お料理巨大数投稿用記事

お料理巨大数投稿用の記事です。

表記[]

ハンバーガーはバンズと呼ばれるパン\((]\)の間にパティと呼ばれる具を挟んだお料理です。より正確にはハンバーガーとパティという概念を以下のように再帰的に定義します：

\(\textsf{肉}\)はパティです。
パティ\(x\)に対して、\((x]\)はハンバーガーです。
ハンバーガー\(s\)と\(t\)に対して、\(s \frown t\)はハンバーガーです。ただし\(s \frown t\)とは\(s\)末尾のパン\(]\)と\(t\)先頭のパン\((\)を除去した上でそれらの間にパン\(|\)を挟んで並べたもののことです。
ハンバーガー\(s\)とパティ\(x\)に対して、\(\textsf{肉} s x\)はパティです。

例えば\(( \textsf{肉} ]\)や\(( \textsf{肉} | \textsf{肉} ]\)や\(( \textsf{肉} ( \textsf{肉} ] \textsf{肉} ]\)はハンバーガーですが、\(\textsf{肉}\)や\((]\)や\((( \textsf{肉} ]]\)はハンバーガーではありません。

またパティ素材という概念を以下のように定義します：

ハンバーガー\(s\)に対して、\(s\)はパティ素材です。
ハンバーガー\(s\)と\(t\)に対して、\(s \textsf{肉} t\)はパティ素材です。

定義から、全てのパティは１個以上の\(\textsf{肉}\)を並べて間にハンバーガーを挟んだものとなります。そのように表した時に並ぶ\(\textsf{肉}\)が奇数個のパティをオッドパティと呼び、偶数個のパティをイブンパティと呼びます。例えば\(\textsf{肉}\)自体は\(1\)個の肉が並んでいるだけですのでオッドパティとなります。\(\textsf{肉}\)でないパティ\(x\)はオッドパティ\(z\)とパティ素材\(s\)を用いて\(z s \textsf{肉}\)と表され、\(\textsf{肉} s \textsf{肉}\)がイブンパティであることは\(x\)がイブンパティであることと同値です。

パティ素材\(s\)に対し、\(s\)の土台という概念を以下のように定義します：

\(s\)がハンバーガー\(s\)である場合、\(s\)の土台は\(s\)です。
ハンバーガー\(s_0\)と\(s_1\)を用いて\(s\)が\(s_0 \textsf{肉} s_1\)と表せる場合、\(s\)の土台は\(s_1\)です。

パティは食べやすいように切り分けたいことがあります。その際はパティが崩れないように、上から順に切り分けるようにしましょう。より正確には、パティ\(x\)と\(y\)とパティ素材\(u\)に対し\(x\)を切り分けると\(u\)と\(y\)になるという関係を以下の全てが成り立つということと定めます：

\(x\)と\(\textsf{肉} u y\)が等しい。
\(u\)がハンバーガーである場合、\(y\)が\(\textsf{肉}\)である。

\(x\)と\(\textsf{肉}\)が等しくなければ\(x\)を切り分けることができますね。

更にパティ\(x\)とパティ素材\(v\)に対し、\(x\)が\(v\)を素材とするという関係を以下の全てが成り立つということと定めます：

\(x\)が\(\textsf{肉}\)である場合、\(x\)が\(v\)を素材としません。
\(x\)を切り分けるとパティ素材\(u\)とパティ\(z\)になる場合、\(x\)が\(v\)を素材とすることは以下のいずれかが成り立つことと同値です：
1. \(u\)と\(v\)が等しい。
2. \(z\)が\(v\)を素材とする。

大小関係[]

パティが贅沢であるほどハンバーガーは豪華なものとなります。より正確には、ハンバーガー\(s\)と\(t\)に対し\(s\)より\(t\)が豪華であるという関係と、パティ\(x\)と\(y\)に対し\(x\)より\(y\)が贅沢であるという関係を、以下のように同時に再帰的に定義します：

\(s\)より\(t\)が豪華であることの定義

パティ\(x\)を用いて\(s\)が\((x]\)と表せるとします。
1. パティ\(y\)を用いて\(t\)が\((y]\)と表せる場合、\(s\)より\(t\)が豪華であるということは\(x\)より\(y\)が贅沢であるということです。
2. パティ\(y\)とハンバーガー\(v\)を用いて\(t\)が\((y] \frown v\)と表せる場合、\(s\)より\(t\)が豪華であるということは\(y\)より\(x\)が贅沢ではないということです。
パティ\(x\)とハンバーガー\(u\)を用いて\(s\)が\((x] \frown u\)と表せるとします。
1. パティ\(y\)を用いて\(t\)が\((y]\)と表せる場合、\(s\)より\(t\)が豪華であるということは\(x\)より\(y\)が贅沢であるということです。
2. パティ\(y\)とハンバーガー\(v\)を用いて\(t\)が\((y] \frown v\)と表せる場合、\(s\)より\(t\)が豪華であるということは以下のいずれかが成り立つということです：
  1. \(x\)より\(y\)が贅沢である。
  2. \(x\)と\(y\)が等しく、かつ\(u\)より\(v\)が豪華である。

\(x\)より\(y\)が贅沢であることの定義

\(y\)が\(\textsf{肉}\)である場合、\(x\)より\(y\)が贅沢ではありません。
\(x\)が\(\textsf{肉}\)であり\(y\)が\(\textsf{肉}\)でない場合、\(x\)より\(y\)が贅沢です。
\(x\)を切り分けるとパティ素材\(s\)とパティ\(u\)になり\(y\)を切り分けるとパティ素材\(t\)とパティ\(v\)になるとします。
1. \(t\)がハンバーガーである場合、\(x\)より\(y\)が贅沢であるということは以下の全てが成り立つということです：
  1. \(s\)がハンバーガーである。
  2. \(s\)より\(t\)が豪華である。
2. \(s\)がハンバーガーでありかつ\(t\)がハンバーガーでない場合、\(x\)より\(y\)が贅沢です。
3. ハンバーガー\(u_0\)と\(u_1\)と\(v_0\)と\(v_1\)を用いて\(s\)と\(t\)がそれぞれ\(u_0 \textsf{肉} u_1\)と\(v_0 \textsf{肉} v_1\)と表せる場合、\(x\)より\(y\)が贅沢であるということは以下のいずれかが成り立つということです：
  1. \(u_0\)より\(v_0\)が豪華である。
  2. \(u_0\)と\(v_0\)が等しく、かつ\(u_1\)より\(v_1\)が豪華である。
  3. \(u_0\)と\(v_0\)が等しく、かつ\(u_1\)と\(v_1\)が等しく、かつ\(u\)より\(v\)が贅沢である。

もちろん「\(s\)より\(t\)が豪華ではない」とは「\(s\)より\(t\)が豪華である」ということの否定です。「\(t\)より\(s\)が豪華である」という意味ではないので、混同しないようにご注意下さい。

構成可能性[]

パティにも作りやすいものとそうでないものがあります。より正確には、パティ素材\(u\)とパティ\(y\)に対し\(u\)より\(y\)が技巧的であるという関係を、以下のように再帰的に定義します：

\(y\)が\(\textsf{肉}\)である場合、\(u\)より\(y\)が技巧的ではありません。
オッドパティ\(w\)とパティ素材\(v\)を用いて\(y\)が\(w v \textsf{肉}\)と表せる場合、\(u\)より\(y\)が技巧的であることは以下のいずれかが成り立つことと同値です：
1. \(u\)の土台より\(v\)の土台が豪華である。
2. \(w\)が\(u\)を素材とする。

ハンバーガーはただバンズにパティを挟めばいいというわけではなく、バランスよく挟むことが望ましいです。より正確には、ハンバーガー\(s\)とパティ\(y\)に対して\(s\)が\(y\)基準でバランスがよいという関係を以下のように再帰的に定義します：

\(y\)が\(\textsf{肉}\)である場合、\(s\)が\(y\)基準でバランスがよくありません。
オッドパティ\(w\)とパティ素材\(v\)を用いて\(y\)が\(w v \textsf{肉}\)と表せるとします。
1. パティ\(x\)を用いて\(s\)が\((x]\)と表せるとします。
  1. \(x\)が\(\textsf{肉}\)である場合、\(s\)が\(y\)基準でバランスがよいです。
  2. オッドパティ\(z\)とパティ素材\(u\)を用いて\(x\)が\(z u \textsf{肉}\)と表せる場合、\(s\)が\(y\)基準でバランスがよいことは以下が全て成り立つことと同値です：
    1. \((z]\)が\(y\)基準でバランスがよい
    2. \(u\)より\(y\)が技巧的であるか、または\(s\)より\((y]\)が豪華である。
    3. \(u\)がハンバーガーである場合、\(u\)が\(y\)基準でバランスがよい。
    4. ハンバーガー\(u_0\)と\(u_1\)を用いて\(u\)が\(u_0 \textsf{肉} u_1\)と表せる場合、\(u_0\)が\(y\)基準でバランスがよくかつ\(u_1\)が\(y\)基準でバランスがよい。
2. ハンバーガー\(u\)とパティ\(x\)を用いて\(s\)が\(u \frown (x]\)と表せる場合、\(s\)が\(y\)基準でバランスがよいということは以下の全てが成り立つということです：
  1. \(u\)が\(y\)基準でバランスがよい。
  2. \((x]\)が\(y\)基準でバランスがよい。

標準形[]

最後に、バランスよくパティを挟んだハンバーガーを食べやすい順番に並べましょう。より正確には、ハンバーガー\(s\)に対し\(s\)が食べやすいという関係を以下のように再帰的に定めます：

パティ\(x\)を用いて\(s\)が\((x]\)と表せるとします。
1. \(x\)が\(\textsf{肉}\)である場合、\(s\)が食べやすいです。
2. オッドパティ\(z\)とパティ素材\(u\)を用いて\(x\)が\(z u \textsf{肉}\)と表せる場合、\(s\)が食べやすいということは以下の全てが成り立つということです：
  1. \((z]\)が食べやすい。
  2. ハンバーガー\(u_0\)と\(u_1\)と\(u_2\)と\(u_3\)とオッドパティ\(w\)を用いて\(u\)と\(z\)がそれぞれ\(u_0 \textsf{肉} u_1\)と\(w u_2 \textsf{肉} u_3 \textsf{肉}\)と表せる場合、\(u_0\)より\(u_2\)が豪華である。
  3. \(u\)がハンバーガーである場合、\(u\)が食べやすくかつ\(u\)が\(x\)基準でバランスがよい。
  4. ハンバーガー\(u_0\)と\(u_1\)を用いて\(u\)が\(u_0 \textsf{肉} u_1\)と表せる場合、\(u_0\)が食べやすくかつ\(u_1\)が食べやすくかつ\(u_1\)が\(x\)基準でバランスがよい。
パティ\(x_0\)と\(x_1\)を用いて\(s\)が\(( x_0 | x_1 ]\)と表せる場合、\(s\)が食べやすいということは以下の全てが成り立つということです：
1. \((x_0]\)が食べやすい。
2. \((x_1]\)が食べやすい。
3. \((x_0]\)より\((x_1]\)が豪華ではない。
ハンバーガー\(u\)とパティ\(x_0\)と\(x_1\)を用いて\(s\)が\(u \frown ( x_0 | x_1 ]\)と表せる場合、\(s\)が食べやすいということは以下の全てが成り立つということです：
1. \(u \frown (x_0]\)が食べやすい。
2. \((x_0 | x_1]\)が食べやすい。

基本列[]

大きなハンバーガーは食べやすいように小さく切って食べるのがマナーです。ハンバーガー\(s\)と\(t\)と自然数\(n\)に対し、\(t\)が\(s\)の\(n\)番目の切り方の候補であるとは以下の全てが成り立つということです：

\(t\)が食べやすい。
\(t\)より\(s\)が豪華である。
\(t\)の肉の枚数は\(s\)の肉の枚数より\(n+1\)以上大きくはない。

幸いなことに\(s\)の\(n\)番目の切り方の候補であるようなハンバーガー\(t\)は有限個しかありません。

ハンバーガー\(s\)と自然数\(n\)に対し、ハンバーガー\(s[n]\)を以下のように再帰的に定義します：

\(s\)が\(( \textsf{肉} ]\)である場合、\(s[n]\)は\(( \textsf{肉} ]\)です。
\(s\)が\(( \textsf{肉} ]\)でない場合、\(s[n]\)は以下の全ての条件を満たす唯一のハンバーガーです：
1. \(s[n]\)が\(s\)の\(n\)番目の切り方の候補である。
2. \(s\)の\(n\)番目の切り方の候補であるいかなるハンバーガー\(t\)に対しても、\(s[n]\)より\(t\)が豪華ではない。

上述した有限性から、分岐22の判定は有限の時間で行えることに注意しましょう。

急増加関数[]

それでは実際にハンバーガーを食べやすい大きさに切って食べる方法を紹介します。ハンバーガー\(s\)は以下のように再帰的に食べます：

\(s\)が\(( \textsf{肉} ]\)である場合、そのまま食べます。ごちそうさま！
\(s\)が\(( \textsf{肉} ]\)でないとします。
1. \(s\)に味付けをし忘れていました！　\(s\)にケチャップを塗りましょう！
2. \(s\)を切って\(s[n+1]\)と\(( \textsf{肉} ]\)と残骸に分け、\(s\)を\(s[n+1]\)に置き換えます。ただし\(n\)は既に食べた\(( \textsf{肉} ]\)の総枚数です。
3. 切り分けた\(( \textsf{肉} ]\)を食べます。
4. 切り分けた残骸は冷蔵庫に入れます。
5. 分岐1に戻ります。（※分岐21ではありません）

これはおいしい！

巨大数[]

さて、食べやすいどんなハンバーガーを用意しましょう。自然数\(n\)に対し、食べやすいハンバーガー\(\Lambda(n)\)を以下のように再帰的に定めます：

\(n\)が\(0\)である場合、\(\Lambda(n)\)は\(( \textsf{肉} ]\)です。
\(n\)が\(0\)でない場合、\(\Lambda(n)\)は\(( \textsf{肉} \Lambda(n-1) \textsf{肉} \Lambda(n-1) \textsf{肉} ]\)です。

それでは\(\Lambda(10)\)をお召し上がり下さい！

\(\Lambda(10)\)を食べる際に食べた\(\textsf{肉}\)の総枚数をお料理巨大数への投稿とします。