼ばれる表記を導入する。
これは2行n列の行列で、1行目が各引数の値を、2行目が各引数の位置を示すものとして表記される。

例: \(\begin{pmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \\8 & 5 & 0 \end{pmatrix}=\varphi(\alpha_1,0,0,\alpha_2,0,0,0,0,\alpha_3)\).

このとき、ヴェブレン関数の定義は以下のように拡張される:

  • \(\begin{pmatrix}\gamma\\0\end{pmatrix}=\omega^\gamma\)
  • \(\begin{pmatrix}0 & \alpha_1 & \cdots & \alpha_n \\ \beta_0 & \beta_1 & \cdots & \beta_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha_1 & \cdots & \alpha_n \\ \beta_1 & \cdots & \beta_n\end{pmatrix}\)
  • \(\alpha_1>0\)とする。このとき、\(\gamma\)の関数\(\begin{pmatrix}\cdots & \alpha_1 & \gamma \\ \cdots & \beta+1 & 0\end{pmatrix}\)は、\(\alpha'<\alpha_1\)について共通の不動点 \(\xi=\begin{pmatrix}\cdots & \alpha' & \xi \\ \cdots & \beta+1 & \beta\end{pmatrix}\)である\(\xi\)を0番目から数え上げる関数。
  • \(\alpha_1>0\)かつ\(\beta\)は極限順序数とする。このとき、\(\gamma\)の関数\(\begin{pmatrix}\cdots & \alpha_1 & \gamma \\ \cdots & \beta & 0\end{pmatrix}\)は、任意の\(\alpha'<\alpha_1\)と\(\beta'<\beta\)について共通の不動点 \(\xi=\begin{pmatrix}\cdots & \alpha' & \xi \\ \cdots & \beta & \beta'\end{pmatrix}\)となる\(\xi\)を0番目から数え上げる関数。

\(\alpha=\begin{pmatrix}1 \\ \alpha\end{pmatrix}\)が成立する最小の順序数を大ヴェブレン順序数\(LVO\)と呼ぶ。

順序数\(\alpha<LVO\)の正規形は以下のようになる:

\(\begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \cdots &\alpha_{1,n_1} \\ \beta_{1,1} & \cdots & \beta_{1,n_1} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \alpha_{2,1} & \cdots &\alpha_{2,n_2} \\ \beta_{2,1} & \cdots & \beta_{2,n_2} \end{pmatrix}+\cdots+\begin{pmatrix} \alpha_{k,1} & \cdots &\alpha_{k,n_k} \\ \beta_{k,1} & \cdots & \beta_{k,n_k} \end{pmatrix}\),

ただし

  • \(\begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \cdots &\alpha_{1,n_1} \\ \beta_{1,1} & \cdots & \beta_{1,n_1} \end{pmatrix} \geq \begin{pmatrix} \alpha_{2,1} & \cdots &\alpha_{2,n_2} \\ \beta_{2,1} & \cdots & \beta_{2,n_2} \end{pmatrix} \geq \cdots \geq \begin{pmatrix} \alpha_{k,1} & \cdots &\alpha_{k,n_k} \\ \beta_{k,1} & \cdots & \beta_{k,n_k} \end{pmatrix}\),
  • すべての\(i \in \{1,...,n_m\}\), \(m \in \{1,...,k\}\)に対して\(\alpha_{m,i}<\begin{pmatrix} \alpha_{m,1} & \cdots &\alpha_{m,n_m} \\ \beta_{m,1} & \cdots & \beta_{m,n_m} \end{pmatrix}\)
  • すべての\(i \in \{1,...,n_m\}\), \(m \in \{1,...,k\}\)に対して\(\beta_{m,i}<\begin{pmatrix} \alpha_{m,1} & \cdots &\alpha_{m,n_m} \\ \beta_{m,1} & \cdots & \beta_{m,n_m} \end{pmatrix}\)
  • \(k\)は非負整数、\(n_1,...,n_k\) は正整数。

\(\alpha<LVO\)が極限順序数かつ正規形表示されているとき、その基本列は以下のようになる:

\(\alpha[n]=\begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \cdots &\alpha_{1,n_1} \\ \beta_{1,1} & \cdots & \beta_{1,n_1} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \alpha_{2,1} & \cdots &\alpha_{2,n_2} \\ \beta_{2,1} & \cdots & \beta_{2,n_2} \end{pmatrix}+\cdots+\begin{pmatrix} \alpha_{k,1} & \cdots &\alpha_{k,n_k} \\ \beta_{k,1} & \cdots & \beta_{k,n_k} \end{pmatrix}[n]\)

3.0) \(\begin{pmatrix}\alpha \\ 0\end{pmatrix}[n]=\omega^\alpha[n]\)

3.1)

  • \(\begin{pmatrix}\cdots & \alpha+1 \\ \cdots & \beta+1 \end{pmatrix}[0]=0\)
  • \(\begin{pmatrix}\cdots & \alpha+1 \\ \cdots & \beta+1 \end{pmatrix}[n+1]=\begin{pmatrix}\cdots & \alpha & \begin{pmatrix}\cdots & \alpha+1 \\ \cdots & \beta+1 \end{pmatrix}[n] \\ \cdots & \beta+1 & \beta \end{pmatrix}\),

3.2)

  • \(\begin{pmatrix}\cdots & \alpha+1 & \gamma+1 \\ \cdots & \beta+1 & 0 \end{pmatrix}[0]=\begin{pmatrix}\cdots & \alpha+1 & \gamma \\ \cdots & \beta+1 & 0 \end{pmatrix}+1\)
  • \(\begin{pmatrix}\cdots & \alpha+1 & \gamma+1 \\ \cdots & \beta+1 & 0 \end{pmatrix}[n+1]=\begin{pmatrix}\cdots & \alpha & \begin{pmatrix}\cdots & \alpha+1 & \gamma+1 \\ \cdots & \beta+1 & 0 \end{pmatrix}[n] \\ \cdots & \beta+1 & \beta \end{pmatrix}\),

3.3) \(\gamma\)が0でない極限順序数のとき、\(\begin{pmatrix}\cdots & \alpha & \gamma \\ \cdots & \beta & 0 \end{pmatrix}[n]=\begin{pmatrix}\cdots & \alpha & \gamma [n] \\ \cdots & \beta & 0 \end{pmatrix}\)

3.4) \(\alpha\)が0でない極限順序数のとき、\(\begin{pmatrix}\cdots & \alpha & \\ \cdots & \beta+1 \end{pmatrix}[n]=\begin{pmatrix}\cdots & \alpha [n] & \\ \cdots & \beta+1 \end{pmatrix}\)

3.5) \(\alpha\)が0でない極限順序数のとき、\(\begin{pmatrix}\cdots & \alpha & \gamma+1 \\ \cdots & \beta+1 & 0 \end{pmatrix}[n]=\begin{pmatrix}\cdots & \alpha [n] & \begin{pmatrix}\cdots & \alpha & \gamma \\ \cdots & \beta+1 & 0 \end{pmatrix}+1 \\ \cdots & \beta+1 & \beta \end{pmatrix}\)

3.6) \(\beta\)が0でない極限順序数のとき、\(\begin{pmatrix}\cdots & \alpha+1\\ \cdots & \beta\end{pmatrix}[n]=\begin{pmatrix}\cdots & \alpha & 1 \\ \cdots & \beta& \beta [n]\end{pmatrix}\)

3.7) \(\beta\)が0でない極限順序数のとき、\(\begin{pmatrix}\cdots & \alpha+1 & \gamma+1 \\ \cdots & \beta & 0 \end{pmatrix}[n]=\begin{pmatrix}\cdots & \alpha & \begin{pmatrix}\cdots & \alpha+1 & \gamma \\ \cdots & \beta & 0 \end{pmatrix}+1 \\ \cdots & \beta & \beta[n] \end{pmatrix}\)

3.8) \(\alpha,\beta\)が共に0でない極限順序数のとき、\(\begin{pmatrix}\cdots & \alpha\\ \cdots & \beta\end{pmatrix}[n]=\begin{pmatrix}\cdots & \alpha [n] \\ \cdots & \beta \end{pmatrix}\)

3.9) \(\alpha,\beta\)が共に0でない極限順序数のとき、\(\begin{pmatrix}\cdots & \alpha & \gamma+1 \\ \cdots & \beta & 0 \end{pmatrix}[n]=\begin{pmatrix}\cdots & \alpha [n]& \begin{pmatrix}\cdots & \alpha & \gamma \\ \cdots & \beta & 0 \end{pmatrix}+1 \\ \cdots & \beta & \beta [n] \end{pmatrix}\)

\(LVO\)の基本列は以下で定まる:

  • \(LVO[0]=0\),
  • \(LVO[n+1]=\begin{pmatrix}1 \\ LVO[n] \end{pmatrix}\).


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出典

  1. Veblen, Oswald. Continuous Increasing Functions of Finite and Transfinite Ordinals. Retrieved 2017-03-16.
  2. Maksudov, Denis. Fundamental sequences for extended Veblen functionTraveling To The Infinity  Retrieved 2017-10-02.
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