ユーザーブログ:Naruyoko

Naruyoko • 2023年4月21日 (金)

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指数タワーの底の変換における一番上の数の収束性の予想

任意の非負整数\(n\)及び実数\(b,x\)に対し、\(\mathop{\mathrm{replog}}_b[n](x)=\begin{cases}x&n=0\\\mathop{\mathrm{replog}}_b[n-1](\log_b(x))&\textrm{otherwise}\end{cases}\)と定義(全域でない)します。このとき次を挙げます。

つまり、指数タワーの底を変換すると、高さをどうずらすかは定義されるならば自由としたとき、一番上の数は収束するという主張です。

pete-8.cとpete-9.cの解析(ベイクオフその2)を見て思いつきました。

また、次の命題も書いておきます。

これは高さのズレが変換可能なぎりぎりのラインを考える必要がないため、予想1よりは比較的証明が簡単であると見ていますが、比べて弱くなってしまっていそうです。

また、どちらも解析に使うには\(c_n\)の収束する値(少なくともその範囲)を求めなくてはならず、まだまだ不十分であります。

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Naruyoko • 2023年4月17日 (月)

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PUCS-1の2番目の命題の証明

ポトフ氏が上げている何の根拠もない予想シリーズの内、もっと何の根拠もない予想(PUCS-1の内2番目)を証明する。

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Naruyoko • 2023年3月15日 (水)

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ハーディ階層と急増加関数の横に順序数版ベクレミシェフの虫は並べられるかの提議

集合\(T\)と展開写像\((\alpha,n)\mapsto f(\alpha,n)\colon T\times\mathbb{N}\to(T\sqcup\{\top\})\times\mathbb{N}\)から部分写像\((\alpha,n)\mapsto\alpha[n]\colon T\times\mathbb{N}\to\mathbb{N}\)を作るaccumulator notationなる枠組みを考えていたところ浮かんだため書く。

1 Accumulator notation
2 階層の表現
- 2.1 ハーディ階層
- 2.2 急増加関数

集合\(T\)と写像\((\alpha,n)\mapsto f(\alpha,n)\colon T\times\mathbb{N}\to(T\sqcup\{\top\})\times\mathbb{N}\)が与えられているとする。\(T\sqcup\{\top\}\)の左の要素は\(\alpha\in T\)を用いて\(\langle\alpha\rangle\)、右の要素は\(?\)と書くこととする。写像\(\downarrow\)が任意の\(\alpha\in T\)に対して\(\downarrow\langle\alpha\rangle=\alpha\)を満たすとする。\(\pi_1,\pi_2\)を2つ組のそれぞれ左と右の要素を取り出す写像とする。

部分写像

\begin{eqnarray*} []\colon T\times\mathbb{N}&\to&\mathbb{N}\\ (\alpha,n)&\mapsto&\alpha[n]\\ \end{eqnarray*}

を以下のように再帰的に定める。