ここでは、ヴェブレンの1908年の論文[1]において定義された関数\(\phi\)、およびそれによる順序数の表記法とそれらにまつわる種々の概念について記述する。

現代版のヴェブレン関数との区別のため、現代版のものを\(\varphi\) (TeXにおける\varphi)、原版を\(\phi\) (同\phi)と表記する。

関数ϕの定義と表記法

関数\(\phi(a_\alpha,\cdots,x_0)\)は順序数の添え字を持つような任意(有限)個数の引数を取る関数である。添え字は降順(原論文では昇順)になるように並べられる。添え字の最大値が\(\alpha\)であるとき、その関数は\((1+\alpha)\)-変数関数という。
\((1+\alpha)\)-変数関数とみなしたとき、省略された超限個の引数は全て0とみなす。

以下では、関数\(\phi\)の引数を2行N列の行列の形で表記する。引数の値と添え字の組を同じ列で表し、2行目は順序数の降順になるようにする。
どちらの場合でも、最大位置の引数は0であっても省略されない。

例:

  • \(\phi\begin{pmatrix}\alpha & \beta & \gamma \\8 & 5 & 0 \end{pmatrix}=\phi(\gamma_0,0_1,0_2,0_3,0_4,\beta_5,0_6,0_7,\alpha_8)\).
  • \(\phi\begin{pmatrix} 0 & \alpha & \chi \\ \omega & 2 & 0\end{pmatrix}=\phi(\chi_0,0_1,\alpha_2,0_3,0_4,\cdots,0_\omega)\).

定義

以下の定義において、

  1. \(\mathrm{Enum}_\chi(S)\)とは順序数のクラス\(S\)の要素を0番目から数えて、\(\chi\)番目に小さい順序数を返す関数、
  2. \(\mathrm{Fix}_x(f)\)とは\(f\)を\(x\)の関数として見たときに、\(\alpha=f(\alpha)\)を満たす\(\alpha\)全体のクラス

を表す。

\((1+\beta)\)-変数関数\(\phi\)は以下の規則で定義される:

  • \(\phi\begin{pmatrix}\chi \\ 0\end{pmatrix}=1+\chi\).
  • \(\phi\begin{pmatrix}\cdots & \alpha & \chi \\ \cdots & \gamma & 0\end{pmatrix}=\mathrm{Enum}_\chi\left(\bigcap_{\alpha'<\alpha,\gamma'<\gamma}\mathrm{Fix}_z\left(\phi\begin{pmatrix}\cdots & \alpha' & z \\ \cdots & \gamma & \gamma'\end{pmatrix}\right)\right)\).
  • \(\phi\begin{pmatrix}0 & \chi \\ \beta & 0\end{pmatrix}=\mathrm{Enum}_\chi\left(\bigcap_{\gamma<\beta}\mathrm{Fix}_z\left(\phi\begin{pmatrix}z \\ \gamma\end{pmatrix}\right)\right)\).

ただし\(\alpha>0,\gamma\leq\beta\)とする。

\(\phi\)の型は、\(\left(\sum_{\beta\in\mathbf{Ord}}\sum_{n\in\omega}(\mathbf{Ord\times(1+\beta)})^n\right)\to\mathbf{Ord}\)となる。


φとの比較

以下の表においては、どちらも\(\chi\)の関数として評価する。

ϕ表記 ヴェブレン関数φ
\(\phi\begin{pmatrix}\chi \\ 0\end{pmatrix}\) \((1+\chi)\)
\(\phi\begin{pmatrix}0 & \chi \\ 1 & 0\end{pmatrix}\) \((\omega+\chi)\)
\(\phi\begin{pmatrix}1 & \chi \\ 1 & 0\end{pmatrix}\) \((\omega^2+\chi)\)
\(\phi\begin{pmatrix}n & \chi \\ 1 & 0\end{pmatrix}\) \((\omega^n+\chi)\)
\(\phi\begin{pmatrix}\chi \\ 1\end{pmatrix}\) \(\varphi(0,\chi)=\omega^\chi\)
\(\phi\begin{pmatrix}0 & 0 & \chi\\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix}\) \(\varphi(1,\chi)=\varepsilon_\chi\)
\(\phi\begin{pmatrix}0 & 1 & \chi\\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix}\) \(\varphi(2,\chi)\)
\(\phi\begin{pmatrix}0 & \alpha & \chi\\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix}\) \(\varphi(1+\alpha,\chi)\)
\(\phi\begin{pmatrix}1 & 0 & \chi\\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix}\) \(\varphi(1,0,\chi)\)
\(\phi\begin{pmatrix}1 & 1 & \chi\\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix}\) \(\varphi(1,1,\chi)\)
\(\phi\begin{pmatrix}0 & \chi\\ 3 & 0\end{pmatrix}\) \(\varphi(1,0,0,\chi)\)
\(\phi\begin{pmatrix}\alpha & \chi \\ 3+\beta & 0\end{pmatrix}\) \(\varphi\begin{pmatrix}1+\alpha & \chi \\ 3+\beta & 0\end{pmatrix}\)

表記できない最小の数はどちらも大ヴェブレン順序数となる。


性質

正規性

\(\phi\)は第0引数の関数として見たとき、順序数上の正規関数となる。すなわち、狭義単調増加かつ極限を保存する。
さらに、以下の形式の\(\phi\)表記を\(\chi\)の関数として見たとき、これは正規関数となる:

  • \(\phi\begin{pmatrix}\cdots & \chi \\ \cdots & \beta\end{pmatrix}\)

ただし、以下の\(\phi\)表記において\(\chi\neq 0\)とすると、これを\(\alpha\)の関数としてみたときは正規関数ではない

  • \(\phi\begin{pmatrix}\cdots & \alpha & \cdots & \chi \\ \cdots & \beta & \cdots & \beta'\end{pmatrix}\)


順序数表示

全ての順序数\(\alpha\)は、0でないならば何らかの\(\phi\)による表示を持つ。
ただしこれは、大ヴェブレン順序数のように\(\alpha=\phi\begin{pmatrix}0 \\ \alpha\end{pmatrix}\)を満たすようなものも含む。

また、大ヴェブレン順序数以下の全ての0でない順序数\(\alpha\)は、引数の数および値すべてが\(\alpha\)より小さいような\(\phi\)の表記を持つ。


φ関数との関係

ヴェブレン関数と同じ考え方に基づいて定義がなされているので、基となった理論を押さえればどちらにも応用が可能であり、実際、ここに記述した\(\phi\)の性質の多くがヴェブレン関数でも成立する。


順序数上の連続関数

\(\alpha\)を0でない極限順序数とする。\(\alpha\)より小さい順序数で添え字づけられた順序数の列\(\{\gamma_\xi\}_{\xi<\alpha}\)を\(\alpha\)-列と呼ぶ。\(\alpha\)-列が非減少、すなわち\(\xi<\eta\)ならば\(\gamma_\xi\leq\gamma_\eta\)が成り立つとき、\(\alpha\)-列の極限\(\lim_{\xi\to\alpha}\gamma_\xi\)が以下のように定義できる:

  • \(\lim_{\xi\to\alpha}\gamma_\xi=\sup\{\gamma_\xi\ |\ \xi<\alpha\}\)

一般の順序数列に対しては、\(\liminf_{\xi\to\alpha}\gamma_\xi=\limsup_{\xi\to\alpha}\gamma_\xi\)であるときに極限が存在するとして、その値を極限\(\lim_{\xi\to\alpha}\gamma_\xi\)として定義する。

適当な順序数\(X\)を定義域として、\(f:X\to\mathbf{Ord}\)は順序数値の関数とする。\(f\)が連続であるとは、任意の0でない極限順序数\(\alpha<X\)について

  • \(f(\alpha)=\lim_{\xi\to\alpha}f(\xi)\)

すなわち極限を保存することをいう。

また同様に、順序数の関数\(f:\mathbf{Ord}\to\mathbf{Ord}\)が極限を保存するとき、これも連続関数であるという。

\(f:X\to\mathbf{Ord}\)が正規関数であるとは、狭義単調増加かつ連続であることを言う。


連続関数と順序位相

任意の順序数\(X\)について、これは\(X\)より小さい順序数全てからなる集合であるが、ここに順序位相と呼ばれる位相を入れることを考える。これは、\(X\)の開集合を以下の帰納的定義で定めることに等しい:

  1. 空集合\(Ø\),および\(X\)の全体自身は開集合。
  2. (半)開区間 \([0,x)=\{\alpha\in X|0\leq\alpha< X\}\) および \((x,X)=\{\alpha\in X|x<\alpha< X\}\) は全て開集合。
  3. 2つの開集合\(O,O'\)の共通部分\(O\cap O'\)は開集合。
  4. 集合\(\Lambda\)を添え字とした任意個数の開集合の族 \(\{O_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\)について、その和集合 \(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda=\{\alpha\in X|\exists\lambda\in\Lambda.\alpha\in O_\lambda\}\)は開集合。
  5. 以上の操作を再帰的に繰り返して得られる最小の集合を開集合の全体\(\mathcal{O}_X\)とする。

いま、順序数\(X,Y\)に上記定義による順序位相が入っているとするとき、順序数の連続関数\(f:X\to Y\)は位相空間論の意味でも連続関数になる。すなわち、任意の\(Y\)の開集合\(O\in\mathcal{O}_Y\)について、その逆像 \(f^{-1}(O)=\{\alpha\in X|f(\alpha)\in O\}\)は\(X\)の開集合となる。


正規関数と閉集合

順序数のクラス\(C\subset\mathbf{Ord}\)が閉であることを、\(C\)上の任意の非減少\(\alpha\)-列が\(C\)上に極限を持つことで定義する。
すなわち、\(\forall\{\gamma_\xi\}_{\xi<\alpha},nondecreasing.\forall\gamma\in\mathbf{Ord}.\left[\gamma=\lim_{\xi\to\alpha}\gamma_\xi\Rightarrow\gamma\in C\right]\)が成り立つことを閉と定義する。
(\(C\)が適当な順序数\(\mathfrak{X}\)について\(C\subset\mathfrak{X}\)である場合、\(C\)は\(\mathfrak{X}\)の閉集合(順序位相において)である。)

このとき、正規関数\(f:\mathbf{Ord}\to\mathbf{Ord}\)の像は閉であり、逆に閉な順序数のクラスに対してそれを数え上げる正規関数の存在が成り立つ。


不動点と導関数

順序数の関数\(f:\mathbf{Ord}\to\mathbf{Ord}\)が不動点を持つとは、\(f(\alpha)=\alpha\)を満たす\(\alpha\)が存在することを言う。

定理
順序数上の正規関数は不動点を持つ。

証明:
適当な順序数\(x\)に対して、非減少\(\omega\)-列\(\{\alpha_n\}_{n<\omega}\)を \(\alpha_0=x,\ \alpha_{n+1}=f(\alpha)\)で定義する。
\(\alpha=\lim_{n\to\omega}\alpha_n\)とおくと、この\(\alpha\)は\(f\)の不動点である。\(\square\)

正規関数\(f(x)\)の不動点の非減少\(\omega\)-列について、この極限は再び\(f\)の不動点になる。従って、不動点の集合\(\mathrm{Fix}_x(f(x))\)は\(\mathbf{Ord}\)の閉集合である。従って、これを数え上げる関数\(\mathrm{Enum}\left(\mathrm{Fix}_x(f(x))\right)\)は正規関数である。
さらに、証明から任意の順序数に対してそれより大きな不動点の存在が言えるので、不動点の全体は\(\mathbf{Ord}\)と同型になる。この関数を\(f\)の第一階導関数(the first derived function of \(f\))という。導関数という名称であるが、解析学における導関数などとはあまり関連性がない。

\(f\)の第一階導関数も正規関数なのだから、導関数を取る操作を繰り返して第二階、第三階…の導関数についても考えることができる。
さらに、任意の0でない順序数\(\alpha\)について、\(\alpha\)-階導関数\(d^\alpha f\)を以下で定める:

  • \(d^\alpha f(x)=\mathrm{Enum}_x\left(\bigcap_{\xi<\alpha}\mathrm{Fix}_z(d^\xi f(z))\right)\)

すなわち、\(\alpha\)より小さい階数の導関数すべてにおいて不動点となる順序数を数え上げる関数が\(\alpha\)-階導関数である。
位相空間論において、閉集合族の共通部分は閉集合となるが、上で定義した順序数の閉クラスでもこの性質は成り立つ。従って、\(\alpha\)-階導関数はすべて正規関数である。

命題
順序数の正規関数\(f(x)\)について、\(f(0)>0\)を仮定する。\(d^\alpha f(0)\)を\(\alpha\)の関数として見たとき、これは正規関数となる。

証明:
\(0< f(0)\)より、最小の不動点\(df(0)\)は0および\(f(0)\)より大きい。以下同様にして、\(0< d^\alpha f(0)\)から\(0< d^{\alpha+1}f(0)\)と\(d^\alpha f(0)< d^{\alpha+1}f(0)\)が得られる。 また、導関数の定義から\(d^{\lim_{\xi\to\alpha}\xi}f(0)=\lim_{\xi\to\alpha}d^\xi f(0)\)。
よって\(d^\alpha f(0)\)は\(\alpha\)の正規関数。\(\square\)


多変数・「超限変数」への拡張

正規関数\(f(x)\)は\(0< f(0)\)を満たすと仮定する。
このとき、\(f(a,x)=d^af(x)\)とおくと、前節の命題から\(f(a,0)\)はふたたび正規関数となる。従って、この\(a\)の関数に対する\(\alpha\)-階導関数を考えることができる。

以下同様にして、多変数関数まで拡張ができる。

さらに任意の順序数に対して「第\(\alpha\)-引数」を考えられるようにする。任意の正規関数\(f(x)\)に対して、表記\(f(\cdots)\)を以下で定義する:

  • \(f\begin{pmatrix}\chi \\ 0\end{pmatrix}=f(\chi)\)
  • \(f\begin{pmatrix}\cdots & \alpha & \chi \\ \cdots & \gamma & 0\end{pmatrix}=\mathrm{Enum}_\chi\left(\bigcap_{\alpha'<\alpha,\gamma'<\gamma}\mathrm{Fix}_z\left(\phi\begin{pmatrix}\cdots & \alpha' & z \\ \cdots & \gamma & \gamma'\end{pmatrix}\right)\right)\).
  • \(f\begin{pmatrix}0 & \chi \\ \beta & 0\end{pmatrix}=\mathrm{Enum}_\chi\left(\bigcap_{\gamma<\beta}\mathrm{Fix}_z\left(\phi\begin{pmatrix}z \\ \gamma\end{pmatrix}\right)\right)\).

ただし引数としておかれている2行N列の行列は、それぞれの列について、1行目が引数の値を、2行目が引数の位置を表すと設定する。省略された\(\beta\)より小さな位置の引数は全て値が0とする。

この定義は、任意の\(f(x)\)に対して定義できるが、\(0< f(0)\)であるときは\(f\begin{pmatrix}\cdots & \chi \\ \cdots & \beta\end{pmatrix}\) が常に\(\chi\)の正規関数になる。


ϕ表記と大ヴェブレン順序数

\(\phi\begin{pmatrix}\chi \\ 0\end{pmatrix}=1+\chi\) から導かれる表記がヴェブレンの\(\phi\)表記である。
この関数は\(\phi(0)>0\)を満たす正規関数である。

また、関数\(\phi(\chi)=1+\chi\)の像は0でない順序数の全体になるため、0でない順序数はすべて何らかの(“正則”でない表記も含めて)表記が\(\phi\)によって可能となる。

定理
\(\phi\begin{pmatrix}0\\ \beta\end{pmatrix}\)は\(\beta\)の正規関数。

証明は定義からほとんど明らかである。
定理から、この関数にも不動点が存在することが示される。最も小さい不動点を大ヴェブレン順序数\(LVO\)と呼ぶ。


基本列

大ヴェブレン順序数までの極限順序数に対して基本列が構成できる。

\(\alpha=\phi\begin{pmatrix}\cdots & \chi\\ \cdots & 0\end{pmatrix}\)が極限順序数であるとき、\(\chi\)が極限順序数であるか、表記が3変数以上であるかのどちらかが成り立つ。
それぞれの場合において基本列は例えば以下のように構成される:

1) \(\chi\)が0でない極限順序数のとき、\(\phi\begin{pmatrix}\cdots & \chi \\ \cdots & 0\end{pmatrix}[n]=\phi\begin{pmatrix}\cdots & \chi[n]\\ \cdots & 0\end{pmatrix}\)。

2a) \(\alpha=\phi\begin{pmatrix}\cdots & \gamma+1\\ \cdots & \beta+1\end{pmatrix}\)が極限順序数のとき、

  • \(\alpha[0]=0\)
  • \(\alpha[n+1]=\phi\begin{pmatrix}\cdots & \gamma & \alpha[n] \\ \cdots & \beta+1 & \beta\end{pmatrix}\)

2b) \(\alpha=\phi\begin{pmatrix}\cdots & \gamma+1 & \chi+1 \\ \cdots & \beta+1 & 0\end{pmatrix}\)が極限順序数のとき、

  • \(\alpha[0]=\phi\begin{pmatrix}\cdots & \gamma+1 & \chi \\ \cdots & \beta+1 & 0\end{pmatrix}+1\),
  • \(\alpha[n+1]=\phi\begin{pmatrix}\cdots & \gamma & \alpha[n] \\ \cdots & \beta+1 & \beta\end{pmatrix}\)

3) \(\alpha=\phi\begin{pmatrix}\cdots & \gamma & \chi+1 \\ \cdots & \beta+1 & 0\end{pmatrix}\)は極限順序数、\(\gamma\)は0でない極限順序数のとき、

  • \(\alpha[n]=\phi\begin{pmatrix}\cdots & \gamma[n] & \phi\begin{pmatrix}\cdots & \gamma & \chi\\ \cdots & \beta+1 & 0\end{pmatrix}+1\\ \cdots & \beta+1 & \beta\end{pmatrix}\).

4a) \(\beta\)が0でない極限順序数のとき、

  • \(\phi\begin{pmatrix}\cdots & \gamma+1 \\ \cdots & \beta\end{pmatrix}[n]=\phi\begin{pmatrix}\cdots & \gamma & 1\\ \cdots & \beta & \beta[n]\end{pmatrix}\).

4b) \(\beta\)が0でない極限順序数のとき、

  • \(\phi\begin{pmatrix}\cdots & \gamma+1 & \chi+1\\ \cdots & \beta & 0\end{pmatrix}[n]=\phi\begin{pmatrix}\cdots & \gamma & \phi\begin{pmatrix}\cdots & \gamma+1 & \chi\\ \cdots & \beta & 0\end{pmatrix}+1 \\ \cdots & \beta & \beta[n]\end{pmatrix}\)

5) \(\beta,\gamma\)が0でない極限順序数のとき、

  • \(\phi\begin{pmatrix}\cdots & \gamma & \chi+1\\ \cdots & \beta & 0\end{pmatrix}[n] = \phi\begin{pmatrix}\cdots & \gamma[n] & \phi\begin{pmatrix}\cdots & \gamma & \chi\\ \cdots & \beta & 0\end{pmatrix}+1 \\ \cdots & \beta & \beta[n]\end{pmatrix}\)

6) 大ヴェブレン順序数\(LVO\)の基本列を以下で定める:

  • \(LVO[0]=0\)
  • \(LVO[n+1]=\phi\begin{pmatrix}0 \\ LVO[n]\end{pmatrix}\)

参考文献

  • Thomas Jech (2003). Set Theory. Springer, Berlin, Heidelberg.
  1. Oswald Veblen (1908). Continuous Increasing Functions of Finite and Transfinite Ordinals. Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 9, No. 3, pp.280-292.
特に記載のない限り、コミュニティのコンテンツはCC-BY-SA ライセンスの下で利用可能です。