\( \newcommand{\len}{ {\rm len}} \renewcommand{\value}{ {\rm value}} \newcommand{\ifu}{ {\rm if}} \newcommand{\gtone}{ {\rm gt1}} \newcommand{\parent}{ {\rm parent}} \newcommand{\diff}{ {\rm diff}} \newcommand{\ancestor}{ {\rm ancestor}} \newcommand{\bm}[1]{ {\boldsymbol  #1}} \newcommand{\url}{} \newcommand{\nat}{\mathbb{N}} \)

従来研究

Dimensional BMS[1]Y数列は、順序同型であり、対応する場合は、Dimensional BMSの列とY数列の要素も一対一対応すると期待されている。しかし、バシク行列とY数列では列数と要素数が合わなくなることがあり、列と要素の一対一対応はしていなかった。

0-Y 数列システム[2]は、Yukito が2020年9月11日に作成し[3]、2020年9月15日にバシク行列での解析例を示し[4]、2020年9月21日にmiro にて展開規則を説明した表記システムである。 ゆきとは、0-Y 数列システムは 2020年9月1日版のY数列を弱体化したものであると述べた。 ゆきとは、バシク行列と 0-Y 数列が順序同型であり、その場合、さらに「バシク行列の列が0-Y数列の要素に一対一対応するのではないか」と述べた。

また、Y数列は Naruyoko によって2020年9月11日にプログラムが与えられているが[5]、数式での定義はまだ存在していなかった。Y数列は \((1,3)\) 以降の展開が複雑なため、数式での表現は少し難しかったが、0-Y数列はY数列の \((1,3)\) 未満であり、比較的展開規則が単純であることから、数式的記述が簡単ではないかと思われた。

提案

この記事では、第一に、0-Y 数列システムの展開規則を数式で定義する。また、展開例を示す。

第二に、証明はまだないが、0-Y 数列とバシク行列の列がどのように一対一対応するかを示す

最後に、0-Y 数列とバシク行列の対応例を使って示す。

山脈

山脈 \(\bm{M}_k\) を下記のように長さが等しい有限数列の2つ組とする。 \begin{eqnarray} \forall k\geq 0~\bm{M}_k&=&(\bm{V}_k,\bm{P}_k)\\ \forall k\geq 0~\bm{V}_k&=&V_{k1}V_{k2} \cdots V_{k\len(\bm{V}_k)}\\ \forall k\geq 0~\bm{P}_k&=&P_{k1}P_{k2} \cdots P_{k\len(\bm{P}_k)}\\ \forall k\geq 0~\len{\bm{V}_k}&=&\len{\bm{P}_k}\\ \forall k\geq 0,l\geq 1~V_{kl} &\in& \mathbb{N},~1 \leq V_{kl}\\ \forall k\geq 0,l\geq 1~P_{kl} &\in& \mathbb{N},~0 \leq P_{kl}\\ \end{eqnarray} ここで、\(\len{\bm{S}}\) は有限数列 \(\bm{S}\) の長さである。

Koteitan zeroy1.jpg

~インフォーマル・プラザ~
0-Y数列の展開を説明するための構造として「山脈」を定義している。

「山脈」は普通の数列 \(\bm{V}_k\) に「親」へのポインタ \(\bm{P}_k\) を付帯したものである。 \(\bm{V}_k\) は、例えば、\(1,2,4,8\)、である。 山脈の要素はそれぞれ(それが \(1\) でない限り)「親」という別の要素が1つ関連付けられている。 \(P_{kl}\) の値は、\(l\) の親が \(l\) の何個左の要素であるかを指している。 \(V_{kl}\) が \(1\) である要素は親を持たず、その場合は \(P_{kl}=0\) とする。 親は、自分の左にいて自分よりも値が小さい数の中から選ばれるが、詳細は後述する。

例えば、\(\bm{V}_k=1,2,4,3\) において \(2\) の親は \(1\)、\(4\) の親は \(2\)、\(3\) の親は \(2\)、であったときには、 \(\bm{P}_k\) は \(\bm{P}_k=0\)(親がいない) ,1(2の1つ左),1(4の1つ左),2(3の2つ左)となる。

山脈はY数列の「Mt. Fuji」とよく似ているが、先頭に新しく1が付け加わるところが異なる。

ここでの親ポインタ数列 \(\bm{P}_k\) の定義は Y 数列の数式化を試みた Hexirp の DPN 形式[6]と、Dimensional BMS の展開プログラムである discord ユーザー AxiomaticSystem の Pointer BMS[7] を参考にしている。

すべての \(k\geq 0\)に対し、山脈 \(\bm{M}_k\) の階差山脈を \(\bm{M}_{k+1}\) とし、下記で定義する。 \begin{eqnarray} \bm{M}_{k+1}&=&(\bm{V}_{k+1},\bm{P}_{k+1})\\ \bm{V}_{k+1}&=&V_{(k+1)1}V_{(k+1)2}\cdots V_{(k+1)(\len(\bm{V}_k)-1)}\\ V_{(k+1)1}&=&1\\ \forall l > 1 V_{(k+1)l}&=&V_{kl}-V_{k(l-P_{kl})}\\ \bm{P}_{k+1}&=&P_{(k+1)1}P_{(k+1)2}\cdots P_{(k+1)(\len(\bm{P}_k)-1)}\\ P_{(k+1)x}&=&\parent_{\bm{M}_{k+1}}(x)\\ \parent_{\bm{M}_0}(x)&=&\max\{x-p,0|\exists m(p<x\land V_{0p}<V_{0x})\}\\ \parent_{\bm{M}_{k+1}}(x)&=&\max\{x-p,0|\exists m(p<x\land V_{(k+1)p}<V_{(k+1)x} \land p = x-\parent^m_{\bm{M}_k}(x))\}\\ \parent^0_{\bm{M}_{k+1}}(x)&=&x\\ \parent^m_{\bm{M}_{k+1}}(x)&=&\parent^{m-1}_{\bm{M}_{k+1}}(\parent_{\bm{M}_{k+1}}(x)) \end{eqnarray}

~インフォーマル・プラザ~
階差山脈 \(\bm{V}_{k+1}\) は \(\bm{V}_k\) の階差数列の先頭に \(1\) を連結したものである。

階差の計算は、単純な \(l\) の左隣ではなく、\(P_{kl}\)、つまり \(l\) の親との差を取る。 階差山脈の要素 \(l\) の 親 \(P_{(k+1)l}\) は、

  • \(l\) よりも左にある \((p<x)\)
  • 値が \(l\) の値よりも小さい (\(V_{(k+1)p}<V_{(k+1)x}\))
  • 階差元の直系先祖の数列の階差に現れる \((p = x-\parent^m_{\bm{M}_k}(x))\)

を満たす最右の要素である。

直系先祖というのは、自分と、親と、親の親と、親の親の親と…と辿れるノードのことである。 ちなみに、3つ目の直系先祖の条件は、一番初期の山脈 \(\bm{V}_0\) に関しては免除される。

\(\parent^m_{\bm{M}_{k+1}}(x)\) は \(\parent_{\bm{M}_{k+1}}(x)\) 関数の \(m\) 回合成である。

Koteitan zeroy3.jpg Koteitan zeroy2.jpg

山脈の展開規則

展開関数 \(\cdot[n]\) を下記で定義する。 関数 \(\cdot[n]\) は山脈と自然数 \(n\) を入力して、山脈を出力する関数である。

(I) \(V_{(k+1)\len(\bm{V}_k)}=1\) のとき

\begin{eqnarray} \bm{M}_k[n]&=&(\bm{G}_{v}\underbrace{\bm{B}_{v}\bm{B}_{v}\cdots\bm{B}_{v}}_{n+1 {\rm~times}},~\bm{G}_{p}\underbrace{\bm{B}_{p}^{(1)}\bm{B}_{p}^{(2)}\cdots\bm{B}_{p}^{(n)}}_{n+1 {\rm~times}})\\ \bm{G}_{v}&=&V_{k1}V_{k2}\cdots V_{k(r_{\bm{M}_k}-1)}\\ \bm{B}_{v}&=&V_{kr_{\bm{M}_k}}V_{k(r_{\bm{M}_k}+1)}\cdots V_{k(\len(\bm{V})-1)}\\ \bm{G}_{p}&=&P_{k1}P_{k2}\cdots P_{k(r_{\bm{M}_k}-1)}\\ \bm{B}_{p}^{(m)}&=&Q_0^{(m)}Q_1^{(m)}\cdots Q_{\len(\bm{B}_p)-1}^{(m)}\\ Q_b^{(m)}&=&\left\{\begin{array}{ll} P_{y(r_{\bm{M}_k}+b)}&\ifu~b-P_{y(r_{\bm{M}_k}+b)} \geq 0 \land b>0\\ P_{y(r_{\bm{M}_k}+b)}+(m-1)\len(\bm{B}_p)&\ifu~b-P_{y(r_{\bm{M}_k}+b)} < 0 \lor b=0\\ \end{array}\right.\\ r_{\bm{M}_k}&=&\len(\rm{V}_k)-P_{k\len(\rm{V}_k)} \end{eqnarray}

(II) \(V_{(k+1)\len(\bm{V}_k)}>1\) のとき \begin{eqnarray} \bm{M}_k[n]&=&(V_{k0}'V_{k1}'\cdots V_{k\len(\bm{V}')}',\bm{G}_{p}\underbrace{\bm{B}_{p}^{(1)}\bm{B}_{p}^{(2)}\cdots\bm{B}_{p}^{(n)}}_{n+1 {\rm~times}})\\ V_{k0}'&=&1\\ V_{k(l+1)}'&=&V_{kl}+V_{(k+1)(l-P_{kl}')}\\ \bm{G}_{p}&=&P_{k1}P_{k2}\cdots P_{k(r_{\bm{M}_k}-1)}\\ \bm{B}_{p}^{(m)}&=&Q_0^{(m)}Q_1^{(m)}\cdots Q_{\len(\bm{B}_p)-1}^{(m)}\\ Q_b^{(m)}&=&\left\{\begin{array}{ll} P_{y(r_{\bm{M}_k}+b)}&\ifu~b-P_{y(r_{\bm{M}_k}+b)} \geq 0\\ P_{y(r_{\bm{M}_k}+b)}+(m-1)\len(\bm{B}_p)&\ifu~b-P_{y(r_{\bm{M}_k}+b)} < 0\\ \end{array}\right.\\ r_{\bm{M}_k}&=&r_{\bm{M}_{k+1}} \end{eqnarray}

~インフォーマル・プラザ~
\(\len(\bm{V}_k)\) は右端の要素を表すので、(I) \(V_{(k+1)\len(\bm{V}_k)}=1\) という条件は、

右端の階差が \(1\) と等しいことを指す。たとえば \(1,2\) は、\(2\) の親が \(1\) であるとすると、階差は \(2-1=1\) なのでこの条件に当てはまる。\(1,3,4\) も右端 \(4\) の親が \(3\) であるとすると、階差は \(4-3=1\) なのでこの条件に当てはまる。

この条件 (I) に当てはまる場合、値数列 \(\bm{V}_k\) は、右端の要素を削除したのち、 bad root \(r_{\bm{M}_k}\) を境に good part \(\bm{G}_v\) と bad part \(\bm{B}_v\) の2つに分割され、bad part の部分が n 回繰り返しでコピーされる。

親ポインタ数列 \(\bm{P}_k\) も、基本的には \(\bm{V}_k\) と同じように、右端の要素を削除したのち、 bad root \(r_{\bm{M}_k}\) を境に good part \(\bm{G}_p\) と bad part \(\bm{B}_p\) の2つに分割され、bad part の部分が n 回繰り返しでコピーされ、それぞれの親の位置はコピー先からの相対位置で決まるが、\(\bm{B}_p\) では、コピーされるのが bad root である(\(b=0\))ときと、\(P_{kl}\) の指し示す親が bad root よりも左側にある(\(b-P_{y(r_{\bm{M}_k}+b)} < 0\))とき、つまり、good part との階差を取っているときは、コピーに伴う位置の変化に関わらず、コピー元の親をどのコピーも参照する(\(P_{y(r_{\bm{M}_k}+b)}+(m-1)\len(\bm{B}_p)\))。この good part との階差を取っている状態を「good part に片足を突っ込んでいる」ということが多い。

(II) 右端の階差が \(1\) よりも大きい場合は、展開した階差山脈が階差数列になるような値を計算する。また、\(\bm{B}_p\) は 右端の階差が \(1\) のときとほぼ同じであるが、bad root (\(b=0\) のとき)も親が相対的位置によってコピーされるところが少し違う。

0-Y 数列とその展開規則

0-Y 数列 \(\bm{Y}=Y_1Y_2\cdots Y_{\len(Y)}\) と自然数 \(n\) を入力し、0-Y 数列 \(\bm{Y'}\) を出力する関数である基本列関数 \(\bm{Y}[n]\) を下記のように定義する。

\begin{eqnarray} \bm{Y}[n]&=&\bm{Y}'\\ (\bm{Y}', \bm{P}_0')&=&\bm{M}_0[n]\\ \bm{M}_0&=&(\bm{V}_0,\bm{P}_0)\\ \bm{V}_0&=&\bm{Y} \end{eqnarray}

~インフォーマル・プラザ~
0-Y 数列の展開は、0-Y 数列の値そのものを山脈の値にセットし、それを展開して、得られた新しい山脈の値を拾ってくれば可能になる。

バシク行列との対応

バシク行列 \(\bm{BM}\)、0-Y数列 \(\bm{Y}\) を \begin{eqnarray} \bm{BM}&=&\bm{S}_0\bm{S}_1\cdots,\bm{S}_{\len(\bm{BM})-1}\\ \bm{S}_x&=&(S_{x0}S_{x1}S_{x2}\cdots S_{x(\len(\bm{S}_x)-1)})\\ \bm{Y}&=&Y_1Y_2\cdots,Y_\len(\bm{Y}) \end{eqnarray} とすると、 \begin{eqnarray} \forall x~\bm{S}_x&=&(\bm{S}_1\bm{S}_2\cdots \bm{S}_{x-1}\bm{S}'\in OT {\rm を満たす}~\bm{S}'~{\rm のうち}~Y_x~{\rm 番目に小さな列}) \end{eqnarray} が成り立つと期待される。証明はまだない。

バシク行列の基本形の集合 \(FT\) は下記で定義される。 \begin{eqnarray} \forall \bm{S}(\forall r S_{0r}=0 \land S_{1r}=1 \len(\bm{S})=2 &\rightarrow& \bm{S} \in FT) \end{eqnarray}

~インフォーマル・プラザ~
\((0)(1), (0,0)(1,1), (0,0,0)(1,1,1), (0,0,0,0)(1,1,1,1), \cdots \in FT\) ということである。

ここで、バシク行列の標準形の集合 \(OT\) は下記で定義される。 \begin{eqnarray} \forall \bm{S}(\bm{S} \in FT &\rightarrow& \bm{S} \in OT)\\ \forall \bm{S}(\forall n \in \nat \land \bm{S} \in FT &\rightarrow& \bm{S}[n] \in OT)\\ \end{eqnarray} ここで、バシク行列の大小関係 \((<,OT)\) を下記で定義する。(\(\bm{x},\bm{y},\bm{z}\)は列数1以上のバシク行列、\(a,b\) は非負整数) \begin{eqnarray} ()<x&&\\ x\frown z<y&\rightarrow& x<y\\ x<y\frown z&\rightarrow& x<y\\ z\frown (a)<z\frown(b)&\leftrightarrow&a<b \end{eqnarray}

~インフォーマル・プラザ~
\(FT\) と、\(FT\) を任意のブラケット \(n\) で基本列展開したものが \(OT\) である。
~インフォーマル・プラザ~
ちなみに、\(OT\) の条件を示す方法として別の方法もある。

\begin{eqnarray} \forall y \in \nat (S_{0y} &=&0),\\ \forall x,y \in \nat (S_{x(y+1)} &\leq& S_{x(y+1)}),\\ \forall x,y \in \nat \exists x'<x (S_{xy} &\leq& S_{x'y}+1),\\ \end{eqnarray} かつ、すべての upper-branch-ignoring で見たヒドラの兄弟において、右のヒドラが左のヒドラよりも大きくならないこと。

つまり、

  1. 最左列の要素は全て0である。
  2. 同じ列にある上の行の数字よりも同じか小さな数字しか置けない。
  3. 同じ行にある左の列のいずれかの数字よりも \(1\) 大きい数字、または、それより小さな数字しか置けない。
  4. すべての upper-branch-ignoring で見たヒドラの兄弟において、右のヒドラが左のヒドラよりも大きくならない

を満たすことが \(OT\) に含まれることと同値になるはずである。証明がないのと、4番目の条件を数式にするのが面倒だったので、インフォーマルプラザに書いている。

展開例

一部の展開例を示す。 0-Y 数列 \(1,4,5,4\) は \([2]\) にて \begin{eqnarray} 1,4,5,4[2]&=&1,4,5,3,7,8,6,11,12 \end{eqnarray} と展開される。 \begin{eqnarray} \bm{Y}&=&1,4,5,4~{\rm とすると}\\ \bm{M}_0&=&((1,4,5,4),(0,1,1,3)) \\ \bm{M}_1&=&((1,3,1,3),(0,1,0,3)) \\ \bm{M}_2&=&((1,2,0,2),(0,1,0,3)) \\ \bm{M}_3&=&((1,1,0,1),(0,0,0,0)) \\ \forall k\geq 4 \bm{M}_k&=&((0,0,0,0),(0,0,0,0)) \\ \bm{M}_2[2]&=&(\bm{G}_v\bm{B}_v\bm{B}_v\bm{B}_v, \bm{G}_p\bm{B}^{(1)}_p\bm{B}^{(2)}_p\bm{B}^{(3)}_p)\\ \bm{G}_v&=&\varnothing\\ \bm{B}_v&=&(1,1,0)\\ \bm{B}_p^{(m)}&=&(0,1,0)\\ \bm{M}_2[2]&=&((1,2,0,~1,2,0,~1,2,0,~1,2,0,~1,2,0),\\ &&~~(0,1,0,~0,1,0,~0,1,0,~0,1,0,~0,1,0,~0,1,0))\\ \bm{M}_1[2]&=&((1,1+2,1,~1+1,2+2,1,~2+1,3+2,1),(0,1,0,~1,1,0,~1,1,0))\\ &=&((1,3,1,~2,4,1,~3,5,1),(0,1,0,~1,1,0,~1,1,0))\\ \bm{M}_0[2]&=&((1,1+3,4+1,~1+2,3+4,7+1,~3+3,6+5,11+1),(0,1,1,~3,1,1,~3,1,1))\\ &=&((1,4,5,~3,7,8,~6,11,12),(0,1,1,~3,1,1,~3,1,1))\\ \bm{Y}[2]&=&1,4,5,~3,7,8,~6,11,12 \end{eqnarray}

~インフォーマル・プラザ~
\(\bm{M}_3\) で \(\bm{V}_{31}=1\) が出てくるので、\(\bm{M}_2\) を (I) で、\(\bm{M}_1\)、\(\bm{M}_0\) を (II) で展開する。\(\bm{M}_3\) は展開しなくてよい。

0-Y 数列 \(1,4,6,3,7,9,7\) は \begin{eqnarray} 1,4,6,3,7,9,7[4]&=&1,4,6,3,7,9,6,11,13,10,16,18,15,22,24 \end{eqnarray} と展開される。

\begin{eqnarray} \bm{Y}&=&1,4,6,3,7,9,7~{\rm とすると}\\ \bm{M}_0&=&((1,4,6,3,7,9,7),(0,1,1,3,1,1,3))\\ \bm{M}_1&=&((1,3,2,2,4,{\color{red}{2}},4),(0,1,2,3,1,{\color{red}{5}},3))\\ \bm{M}_2&=&((1,2,1,1,2,1,2),(0,1,0,0,1,0,3)) \\ \bm{M}_3&=&((1,1,0,0,1,0,1),(0,0,0,0,0,0,0)) \\ \forall k\geq 4 \bm{M}_k&=&((0,0,0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,0,0)) \\ \bm{M}_2[n]&=&(\bm{G}_v\bm{B}_v\bm{B}_v\bm{B}_v\bm{B}_v\bm{B}_v, \bm{G}_p\bm{B}_p^{(1)}\bm{B}_p^{(2)}\bm{B}_p^{(3)}\bm{B}_p^{(4)}\bm{B}_p^{(5)})\\ \bm{G}_v&=&({\color{green}{1,2,1}})\\ \bm{B}_v&=&(1,2,1)\\ \bm{B}_p^{(m)}&=&(0,1,0)\\ \bm{M}_2[n]&=&(({\color{green}{1,2,1}},~1,2,1,~1,2,1,~1,2,1,~1,2,1),\nonumber\\ &&~~({\color{green}{0,1,0}},~0,1,0,~0,1,0,~0,1,0,~0,1,0,~0,1,0))\\ \bm{M}_1[n]&=&(({\color{green}{1,3,2}},~2,4,2,~3,5,2,~4,6,2,~5,7,1),\nonumber\\ &&~~({\color{green}{0,1,2}},0,1,5,0,1,{\color{red}{8}},0,1,{\color{red}{11}},0,1,{\color{red}{14}},0,1,{\color{red}{17}}))\\ \bm{M}_0[n]&=&(({\color{green}{1,4,6}},~3,7,9,~6,11,13,~10,16,18,~15,22,24),\nonumber\\ &&~~({\color{green}{0,1,1}},~3,1,1,~3,1,1,~3,1,1,~3,1,1,~3,1,1))\\ \bm{Y}[m]&=&{\color{green}{1,4,6}},~3,7,9,~6,11,13,~10,16,18,~15,22,24 \end{eqnarray}

~インフォーマル・プラザ~
緑色の部分は good part である。ここに片足を突っ込んでいる場合は注意。

赤色の部分 \(\color{red}{2}\) がそれである。これにより、\(\bm{M}_1[n]\) の \(\color{red}{8}, \color{red}{11}, \color{red}{14}, \color{red}{17}\) は親の相対位置 \(P_{1,6}=5\) をキープできずに、絶対座標 \(1\) をコピー後も参照するようにされた結果である。

バシク行列システムとの対応例

ここではゆきとが示したものに少し追加した 0-Y 数列とバシク行列との対応の例を示す。

0-Y 数列 バシク行列
1 (0)
1,1 (0)(0)
1,2 (0)(1)
1,2,3 (0)(1)(2)
1,3 (0)(1,1)
1,3,1,3 (0)(1,1)(0)(1,1)
1,3,2 (0)(1,1)(1)
1,3,2,3 (0)(1,1)(1)(2)
1,3,2,4 (0)(1,1)(1)(2,1)
1,3,2,4,3 (0)(1,1)(1)(2,1)(2)
1,3,2,4,3,5 (0)(1,1)(1)(2,1)(2)(3,1)
1,3,3 (0)(1,1)(1,1)
1,3,3,3 (0)(1,1)(1,1)(1,1)
1,3,4 (0)(1,1)(2)
1,3,4,5 (0)(1,1)(2)(3)
1,3,4,6 (0)(1,1)(2)(3,1)
1,3,4,6,7,9 (0)(1,1)(2)(3,1)(4)(51)
1,3,5 (0)(1,1)(2,1)
1,3,5,7 (0)(1,1)(2,1)(3,1)
1,3,6 (0)(1,1)(2,2)
1,3,6,10 (0)(1,1)(2,2)(3,3)
0-Y 数列 バシク行列
1,4 (0)(1,1,1)
1,4,2 (0)(1,1,1)(1)
1,4,2,5 (0)(1,1,1)(1)(2,1,1)
1,4,3 (0)(1,1,1)(1,1)
1,4,3,7 (0)(1,1,1)(1,1)(2,2,1)
1,4,4 (0)(1,1,1)(1,1,1)
1,4,5 (0)(1,1,1)(2)
1,4,5,1 (0)(1,1,1)(2)(0)
1,4,5,2 (0)(1,1,1)(2)(1)
1,4,5,3 (0)(1,1,1)(2)(1,1)
1,4,5,3,4 (0)(1,1,1)(2)(1,1)(2)
1,4,5,3,5 (0)(1,1,1)(2)(1,1)(2,1)
1,4,5,3,6 (0)(1,1,1)(2)(1,1)(2,2)
1,4,5,3,7 (0)(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1)
1,4,5,3,7,8 (0)(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1)(3)
1,4,5,3,7,8,6,11,12 (0)(1,1,1)(2)(1,1)(2,2,1)(3)(2,2)(3,3,1)(4)
1,4,5,4 (0)(1,1,1)(2)(1,1,1) (※展開すると 1,4,5,3,7,8,6,11,12)
0-Y 数列 バシク行列
1,4,6 (0)(1,1,1)(2,1)
1,4,6,1 (0)(1,1,1)(2,1)(0)
1,4,6,2 (0)(1,1,1)(2,1)(1)
1,4,6,3 (0)(1,1,1)(2,1)(1,1)
1,4,6,3,1 (0)(1,1,1)(2,1)(1,1)(0)
1,4,6,3,2 (0)(1,1,1)(2,1)(1,1)(1)
1,4,6,3,3 (0)(1,1,1)(2,1)(1,1)(1,1)
1,4,6,3,4 (0)(1,1,1)(2,1)(1,1)(2)
1,4,6,3,5 (0)(1,1,1)(2,1)(1,1)(2,1)
1,4,6,3,6 (0)(1,1,1)(2,1)(1,1)(2,2)
1,4,6,3,7 (0)(1,1,1)(2,1)(1,1)(2,2,1)
1,4,6,3,7,1 (0)(1,1,1)(2,1)(1,1)(2,2,1)(0)
1,4,6,3,7,2 (0)(1,1,1)(2,1)(1,1)(2,2,1)(1)
1,4,6,3,7,3 (0)(1,1,1)(2,1)(1,1)(2,2,1)(1,1)
1,4,6,3,7,4 (0)(1,1,1)(2,1)(1,1)(2,2,1)(2)
1,4,6,3,7,5 (0)(1,1,1)(2,1)(1,1)(2,2,1)(2,1)
1,4,6,3,7,6 (0)(1,1,1)(2,1)(1,1)(2,2,1)(2,2)
1,4,6,3,7,7 (0)(1,1,1)(2,1)(1,1)(2,2,1)(2,2,1)
1,4,6,3,7,8 (0)(1,1,1)(2,1)(1,1)(2,2,1)(3)
1,4,6,3,7,9 (0)(1,1,1)(2,1)(1,1)(2,2,1)(3,1)
1,4,6,3,7,10 (0)(1,1,1)(2,1)(1,1)(2,2,1)(3,2)
1,4,6,4 (0)(1,1,1)(2,1)(1,1,1) (※展開すると 1,4,6,3,7,10)
0-Y 数列 バシク行列
1,4,6,4 (0)(1,1,1)(2,1)(1,1,1)
1,4,6,4,6 (0)(1,1,1)(2,1)(1,1,1)(2,1)
1,4,6,5 (0)(1,1,1)(2,1)(2)
1,4,6,6 (0)(1,1,1)(2,1)(2,1)
1,4,6,7 (0)(1,1,1)(2,1)(3)
1,4,6,8 (0)(1,1,1)(2,1)(3,1)
1,4,6,9 (0)(1,1,1)(2,1)(3,2)
1,4,6,10 (0)(1,1,1)(2,1)(3,2,1)
1,4,7 (0)(1,1,1)(2,1,1)
1,4,7,10 (0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)
1,4,7,10,13 (0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(4,1,1)
1,4,8 (0)(1,1,1)(2,2)
1,4,8,14 (0)(1,1,1)(2,2)(3,3,1)
1,4,9 (0)(1,1,1)(2,2,1)
1,4,9,16 (0)(1,1,1)(2,2,1)(3,3,1)
1,4,9,16,25 (0)(1,1,1)(2,2,1)(3,3,1)(4,4,1)
1,4,10 (0)(1,1,1)(2,2,2)
1,4,10,20 (0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)
1,4,10,20,35 (0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,4,4)
1,5 (0)(1,1,1,1)
1,5,15 (0)(1,1,1,1)(2,2,2,2)
1,5,15,35 (0)(1,1,1,1)(2,2,2,2)(3,3,3,3)
1,5,15,35,70 (0)(1,1,1,1)(2,2,2,2)(3,3,3,3)(4,4,4,4)
1,6 (0)(1,1,1,1,1)
1,7 (0)(1,1,1,1,1,1)

出典

  1. koteitan, "ユーザーブログ:Koteitan/Dimensional BMS の定義とY数列との対応", 巨大数研究 Wiki, August 2, 2020
  2. 発音は「ゼロワイすうれつシステム」。
  3. twitter post, Sept. 11, 2020
  4. Yukito, "0-Y", Google spread sheet, Sept. 15, 2020
  5. Naruyoko, "YNySequence", Sept. 1, 2020
  6. Hexirp, "DPN形式について", 巨大数研究Wiki, Oct. 14, 2019
  7. AxiomaticSystem, "Pointer BMS", repl.it, July 30, 2020
特に記載のない限り、コミュニティのコンテンツはCC-BY-SA ライセンスの下で利用可能です。