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他のθ関数については、θ関数 をご覧ください。

ヴァイアーマンの \(\vartheta\) 関数(Weiermann's \(\vartheta\) function)またはラティエン・ヴァイアーマンの \(\vartheta\) 関数(Rathjen–Weiermann \(\vartheta\) function)はラティエンとヴァイアーマンによって定義された順序数崩壊関数である[1]

定義

\(\vartheta\colon\mathrm{On}\to\mathrm{On}\) と \(C(\alpha,\beta)\) は以下のように同時に帰納的に定義される。 \( \begin{eqnarray*} C_0(\alpha,\beta) &=& \beta\cup\{0, \Omega\}\\ C_{n+1}(\alpha,\beta) &=& \{\gamma+\delta, \omega^\gamma, \vartheta(\eta) \mid C_n(\alpha,\beta); \eta<\alpha\}\\ C(\alpha,\beta) &=& \bigcup_{n<\omega} C_n(\alpha,\beta)\\ \vartheta(\alpha) &=& \min\{\beta<\Omega \mid C(\alpha,\beta)\cap\Omega\subseteq\beta \wedge \alpha\in C(\alpha,\beta)\} \end{eqnarray*} \)

\(\vartheta\)関数は、ブーフホルツのψ関数に比べ \(C\) が指数関数に対しても閉じるため、標準形を作る際に、複雑さが若干増す代わりに引数が一つだけになるという利点がある。

ラティエンとヴァイアーマンは\(\vartheta(\alpha)\)がすべての\(\alpha<\varepsilon_{\Omega+1}\)に対して定義されていることを示したが、それより大きい値については論じなかった。

上述の通り、\(\vartheta\)は他の多くの順序数崩壊関数と同様に集合 \(C\) と同時に帰納的に定義される。

  • \(C(\alpha,\beta)\) は以下のようにして構築可能な順序数の集合である:
    • \(0\)、すべての \(\beta\) より小さい順序数、そして \(\Omega\) は \(C(\alpha,\beta)\)に属する。
    • \(C(\alpha,\beta)\) は有限回の加法、と指数関数 \(\xi\mapsto\omega^\xi\)、と\(\kappa\mapsto\vartheta(\kappa)\)(ただしここで考えるのは\(\kappa < \alpha\)のみ)に関して閉じている。
  • \(\vartheta(\alpha)\)は「\(C(\alpha,\beta)\cap\Omega\subseteq\beta\)かつ\(\alpha\in C(\alpha,\beta)\)」を満たす順序数\(\beta\)の中で最小のものである。

ラティエンとヴァイアーマンはブーフホルツによるΨ関数[2]と比較しているが、その\(\psi\)関数はブーフホルツのψ関数ではないことに注意すべきである。

関連項目

参考文献

  1. M. Rathjen. and A. Weiermann. Proof-theoretic investigations on Kruskal's theorem. Annals of Pure and applied Logic 60.1 (1993): 49-88.
  2. W. Buchholz. and K. Schütte. Proof Theory of Impredicative Subsystems of Analysis (Studies in Proof Theory, Monographs, Vol 2) 1989
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