巨大数研究 Wiki
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p進さんのこれが本家です。


表記

(と)と+のみからなる文字列の集合HamPaという概念を以下のように再帰的に定義する。:

  1. 空列∈Paである。
  2. いかなるx∈Paについても、(x)∈Hamである。
  3. いかなるs,t∈Hamについても、s+t∈Hamである。
  4. いかなるs∈Hamとx∈Paについても、sx∈Paである。

また、(と)と+のみからなる文字列の集合PaTを以下のように定義する:

  1. いかなるs∈Hamについても、s∈PaTである。
  2. いかなるs,t∈Hamについても、st∈PaTである。

Paの部分集合OPaを以下のように定義する:

  1. 空列∈OPaである。
  2. いかなるa,b∈Paとc∈OPaについても、c(a)(b)∈OPaである。

空でないどのようなPaの要素xに対してもx=zsを満たすz∈OPaとs∈PaTが存在することに注意されたい。


大小関係

パティが贅沢であるほどハンバーガーは豪華なものとなります。より正確には、ハンバーガー\(s\)と\(t\)に対し\(s\)より\(t\)が豪華であるという関係と、パティ\(x\)と\(y\)に対し\(x\)より\(y\)が贅沢であるという関係を、以下のように同時に再帰的に定義します:

\(s\)より\(t\)が豪華であることの定義
  1. パティ\(x\)を用いて\(s\)が\((x]\)と表せるとします。
    1. パティ\(y\)を用いて\(t\)が\((y]\)と表せる場合、\(s\)より\(t\)が豪華であるということは\(x\)より\(y\)が贅沢であるということです。
    2. ハンバーガー\(v\)とパティ\(y\)を用いて\(t\)が\(v \frown (y]\)と表せる場合、\(s\)より\(t\)が豪華であるということは\(v\)より\(s\)が豪華ではないということです。
  2. ハンバーガー\(u\)とパティ\(x\)を用いて\(s\)が\(u \frown (x]\)と表せるとします。
    1. パティ\(y\)を用いて\(t\)が\((y]\)と表せる場合、\(s\)より\(t\)が豪華であるということは\(u\)より\(t\)が贅沢であるということです。
    2. ハンバーガー\(v\)とパティ\(y\)を用いて\(t\)が\(v \frown (y]\)と表せる場合、\(s\)より\(t\)が豪華であるということは以下のいずれかが成り立つということです:
      1. \(v\)より\(s\)が豪華ではない。
      2. \(u\)と\(v\)が等しく、かつ\(x\)より\(y\)が贅沢である。
\(x\)より\(y\)が贅沢であることの定義
  1. \(y\)が\(\textsf{肉}\)である場合、\(x\)より\(y\)が贅沢ではありません。
  2. \(x\)が\(\textsf{肉}\)であり\(y\)が\(\textsf{肉}\)でない場合、\(x\)より\(y\)が贅沢です。
  3. オッドパティ\(z\)と\(w\)とパティ素材\(s\)と\(t\)を用いて\(x\)と\(y\)がそれぞれ\(z s \textsf{肉}\)と\(w t \textsf{肉}\)と表せるとします。
    1. \(z\)と\(w\)が\(\textsf{肉}\)である場合、\(x\)より\(y\)が贅沢であるということは以下のいずれが成り立つということです:
      1. \(t\)がハンバーガーである場合、\(x\)より\(y\)が贅沢であるということは以下の全てが成り立つということです:
        1. \(s\)がハンバーガーである。
        2. \(s\)より\(t\)が豪華である。
      2. \(s\)がハンバーガーでありかつ\(t\)がハンバーガーでない場合、\(x\)より\(y\)が贅沢です。
      3. ハンバーガー\(u_0\)と\(u_1\)と\(v_0\)と\(v_1\)を用いて\(s\)と\(t\)がそれぞれ\(u_0 \textsf{肉} u_1\)と\(v_0 \textsf{肉} v_1\)と表せる場合、\(x\)より\(y\)が贅沢であるということは以下のいずれかが成り立つということです:
        1. \(u_0\)より\(v_0\)が豪華である。
        2. \(u_0\)と\(v_0\)が等しく、かつ\(u_1\)より\(v_1\)が豪華である。
    2. そうでない場合、\(x\)より\(y\)が贅沢であるということは以下のいずれが成り立つということです:
      1. \(w\)より\(x\)が贅沢ではない。
      2. \(z\)と\(w\)が等しく、かつ\(\textsf{肉} s \textsf{肉}\)より\(\textsf{肉} t \textsf{肉}\)が贅沢である。

もちろん「\(s\)より\(t\)が豪華ではない」とは「\(s\)より\(t\)が豪華である」ということの否定です。「\(t\)より\(s\)が豪華である」という意味ではないので、混同しないようにご注意下さい。

またパティ\(x\)とハンバーガー\(t\)に対し\(x\)のパティ素材より\(t\)が豪華であるという関係を、以下のように同時に再帰的に定義します:

  1. \(x\)が\(\textsf{肉}\)である場合、\(x\)のパティ素材より\(t\)が豪華です。
  2. ハンバーガー\(s\)とパティ\(y\)を用いて\(x\)が\(\textsf{肉} s y\)と表せる場合、\(x\)のパティ素材より\(t\)が豪華であるということは以下の全てが成り立つということです:
    1. \(s\)より\(t\)が豪華である。
    2. \(y\)のパティ素材より\(t\)が豪華である。

構成可能性

ハンバーガーはただバンズにパティを挟めばいいというわけではなく、バランスよく挟むことが望ましいです。より正確には、ハンバーガー\(s\)とパティ\(y\)に対して\(s\)が\(y\)基準でバランスがよいという関係を以下のように再帰的に定義します:

  1. \(y\)が\(\textsf{肉}\)である場合、\(s\)が\(y\)基準でバランスがよくありません。
  2. オッドパティ\(w\)とパティ素材\(t\)を用いて\(y\)が\(w t \textsf{肉}\)と表せるとします。
    1. パティ\(x\)を用いて\(s\)が\((x]\)と表せるとします。
      1. \((w]\)より\(s\)が豪華であるとします。
        1. \(t\)がハンバーガーである場合、\(s\)が\(y\)基準でバランスがよいということは\(x\)のパティ素材より\(t\)が豪華であるということです。
        2. ハンバーガー\(v_0\)と\(v_1\)を用いて\(t\)が\(v_0 \textsf{肉} v_1\)と表せる場合、\(s\)が\(y\)基準でバランスがよいということは\(x\)のパティ素材より\(v_1\)が豪華であるということです。
      2. \((w]\)より\(s\)が豪華ではない場合、\(s\)が\(y\)基準でバランスがよいです。
    2. ハンバーガー\(u\)とパティ\(x\)を用いて\(s\)が\(u \frown (x]\)と表せる場合、\(s\)が\(y\)基準でバランスがよいということは以下の全てが成り立つということです:
      1. \(u\)が\(y\)基準でバランスがよい。
      2. \((x]\)が\(y\)基準でバランスがよい。


標準形

最後に、バランスよくパティを挟んだハンバーガーを食べやすい順番に並べましょう。より正確には、ハンバーガー\(s\)に対し\(s\)が食べやすいという関係を以下のように再帰的に定めます:

  1. パティ\(x\)を用いて\(s\)が\((x]\)と表せるとします。
    1. \(x\)が\(\textsf{肉}\)である場合、\(s\)が食べやすいです。
    2. オッドパティ\(z\)とパティ素材\(u\)を用いて\(x\)が\(z \textsf{肉} u\)と表せる場合、\(s\)が食べやすいということは以下の全てが成り立つということです:
      1. \((z]\)が食べやすい。
      2. \(s\)が\(x\)基準でバランスがよい。
  2. パティ\(x_0\)と\(x_1\)を用いて\(s\)が\(( x_0 | x_1 ]\)と表せる場合、\(s\)が食べやすいということは以下の全てが成り立つということです:
    1. \((x_0]\)が食べやすい。
    2. \((x_1]\)が食べやすい。
    3. \((x_0]\)より\((x_1]\)が豪華ではない。
  3. ハンバーガー\(u\)とパティ\(x_0\)と\(x_1\)を用いて\(s\)が\(u \frown ( x_0 | x_1 ]\)と表せる場合、\(s\)が食べやすいということは以下の全てが成り立つということです:
    1. \(u \frown (x_0]\)が食べやすい。
    2. \((x_0 | x_1]\)が食べやすい。


基本列

大きなハンバーガーは食べやすいように小さく切って食べるのがマナーです。ハンバーガー\(s\)と\(t\)と自然数\(n\)に対し、\(t\)が\(s\)の\(n\)番目の切り方の候補であるとは以下の全てが成り立つということです:

  1. \(t\)が食べやすい。
  2. \(t\)より\(s\)が豪華である。
  3. \(t\)の肉の枚数は\(s\)の肉の枚数より\(n+1\)以上大きくはない。

幸いなことに\(s\)の\(n\)番目の切り方の候補であるようなハンバーガー\(t\)は有限個しかありません。

ハンバーガー\(s\)と自然数\(n\)に対し、ハンバーガー\(s[n]\)を以下のように再帰的に定義します:

  1. \(s\)が\(( \textsf{肉} ]\)である場合、\(s[n]\)は\(( \textsf{肉} ]\)です。
  2. \(s\)が\(( \textsf{肉} ]\)でない場合、\(s[n]\)は以下の全ての条件を満たす唯一のハンバーガーです:
    1. \(s[n]\)が\(s\)の\(n\)番目の切り方の候補である。
    2. \(s\)の\(n\)番目の切り方の候補であるいかなるハンバーガー\(t\)に対しても、\(s[n]\)より\(t\)が豪華ではない。

上述した有限性から、分岐22の判定は有限の時間で行えることに注意しましょう。


急増加関数

それでは実際にハンバーガーを食べやすい大きさに切って食べる方法を紹介します。ハンバーガー\(s\)は以下のように再帰的に食べます:

  1. \(s\)が\(( \textsf{肉} ]\)である場合、そのまま食べます。ごちそうさま!
  2. \(s\)が\(( \textsf{肉} ]\)でないとします。
    1. \(s\)に味付けをし忘れていました! \(s\)にケチャップを塗りましょう!
    2. \(s\)を切って\(s[n+1]\)と\(( \textsf{肉} ]\)と残骸に分け、\(s\)を\(s[n+1]\)に置き換えます。ただし\(n\)は既に食べた\(( \textsf{肉} ]\)の総枚数です。
    3. 切り分けた\(( \textsf{肉} ]\)を食べます。
    4. 切り分けた残骸は冷蔵庫に入れます。
    5. 分岐1に戻ります。(※分岐21ではありません)

これはおいしい!


巨大数

さて、食べやすいどんなハンバーガーを用意しましょう。自然数\(n\)に対し、食べやすいハンバーガー\(\Lambda(n)\)を以下のように再帰的に定めます:

  1. \(n\)が\(0\)である場合、\(\Lambda(n)\)は\(( \textsf{肉} ]\)です。
  2. \(n\)が\(0\)でない場合、\(\Lambda(n)\)は\(( \textsf{肉} \Lambda(n-1) \textsf{肉} \Lambda(n-1) \textsf{肉} ]\)です。

それでは\(\Lambda(10)\)をお召し上がり下さい!

\(\Lambda(10)\)を食べる際に食べた\(\textsf{肉}\)の総枚数をお料理巨大数への投稿とします。

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