ユーザーブログ:Merliborn/よい基本列の考察（Buchholz, Cichon, Weiermannによる）

Buchholz、Cichon、Weiermannの論文「A Uniform Approach to Fundamental Sequences and Hierarchies」を基に、よい基本列の特徴付けについて考えます。

定義

\(\tau\) は \(\omega^\omega\)の倍数 (\(\exists \tau_0.\tau=\omega^\omega\cdot\tau_0\) )である0でない順序数とする。\(\tau\) に対して \(\mathrm{Lim}_\tau\) を、\(\tau\) より小さく0でない極限順序数の集合とする。また、\(\tau\) に対して、\(\_[\_]\) および \(N\) はそれぞれ写像\(\_[\_]:\tau\times\mathbb{N}\to \tau\)、\(N:\tau\to\mathbb{N}\)とする。

写像 \(\_[\_]\) が基本列系 (system of fundamental sequences) である、あるいは基本列の割り当て (assignment of fundamental sequences) とは、次の条件 (B1-a)～(B1-c) を満たすことである：

(B1)　\(\forall\alpha<\tau.\forall n<\omega.\)

(B1-a)　\(0[n]=0\)

(B1-b)　\((\alpha+1)[n]=\alpha\)

(B1-c)　\(\alpha\in\mathrm{Lim}_\tau\Longrightarrow\alpha[n]<\alpha[n+1]<\alpha)\)

以下 \(\_[\_]\) は基本列系とする。

\(\langle\tau,\_[\_]\) がバッハマン系 (Bachmann system) とは、次の条件 (B2) を満たすことである：

(B2)　\(\forall\alpha,\beta<\tau.\forall n<\omega.(\alpha[n]<\beta<\alpha\Longrightarrow\alpha[n]\leq\beta[0]\)

\(\_[\_]\) が \(N\) と両立する、そして \(\langle\tau,\_[\_],N\rangle\) がノルム付きバッハマン系 (normed Bachmann system) であるとは、次の (B3), (B4) を満たすことである：

(B3)　\(\forall\alpha,\beta<\tau.\forall n<\omega.\alpha[n]<\beta<\alpha\Longrightarrow N(\alpha[n])< N(\beta)\)

(B4)　\(\forall\alpha\in\mathrm{Lim}_\tau.(N(\alpha)\leq N(\alpha[0])+1)\)

バッハマン系 \(\langle\tau,\_[\_],N\rangle\) が正則 (regular)とは、次の条件を満たすことである：

\(\forall\beta<\alpha<\tau.(\beta\leq\alpha[N(\beta)])\)

\(N\) が \(\tau\) 上のノルムであるとは、次の条件を満たすことである：

\(\forall\alpha<\tau.\forall n<\omega.(\#\{\beta<\alpha\mid N(\beta)\leq n\}<\omega)\)

各語が定義する概念の関係性を確認しておく。次の補題は[BCW]による。

補題 (Lemma 1)
\(\langle\tau,\_[\_],N\rangle\) がノルム付きバッハマン系であるとき、以下が成り立つ： \(\langle\tau,\_[\_],N\rangle\) はバッハマン系である。 \(N\) は \(\tau\) 上のノルムである。 \(\langle\tau,\_[\_],N\rangle\) は正則バッハマン系である。

証明． 1. \(\alpha[n]<\beta<\alpha\) と \(\beta[0]<\alpha[n]\) を仮定する。このとき、(B1), (B3), (B4) の各条件から

\(N(\alpha[n])< N(\beta)\leq N(\beta[0])+1\leq N(\alpha[n])\)

が従うため、矛盾する。従って \(\alpha[n]<\beta<\alpha\) ならば \(\alpha[n]\leq\beta[0]\) である。

2. まず以下の主張を示す：

(*)　\(\{\beta<\alpha\mid N(\beta)\leq n\}\subseteq \{\beta<\alpha[n]\mid N(\beta)\leq n\}\)

\(\alpha\notin\mathrm{Lim}_\tau\) の場合は明らかなので、\(\alpha\in\mathrm{Lim}_\tau\) の場合について考える。このとき、任意の \(n<\omega\) について \(N(\alpha[n])< N(\alpha[n+1])\) が成り立つため、\(n\leq N(\alpha[n])\) である。一方、\(\beta<\alpha\) について (B3) から \(N(\beta)\leq N(\alpha[n])\Longrightarrow \beta\leq\alpha[n]\) が成り立つため、上記 (*) が成り立つ。

(*) から、\(\alpha\) についての帰納法によって \(N\) がノルムとなることが示される。

3. \(\alpha\notin\mathrm{Lim}_\tau\) の場合は明らかに \(\forall\beta<\alpha.(\beta\leq\alpha[N(\beta)])\) が成り立つため、以下 \(\alpha\in\mathrm{Lim}_\tau\) の場合について考える。(B3) より \(\forall n<\omega.n\leq N(\alpha[n])\) であり、特に \(N(\beta)\leq N(\alpha[N(\beta)])\) である。(B3) から \(\forall\beta<\alpha. N(\beta)\leq N(\alpha[N(\beta)])\Longrightarrow \beta\leq\alpha[N(\beta)]\) を得られるため、\(\forall\beta<\alpha.(\beta\leq\alpha[N(\beta)])\) が示される。\(\blacksquare\)

バッハマン系とノルムの相互関係

基本列系 \(\langle\tau,\_[\_]\rangle\) に対して、\(\alpha[0]^0=\alpha,\) \(\alpha[0]^{i+1}=\alpha[0]^i[0]\) とする。

補題 (Lemma 2)
基本列系 \(\langle\tau,\_[\_]\rangle\) に対して、写像 \(G:\tau\to\mathbb{N}\) を \(G(\alpha)=\min\{i\mid\alpha[0]^i=0\}\) で与える。このとき、 任意の \(\alpha<\tau\) について \(\#\{\beta<\tau\mid\beta[0]=\alpha\}<\omega\) が成り立つならば、\(G\) は \(\tau\) 上のノルムである。 \(\langle\tau,\_[\_]\rangle\) がバッハマン系ならば、\(\langle\tau,\_[\_],G\rangle\) はノルム付きバッハマン系である。

命題 (Theorem 4.a)

\(N:\tau\to\mathbb{N}\) は \(\tau\) 上のノルムであり、さらに \(\forall\alpha<\tau.(N(0)\leq N(\alpha))\) \(\forall\alpha<\tau.(N(\alpha+1)\leq N(\alpha)+1)\) の2条件を満たす。また、写像 \(p:\tau\to\mathbb{N}\) は \(N(\alpha)\leq p(\alpha)+1\leq p(\alpha+1)\) を満たすとする。このとき、写像 \(\_[\_]:\tau\times\mathbb{N}\to\tau\) を次で定めるとき、\(\langle\tau,\_[\_],N\rangle\) はノルム付きバッハマン系である： \(\begin{align}0[n]&=0\\ \alpha[n]&=\max\{\beta<\alpha\mid N(\beta)\leq p(\alpha+n)\}\end{align}\)

例

あとで書きます。