まえがき[]
2002年10月29日、ふぃっしゅっしゅ氏によって巨大数探索スレッドにふぃっしゅ数バージョン3が投稿されました。しかし、これは現在のふぃっしゅ数バージョン3とは定義が違います。ふぃっしゅ数バージョン\(3\)の当時の定義は「旧ふぃっしゅ数バージョン\(3\)」と呼ばれています。旧ふぃっしゅ数バージョン\(3\)について書きます。
定義[]
旧ふぃっしゅ数バージョン\(3\)の定義を引用します。
188 名前：& ◆UN5NpU6XaM ：02/10/29 11:17
- ロバートさんからの返答を書く前に、ロバートさんに送ったふぃっしゅ数
- バージョン３をそのままのせておきます。
- ********** Definition of Fish number and function **********
- (1) First step: definition of s(1) mapping
- S(1) mapping is a mapping from a pair of a natural number
- and a function to a pair of a natural number and a function.
- One of S(1) mapping, s(1), is defined by the following rule:
- s(1):[m,f(x)] --> [g(m),g(x)]
- where
- B(0,n)=f(n)
- B(m+1,0)=B(m, 1)
- B(m+1,n+1)=B(m, B(m+1, n))
- g(x)=B(x,x)
- When I denote mapping in general, I use large letter S as
- in S(1) mapping, and when I denote a special mapping, I use
- small letter s as in s(1). This distinction will follow.
- s(1):[m,x+1] --> [g(m),g(x)] gives the Ackermann function
- g(x)=ac(x,x). Applying s(1) mapping to the Ackermann function
- itself will yield even larger function.
189 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：02/10/29 11:19
- (2) Second step: definition of s(2) mapping
- S(2) mapping is a mapping from a set of a natural number and
- a function and an S(1) mapping to a set of a natural number and
- a function and an S(1) mapping. The mapping rule of s(2), one
- of the S(2) mapping, is defined by:
- s(2):[m,f(x),s(1)] --> [n,g(x),s'(1)]
- where
- s'(1)=s(1)^f(m)
- s'(1):[m,f(x)] --> [n,p(x)]
- s'(1)^y:[m,f(x)] --> [q(y),r(x,y)]
- g(x)=r(x,x)
(中略)
191 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：02/10/29 11:23
- (3) Third step: definition of s(n) mapping (n>1)
- In fact (2) is included here, when n=2.
- S(n) mapping (n>1) is a mapping from a set of a natural
- number and a function and S(1),S(2),...,S(n-1) mappings to a
- set of a number and a function and S(1),...,S(n-1) mappings.
- The s(n) mapping, one of the S(n) mapping, is defined by:
- s(n):[m,f(x),s(1),s(2),...,s(n-1) -->
- [n,g(x),s'(1),s'(2),...,s'(n-1)]
- where
- s'(n-1)=s(n-1)^f(m)
- s'(n-1):[m,f(x),s(1),s(2),...,s(n-2) -->
- [n,p(x),s'(1),s'(2),...,s'(n-2)]
- s'(n-1)^y:[m,f(x),s(1),s(2),...,s(n-2) -->
- [q(y),r(x,y),s''(1)(y),s''(2)(y),...,s''(n-2)(y)]
- g(x)=r(x,x)
192 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：02/10/29 11:24
- (4) Forth step: definition of ss(1) mapping
- ss(1) mapping is a kind of S(1) mapping and defined by
- ss(1):[m,f(x)] --> [n,g(x)]
- where
- s(m+1)^f(m):[m,f(x),s(1),s(2),...,s(m)] -->
- [n,g(x),s'(1),s'(2),...,s'(m)]
- g(x) is a function obtained by applying s(m+1) mapping to
- [m,f(x),s(1),s(2),...,s(m)] f(m) times.
- (5) Last step: definition of Fish number and Fish function:
- Apply s(2) mapping 63 times to [3,x+1,ss(1)]:
- S(2)^63:[3,x+1,ss(1)] --> [F,F(x),ss'(1)]
- We get the Fish number F and the Fish function F(x).
かみ砕いた定義[]
- ここで定義するものは名前が同じでも文字の色が違えば別物である
- ペアとは非負整数と非負整数関数のペアのことである
- \(S(1)\)変換とはペアからペアへの写像のことである
- 正整数\(n\)に対し\(\text{組}_n\)を、\(2\)以上の整数\(m\)に対し\(S(m)\)変換を、以下のように相互再帰的に定める
- \(\text{組}_n\)とは非負整数と非負整数関数と\(S(1)\)変換と\(S(2)\)変換と\(\cdots\)と\(S(n)\)変換の組のことである
- \(S(m)\)変換とは\(\text{組}_{m-1}\)から\(\text{組}_{m-1}\)への写像のことである
- ペア\(P\)と\(2\)以下の正整数\(n\)に対し\(P\)の\(n\)番目の要素を\(P_n\)と書く
- 組\(T\)と\(T\)の長さ以下の正整数\(n\)に対し\(T\)の\(n\)番目の要素を\(T_n\)と書く
\(S(1)\)変換\(\textcolor{red}{s}(1)\)を以下のように定義する。 \[\textcolor{red}{s}(1)(P)=(g(\textcolor{red}{m}),g)\] ただし非負整数関数\(g\)は以下で与えられる。 \[g(x)=B(x,x)\] ただし\(2\)変数非負整数関数\(B\)は以下で与えられる。 \begin{eqnarray*} B(0,n)&=&f(n)\\ B(\textcolor{blue}{m}+1,0)&=&B(\textcolor{blue}{m},1)\\ B(\textcolor{blue}{m}+1,n+1)&=&B(\textcolor{blue}{m},B(\textcolor{blue}{m}+1,n)) \end{eqnarray*} ただし非負整数関数\(f\)は以下で与えられる。 \[f=P_2\] また非負整数\(\textcolor{red}{m}\)は以下で与えられる。 \[\textcolor{red}{m}=P_1\] \(2\)以上の整数\(\textcolor{red}{n}\)に対し\(S(\textcolor{red}{n})\)変換\(\textcolor{red}{s}(\textcolor{red}{n})\)を以下のように定義する。 \[\textcolor{red}{s}(\textcolor{red}{n})(T)=(\textcolor{blue}{n},g,s'(1),s'(2),...,s'(\textcolor{red}{n}-1))\] ただし非負整数\(\textcolor{blue}{n}\)は以下で与えられる。 \[\textcolor{blue}{n}=s'(\textcolor{red}{n}-1)((\textcolor{red}{m},f,\textcolor{blue}{s}(1),\textcolor{blue}{s}(2),...,\textcolor{blue}{s}(\textcolor{red}{n}-2)))_1\] ただし\(S(\textcolor{red}{n}-1)\)変換\(s'(\textcolor{red}{n}-1)\)は以下で与えられる。 \[s'(\textcolor{red}{n}-1)=\textcolor{blue}{s}(\textcolor{red}{n}-1)^{f(\textcolor{red}{m})}\] ただし\(S(\textcolor{red}{n}-1)\)変換\(\textcolor{blue}{s}(\textcolor{red}{n}-1)\)は以下で与えられる。 \[\textcolor{blue}{s}(\textcolor{red}{n}-1)=T_{\textcolor{red}{n}+1}\] また非負整数関数\(f\)は以下で与えられる。 \[f=T_2\] また非負整数\(\textcolor{red}{m}\)は以下で与えられる。 \[\textcolor{red}{m}=T_1\] また\(\textcolor{red}{n}-2\)以下の正整数\(\textcolor{blue}{m}\)に対し\(\textcolor{blue}{s}(\textcolor{blue}{m})\)は以下で与えられる。 \[\textcolor{blue}{s}(\textcolor{blue}{m})=T_{\textcolor{blue}{m}+2}\] また非負整数関数\(g\)は以下で与えられる。 \[g(x)=s'(\textcolor{red}{n}-1)^x((\textcolor{red}{m},f,\textcolor{blue}{s}(1),\textcolor{blue}{s}(2),...,\textcolor{blue}{s}(\textcolor{red}{n}-2)))_2(x)\] また\(\textcolor{red}{n}-2\)以下の正整数\(\textcolor{blue}{m}\)に対し\(s'(\textcolor{blue}{m})\)は以下で与えられる。 \[s'(\textcolor{blue}{m})=s'(\textcolor{red}{n}-1)((\textcolor{red}{m},f,\textcolor{blue}{s}(1),\textcolor{blue}{s}(2),...,\textcolor{blue}{s}(\textcolor{red}{n}-2)))_{\textcolor{blue}{m}+2}\] \(S(1)\)変換\(ss(1)\)を以下のように定義する。 \[ss(1)(P)=(n,g)\] ただし非負整数\(n\)は以下で与えられる。 \[n=\textcolor{red}{s}(m+1)^{f(m)}((m,f,\textcolor{red}{s}(1),\textcolor{red}{s}(2),...,\textcolor{red}{s}(m)))_1\] ただし非負整数\(m\)は以下で与えられる。 \[m=P_1\] また非負整数関数\(f\)は以下で与えられる。 \[f=P_2\] また非負整数関数\(g\)は以下で与えられる。 \[g=\textcolor{red}{s}(m+1)^{f(m)}((m,f,\textcolor{red}{s}(1),\textcolor{red}{s}(2),...,\textcolor{red}{s}(m)))_2\] 非負整数関数\(f_0\)を以下のように定義する。 \[f_0(x)=x+1\] 非負整数\(\textcolor{red}{F_3}\)(旧ふぃっしゅ数バージョン\(3\))を以下のように定義する。 \[\textcolor{red}{F_3}=\textcolor{red}{s}(2)^{63}((3,f_0,ss(1)))_1\] 非負整数関数\(\textcolor{blue}{F_3}\)(旧ふぃっしゅ関数バージョン\(3\))を以下のように定義する。 \[\textcolor{blue}{F_3}=\textcolor{red}{s}(2)^{63}((3,f_0,ss(1)))_2\]
現在のふぃっしゅ数バージョン3のかみ砕いた定義[]
- ここで定義するものは名前が同じでも文字の色が違えば別物である
- \(S\)変換とは正整数関数から正整数関数への写像のことである
\(S\)変換\(s(1)\)を以下のように定義する。 \[s(1)(\textcolor{red}{f})=g\] ただし正整数関数\(g\)は以下で与えられる。 \[g(x)=\textcolor{red}{f}^x(x)\] \(2\)以上の整数\(n\)に対し\(S\)変換\(s(n)\)を以下のように定義する。 \[s(n)(\textcolor{red}{f})=g\] ただし正整数関数\(g\)は以下で与えられる。 \[g(x)=s(n-1)^x(\textcolor{red}{f})(x)\] \(S\)変換\(ss(1)\)を以下のように定義する。 \[ss(1)(\textcolor{red}{f})=g\] ただし正整数関数\(g\)は以下で与えられる。 \[g(x)=s(x)(\textcolor{red}{f})(x)\] \(2\)以上の整数\(n\)に対し\(S\)変換\(ss(n)\)を以下のように定義する。 \[ss(n)(\textcolor{red}{f})=g\] ただし正整数関数\(g\)は以下で与えられる。 \[g(x)=ss(n-1)^x(\textcolor{red}{f})(x)\] 正整数関数\(\textcolor{blue}{f}\)を以下のように定義する。 \[\textcolor{blue}{f}(x)=x+1\] 正整数関数\(\textcolor{blue}{F_3}\)(ふぃっしゅ関数バージョン\(3\))を以下のように定義する。 \[\textcolor{blue}{F_3}(x)=ss(2)^{63}(\textcolor{blue}{f})(x)\] 正整数\(\textcolor{red}{F_3}\)(ふぃっしゅ数バージョン\(3\))を以下のように定義する。 \[\textcolor{red}{F_3}=\textcolor{blue}{F_3}^{63}(3)\]
解析[]
急増加関数\(f\)とWainer階層を使って解析します。
ふぃっしゅ数バージョン3では
\[f_{\omega^{\omega+1}\ 63+1}(62)<\textcolor{red}{F_3}<f_{\omega^{\omega+1}\ 63+1}(63)\]
旧ふぃっしゅ数バージョン\(3\)では
\[f_{\omega^\omega63+2}(1)<\textcolor{red}{F_3}<f_{\omega^\omega63+2}(2)\]
下限が\(2\)なのはさすがにどうかと思うのでもっと詳しい解析
\[f_{\omega^\omega63+1}(f_{\omega^\omega62+2}(2))<\textcolor{red}{F_3}<f_{\omega^\omega63+1}(f_{\omega^\omega62+2}(3))\]